demidovich-zad (832426), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Вычислить площадь части поверхности конуса х' — у'= = г', расположенной в первом октанте и ограниченной плоскостью у+г=а. 2219. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х'+ +у'=ах, вырезанной нз него сферой х*+у'+к*=а'. 2217. Вычислить площадь части поверхности шара х'+у'+ л* + ге=аз, вырезанной поверхностью —,+ —, =1. аз ЬВ ° 2218.
Вычислить площадь части поеерхноски параболонда у*+ г'=2ах, содержащейся между цилиндром у'=ах и плоскостью х=а. 2219. Вычислить площадь части поверхности цилиндра хе+уз=2ах, содержащейся менсду плоскостью ХО)г и конусом Хе+уз гз 2220». Вычислить площадь части поверхности конуса хк— — у'=г', лежащей внутри цилиндра х'+у»=2ах. 2220.1». Найти площадь части цнляндра ук=4х, вырезанной сферой хе+уз+аз=б». 2229.2. Найти площадь части конуса г=у'»В+уз, вырезанной цилиндром (хк+у')В = а*(х' — у'). 2221».
Доказать, что площади частей поверхностей параболондов х'+у'=2аг и х' — ук=2аг, вырезаемых цилиндром хе+ уз = ЯВ, равновелики. 2222». Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами, диаметры оснований которых равны радиусу шара н 'которые $6] приложения двоиных интеГРАлОВ к мехАники 255 касаются друг друга вдоль одного из диаметров шара. Найти объем и площадь поверхности оставшейся части шара. 2223". В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным основанием, сторона которого также равна а. Ось просвета совпадает с диаметром шара. Найти площадь поверхности шара, вырезанной просветом. 2224".
Вычислить площадь части винтовой поверхности 2=саге(д — „, лежащей в первом октанте и заключенной между у цилиндрами ха+у'=аз и х" +у'=Ь' (0(а < Ь). $ 6. Приложения двойных интегралов к механике !'. Масса и статические моменты пластинки. Если Я вЂ” область плоскости ХОГ', занятая пластнакой, и р (х, у) — поверхностная плотность пластинки в точке (х; у), то масса М пластинки н ее статические моменты Мх и Мг относительно осей ОХ н Ог' выражмотся двойными ннтеграламн М = ~ ~ р (х, у) ((х ((у, Мх= ~ ~ ур (х, у) ((хор, Мг= ~ ~ хр (х, у) ((х((у(!) (з! Ф> (3! если пластинка однородна, то р(х, у) =соим.
2'. К о ордн паты цен тра тяжести па асти и кн. ЕслиС(х, у)— центр тяжести пластинки, то Му - Мх где М вЂ” масса пластинки и Мх, М( — ее статические моменты относительно осей координат (см. !'). Если пластинка однородна, то в формулах (!) можно положить р= !. 3'. Моменты ивер ци и пластин к и. Моменты инерции пластинки относительно осей ОХ и ОУ соответственно равны 1х = ~ ~ уар (х, у) ((х ((у, 1т = ~ ~ хзр (х, у) ((х ((у. (з) (3! Момент инерции пластинки относительно начала координат 16= ~ ~ (ха+у') р (х, у)((х((у=1х+1г.
(3) (з> Полагая р(х, у)=! в формулах (2) и (3), получаем геометрические моменты янерции плоской фигуры. 2225. Найти массу круглой пластинки радиуса Я, если нлотность ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна б на краю пластинки. 2226. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами ОВ = а и ОА = Ь, причем плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА. Найти статические моменты пластинки относительно катетов ОА и ОВ. 25Б КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !гл. Ем 2227. Вычислить координаты центра тяжести фигуры ОтАНО (рис. 96), ограниченной кривой у==а(пх и прямой ОА, проходящей через начало координат и вершину А( — "; 1) синусоиды. 2228. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограначеииой кардиоидой гк а(1+соыр).
Рыс. 96. Рис. 97. 2229. Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиуса а с углом при вершине 2а (рис. 97). 2230. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболами р'=4х+4 и у'= — 2х+4. 2231. Вычислить момент инерции треугольника, ограниченного прямыми х,+у=2, х=2, у=2, относительно оси ОХ.
2232. Найти момент инерции кругового кольца с диаметрами И н О(й( О): а) относительно его центра и б) относительно его диаметра. 2233. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно оси, проходящей через его вершину перпендикулярно к плоскости квадрата. 2234». Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от параболы у'=ах прямой х=а, относительно прямой у= — а.
2235". Вычислить момент инерции площади, ограниченной гиперболой ху= 4 и прямой х+у = 5, относительно прямой х= у. 2236*. В квадратной пластинке со стороной а плотность пропорциональна расстоянию от одной из ее вершин. Вычислить момент инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вершину. 2237. Найти момент инерции площади кардиоиды г=а (1+соеЧ~) относительно полюса.
2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты г' =- 2а'соз2у относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости в полюсе. 2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограниченной одной аркой циклоиды х=а (1 — з1п 1), у=а (1 — соз 1) и осью ОХ, относительно оси ОХ. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ 7.
Тройные интегралы 1'. Тройной интеграл в прямоугольных координатах. Тройным интегралам ат функции ! (х, у, г), распространенным нз область У„ назынзется предел саответсгвующей трехкратной суммы; ) ~~ ((х, у, г) бхбуба= !Ип хай ~ ~а!(/ (Х(, уу, гь) Ьх(буубга. о|ах д.х -«О ( ! Ь мах Луу О юпах Лв З -«О Вычисление тройного интеграла свадотся к последовательному вычислению трех обыкновенных (аднокрзтных) интегралов нлн к вычислению одногодвойнога и одного аднакрахнопь П р в и е р !.
Вычислить ! = ~ ') ~ х'ух г бх бу с(г, (у! где область У определяется неравенствами О~ха (, О~у~х, О~го-ху. Решен не. Имеем 1 х ху 1 х (=~ухабу~ хвувгбг= ~ба~двух — ~ бу=а О О О О О х 1 П р и м е р 2. Вычислить ~ ~ ~ х' бх бу бг, (н! х' у' г' где у — внутренность эллипсоида †, + †+ в !.
аг бв с' Решение. а а ~ ~ ~ х' бх бу ба= ~ х' бх ~ ~ бу бг = ~ хвана бх, (р! -а (3 ) а ув гв хв где Я х — внутренняя область эллипса —,+ — = ! — —, х= сапа(, площадь ух Ов с' ав * которой равна =пб Тх' ! — — "!ух ! — — „=нес ~~! — — ! Поэтому окончательно имеем: хид 4 Дх' ухбубг=нбс ~ хв ~! — —,)! бхха — навес. !в,1 (у! -а 9 Под ред. и. П. Демидовича 258 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1Гл. Ун 2ч.
Замена переменных в тройном интеграле. Вснк в тройном интеграле ~ ~ ~ 1 (х, у, г) дх ду дг (У) от переменных х, у, г требуется перейтн к переменным и, о, в, связанным с х, у, г соотношениями х=ф(и, о, в), у= ф(и, о, в), г=)((и, о, в), где функц н ф, Ф, уд 1) непрерывны вместе са свонмн частныын пронаводнымн 1-го порядка; 2) устанавлнвают взанмноадназначное н в обе стороны непрерывное саот.
ветствне между точками области интегрнравання У пространства ОХИ н точками некоторой области У' пространства О'(ЭУ(У; Рнс. 99. Рн . 98. 3) функциональный определитель (якабиаи) этих функций дх ю)х дх ди да дв ду ду ду 1)(х, у, г) ди до дв дг дг дг ди до дв сохраняет в области У' постоянный знак, та справедлнва формула $ ~ ~ ) (х, у, г) дх ду дг = ~ ~ $ 1' (!р (и, а, (е), ф (и, о, в), )( (и, о, в)) ) 1 ) ди да дв. (!') (в) В частности: 1) для цилиндрических координат г, ~р, л (рнс.
98), где х=г сов!р, у=с ыпф, г=)(, получаем, что у=к! 2) для сферических координат ф, ф г (!р — долгота, ф — шпрота, г — радиус-вш,тар (ряс. 99)), где х=г сов ф сов!р, у=с асафа!пф, г=г а)пф, нмеем 1=гаспар а 7] 259 тРОИные интеГРАлы П р им е р 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить ~ ~ ~ угхг-Гугб-гедхду дг, (р> где у — шар радиуса Р. Р е ш е н не. 1(ля шара пределы изменения сферических иоардинат ф(дол. готы], ф (широты) и г (радиуса-ве тора) будут: п и О~ф~2л, — т;~ф~ —, 0~7~Р, 2 2' Поэтому будем иметь: и 2п 2 Я ~~~ угла+уз-',-гздх дуде=~ дф ~ дф ~ ггг сов фдг=нРа. О и О 2 (у) Э'.
Приложеивя тройвых интегралов. Объем области трех. мерного пространства ОХУ2 равен ~ ~ ~ дх ду д2 РУ) Масса тела, занимавшего область (/, М=((( ч(х, у, г)дхдудг, (у) где Т (х, у, г) — платность тела в тачке (х; у; г). Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Л(лу= Г( ~ ~ Т(х, д, г) гдхдддг; (у) Л1ух= ~ ~ ) Т (х, у, г) х дх ду дг; (у) мгд= ~ тг ~ т (х, у, г) у дхдудг.
(У)" Координата центра и1яжести — М уг — Мгх - Мху х= —, д= — ', г= —. М' М' 7И Если тело однородно, то в формулах для координат центра тяжести можно пОлОжить, (х, у, г) =-. И Моменты инерции относительно осей координат 1 т= ~ ~ ~ (у'+ гз) Т (х, у, г) дх ду дг; (р) 1у== ~ ~ ~ (г'-',-хе) Т (х, д, г] дх ду дг; (у) 1д= ~ ~ ~ (ха+ уз) Т (х, у, г) дх ау дг. (у) 28О КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. У() Полигон в этих формулах 'у (к, р, 2) = 1, получаем геометрические моменты инерции тела. А. Вычисление тройных интегралов Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле ') Ц Г(х, у, г) х(1у((г (У) для указанных областей (7: 2240.
17 — тетраэдр, ограниченный плоскостями х+у+г=1, х=О, у=О, г=О. 2241. у' — цилиндр, ограниченный поверхностями х'+у'=Ве, г=О, г=о. 2242. )7 — конус, ограниченный поверхностями х' уе 22 — + — = —, г=с. ое ' ае се 2243. $' †те, ограниченное поверхностями г =- 1 — х* — у', г = О. Вычислить следующие интегралы 1 1 1 2244. ~ ((х ) ((у ~ о о о 2245. ~ ((х ~ ((у ~ х йг. о о о 1 1-2 1-2-2 2247. 1((х ~ ((у ~ хуг((г. о о о 2248.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
