demidovich-zad (832426), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной точке (х, у, г) линий: а) х'=2ау, х'=ба'г; б) х' = Зр'у, 2хг = р*. 2110. Доказать, что тангенциальная и нормальная составляющие вектора ускорения в выражаются формулами уй и т| тот= й т> где о †скорос, Я вЂ ради кривизны траектории, т и т †единичные векторы касательной и главной нормали к кривой. 2111. По винтовой линии т =!асоз1+уаз1п1+ЫФ движется равномерно точка со скоростью о. Вычислить ее ускорение ю. 2112. Уравнение движения есть г = Ы+(т/'+(тй. Определить в моменты времени 1=0 и 1=1: 1) кривизну траектории и 2) величины тангеициальной и нормальной составляющих вектора ускорения движения. ГЛАВА Ъ'1! КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ф !.
Двойной интеграл в прямоугольных ноордннатах 1'. Непосредственное вычнсленне двойных ннтеграл о в. Двойным интегразол» от непрерывнон функпнн ! (х, у), распространенным на ограниченную замкнутую область 5 плоскости ХО)г, называется предел соответствующей двумерной нйтегральной суммы ~ ~ 1(х, у) бх»(у= ию ~чР /(х»з уа) бх»1ауа, (х) »аах Ь». Е » ,жахзз о где Ах,=-х;+л — хь Аул=раз» вЂ” уа н сумл»а расгространена на те значения а' н й, длЯ котоРых точка (хб Уз) пРинадлежат области 5. 2'. Расстановка пределов ннтс грнровання в двойном н нтег ра ле.
Разлнчают дьа основных внда облзстн ннтсгрнровання. 1) Область ннтегрврованвя 5 (рнс. 88) ограеожена слева н справа прямыми х=хз н х=х, (х, > х,), а снизу н сверлу непрерывными крнвымв Рнс, 86. Рнс. 85. у=-»Ра(х) (48) н у=»ра(х)(СО)(»ра(х)та»рт(хц, каждая нз которыя пересекается с вертикалью х=-Х (х, < Х < х,) только в одной точке (см. Рнс. 85). В области Я переменная х меняется от х, до хз, з переменная у прн постоянном х меняется от у,=»Р, (х) до у, . »Рз (х). Вычнслекне интеграла (1] может 242 кратные и кпиволинеиные интегпалы (гл.
ин быть проиаведено путем сведения к повторному интегралу по формуле «а Фз (а) ~~/(х, у)!(х!(у=~да ~ /(х, у)!(у, (з) ж е,(х) е, (а) где при вычислении ~ /(», у) !(у величину х полагают постоянной. е, (а) 2) Область интегрирования Я снизу и сверку ограничена прямыми у=у! в у=уз (у, ) уь), а слева и справа непрерывными кривыми х=!рг(у) (АВ) и х = фа (у) (СО) (р! (у) ~ ф, (у)), каждан из которых пересекается с горизонталью у — У (у! < У < уз) только а одной точке (рис. 86). Аналогично предыдущему имеем: аз Фз(з) ~~/(х, у)((х!(у=$ау ~ /(х, у)!(х, ав Ф! (а) зь (и) где при вычислении интеграла ) /(х, у)!(х Ф» (з) величина у считаетсн постоянной.
Если область интегрирования не при- надлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить па части, каждая иа которых относятся к одному нв зтвн двух надои. Пример 1. Вмчнслнть интеграл ! ! / $ !(х ~ (х+у) !(у. Р е ш е и и е. ! П р н не р 2. Определпзь пределы интегрирования интеграла ~ ~ / (х. у) лх ((у, (з) если область интегрирования Я (рис. 87) ограничена гиперболой уз †х! и двумя прямыми х= 2 и х= — 2 (нмеетсн в виду область, солхржащзи начало координат).
Решение. Область интегрирования АВВС (рнс. 8т) ограничена прямыми х= — 2 п х=2 к двумя ветвями гиперболы! у = )(Т+ х* и у = — У ! -(-хз, т. е. принадлежит к первому виду. Имеем." ~~/(х, у)!(я!(у= ~ бх ~ /(х, у)((у. -У~с~ ! !! двойной ннтвггзл в пгямозтольных кооадинзтзх 243 Вычислить следующие повторные интегралы: 2 1 Ф 2 »»»». )»»![хх!»>» . в»4. !» ! о 3 1 1 1 2 х 2116.
~йх~ — ~2. 2!16. ~йх~ "— »~. о о 1 1 х 3 5 2л а 2117, ~ йу ~ (х+2у)йх. 2118. ~ йф ) гйг. -3 «»-4 а хааа 2 З»«»а ! 1-.х* 2119. ~ йф ) газ)пафйг. 2120. ) йх ~ у1 — х» — у йу. о г Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые распространены нижеследующие повторные интегралы, и вычертить этн области: 2 2-« з «+а 212!. ~ йу ) ~(х, у)йх, 2122. ) йх ) )'(х, у)йу.
а «» 1 х — ! 12-« з г. 2123. ) йу ~ ~(х, у)йх. 2124. ) йх~ )(х, у)йу. а! « 1 з З Г'22- х* 2 «+2 2126. ~йх ~ 1(х, у)йу. 2!26, ) йх ~ 1(х, у)йу. а о 1 х* Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле 1(х, у)йхйу для указанных областей 8: 2127. Я вЂ” прямоугольникс вершинамиО(0; О), А (2; О), В(2; 1), С (О; 1). 2128. 5 — треугольник с вершинами О (О; О), А (1; О), В (1; 1).
2129,  — трапеция с вершинами О(0; О), А(2; О), В(1; 1), С(0; 1). 2130. 5 — параллелограмм с вершинами А(1; 2), В(2; 4), С (21 7), В (1; 6). 2131. Я вЂ кругов сектор ОАВ с центром в точке О (О; О), у которого концы дуги А (1; 1) и В ( — 1; 1) (рис. 88). 244 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. УН 2132.  — прямой параболический сегмент АОВ, ограниченный параболой ВОА и отрезком прямой ВА, соединяющим точки В( — 1; 2) и А (1; 2) (рис, 89). 2133. Я вЂ” круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов гаа1 н В =2, с общим центром 0(О; О).
фу ААО йй!) О Рас. 88. 0 Х Рис. 88. 2!34. 5 ограничена гиперболой у' — х'=1 и окружностью х'+у'=9 (имеется в виду область, содержащая начало координат). 2!35. Расставить пределы интегрирования в двойноминтеграле ) ) Г (х, у) 1(хну, 121 если область В определяется неравенствами а) х)0; у)0; х+у(1; г) у)х; х) — 1; у<1; б) Ха („уз» Пз д) у ~ х ~ у+ 2п; В) Ха+ уз ~ Х; О~у(а.
Переменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах: 4 12а за 2136. ~ Г(х ~ ~ (х, у) 1(у. 2137. ~ бх ~ 1 (х, у) 1(у. о з' О 22 уа~ -~~ а Узаа-аа 2138. ) бх ) ~(х, у)1(у. 2139. ) дх ~ 1(х, у)ду. о а'-~~ а о 2а 2 за 1' ааа 1-и 2140. ~ 1(х ~ ~ (х, у) 1(у. 2141. ~ Г(у ~ ) (х, у) Г(х. О Уз— ,„.
о 2142. ~ 1(у ) 1(х, у)1(х. о)1 двоинои инткгялл в пяямотгольных кооядинлтлх 245 я Ъ' 2 Я ) ~*-х' 2143. ~ ((х ~ 1(х, у)ду+ ~ ((х ~ ~(х, у)((у. о о л): —, о я ам к 2144. ~((х ) !(х, у)((у. о о Вычислить следующие двойные интегралы: 2145. )) х(1х(1у, где Я вЂ” треугольник с вершинами 0(С; 0), (з) А (1; 1) и В (О; 1). 2146. ~)х(1х(1у, где область интегрирования Я ограничена (з) прямой, проходящей через точки А (2; 0), В(0; 2), и дугой онружности с центром в точке С(0; 1), радиуса 1 (рнс. 90).
о(();() Рвс. 9!. Рвс. 90, 2147. Ц, где 5 — часть круга радиуса ос цент- ((х ((у г а' — х' — у' (з) ром в точне 0(0; 0), лежащая в первой четверти. 2148. ~ ) ) х* — у'(1х((у, где Я вЂ” треугольник с вершинами (з) 0 (О; О), А (1; — !) и В (1; 1). 2149. ) ) ) ху — у'-'(1х((у, где С вЂ” треугольнин с вершинами (з) 0(0; 0), А (10„.1) и В(1; Ц. 2150.
),) ео ((хф, где 5 — криволинейный треугольник ОАВ, (5) ограниченный. параболой у'=х и прямыми х=О,. у =1(рис. 9!). 246 кгзтные и кгнволинанныа интаггзлы (гл. ю( 2151, ц „—,„где Й вЂ” параболический сегмент, ограниченгг хихону (з) ха ный параболой у= — и прямой у=х. 2 2152. Вычислить интегралы и вычертить области, на которые они распространены: Я з 1+соим 2 3 сОЭУ а) ) ((х ) у'з!пх((у; в) ) ()у ) х'з!и'у((х. з з л 0 к 1 б) ~((х ~ у'Иу; При решении задач 2153 — 2157 рекомендуется предварительно делать чертеж. 2153, Вычислить двойной интеграл Б ху ахи, (3) если Ю есть область, ограниченная параболой у' =2рх и прямой х=р.
2154ь, Вычислить двойной интеграл ) ) ху(1х((у, (3) распространенный на область о, ограниченную осью ОХ и верхней нолуокружностью (х — 2)*+у'=1. 2155, Вычислить двойной интеграл гз) где 8 — круг радиуса а, касающийся осей координат и лежащий в первом квадранте. 2156", Вычислить двойной интеграл 11 уихиу, (Й где область Я ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды х = )г (г — з!и 1), у=й(1 — соз1) (0«1«2п). ВАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 247 й з] 2157. Вычислить двойной интеграл ) ) ху((х((у, (з) в котором область интегрирования Ю ограничена осями коор- динат и дугой астроиды х — гт созе(, у — )((з)пз1 (0(1( — ) . 2155. Найти среднее значение функции у (х, у) = ху' в области 5(0(х(1; 0(у(1).
Указан ке. Средним значением функции)(к, у) в области 5 называется число = — ( ( 1(х, у) ((х((у йл. о,),) (з) 2159. Найти среднее значение квадрата расстояния точки )И(х, у) круга (х — а)'+уз(гт' от начала координат. $2. Замена переменных в двойном интеграле )ь. Двойной интеграл в полярных координатах, При переходе в двойном интеграле от прямоугольных ноординат х,у к полврным г, ф, свяаанным с прямоугольными координатами соотношениями х = г соз ф, у = г з(п (р, имеет место формула ~ ( / (к, у) ((х ((у = ( ( / (г соз (р, г ю и ю) г ((г бф. (3) (з) Если область интегрирования 3 ограничена лучами ф=а и (р=й(а < Р) и кривыми г=.г((<р) и г =ге(ф), где г(((р) и г((<р) (г(((р)~ге((р)) — однозначные функции на отрезке а ~ (р ~ Р, то двокной интеграл может быть вычислен по формуле г* (ч) ) ) у((р, г) г(]г((ф= ~ йр ~ Р(ф, г) г((г, (з) а г,(е) г, (ч) где г'(ф, г)=г(гсозф, гз(п(р).
При вычислении интеграла $ ]г(~р, г)гйг г (ч) величину (р полагают постоянной. Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то ее разбивают на части, каждая нз которых является областью данного вида. 2'. Два й ной интеграл в к р ив о ли не йн ых к о ар дни втах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
