demidovich-zad (832426), страница 38
Текст из файла (страница 38)
П р н и е р 1. Вычислить криволинейный ннтеграл (, (х+у) г(з с д А у 1'нс 101. где С вЂ” контур треугольника АВО с вершинами А (1; 0), В (О; 1) н О(0; 0) (рис. 1О!), Р е щенке. Здесь уравневне АВ: у=! — х, уравнение ОВ: х=-О, уравнение ОА: у=О. Поэтому будем иметго ~ (х+у) г(э= ~ (к+у) г(э+ ~ (х+у) г(э+ ~ (х+у) г(в= с лв ВО ОА г г ~ у2йх+~уйу+~хйх=уг2+1, о о о 2'. К р и в о л н н е й н ы й н н т е г р а л п т о р о г о т н и а. Если Р (х, у) н О (х, у) — непрерывные функции н у —.— гр(х) — гладкая кривая С, пробегаемая прв изменения х от с до Ь, то соответствующий криволиягйиый инщггрсл вяюрого тило выражается следующим образом: а ~ Р (х, у) Их + Я (х, у) г(у = ~ [Р (х, гр (х)) + гр' (х) О (х, гр (х))[ Вх. с в В более общем случае, когда кривая С задана параметрически: х=ф(1), у=ф(1), где 1 нзменяеэся от а до О, то имеем: з ~ Р (х, у) г(х+ Я (х, у) йу = ~ [Р Ор (1), ф (1)) ф' (1) + г) (ф (1), ф (1)) ф' (1) [ г(1.
С а Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго типа, взятого по прострзнственной кривой. Крнволипейный интеграл второго тина иеняет свой знак на обратный при изменении направления пути ннтегрнрова. н и я. А!еханвчески этот интеграл можно интерпретировать как работу 2Б9 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ') узда+леду, а где С вЂ” перхпяя половина эллипса х=-а соз 1, У=Ь а!п 1, пробегаемая по ча.
совой стрелке. Решение. Имеем: о уе да+леду= ) [уз а(пз !.( — па(п !) [ аз соаз ! Ь сов ![ дй а к в о 4 = — пЬз ~ 5!Пз ! д)-)-взд ~ соаз ! д! = — пЬ 3 3'. Случай полного диффер е в ци а па. Если подынтегральное выралсепие криволинейцого интеграла второго типа есть полный дифференциал нс~ о!орой однозначной функции (1=()(х, у), т. е, Р (х, у) дх+!е' (х, у) ду = д!Г !х, у), то этот криволинейный интеграл пе зависит от пути интегрирования и имеет место формула Ньютона — Лей. б ни ца у Н 'д! у Р (х, д) да+ Я (х, у) с!у = !ч; а! =и (х„д,) — и(х,, дьп (И тле (хп д,) — начальнаЯ н (хз; Уз) — консчнза точки пути. В частности, если контур интег- У' рации 1: замкнут, то ха х К Рис. 102. ) Р (х, у) дх + 13 (х, у) ду =- О.
(2) с Гслп 1) коятур инзсграции С содержится целиком внутри некоторой одшкзчзной области 3 и 2) функции Р(х, у) и !3(х, у) вместе со своими чзстн~н1П пронэводнымн 1-го порядка непрерывны в области 5, то необходимым и лосгаточным условием для существования функции (/ является тождестееш ое выполнение в области Я равенства дЦ дР дх ду (3) (см. ин!егрнрование полных дифференциалов).
При невыполнении условий 1) н 2) наличие условия (3) пе гарантирует существования однозначной фун:.цпи (1 и формулы (!) и (2) могут оказаться неверными (см. задачу 2332). Уьаа!сы способ надозкдения функции (! (х, у) по ее полному дифференциалу, основанный на использовании крвнолинсйных интегралов (т. е. еще один способ интегрирования полного дифференциала).
За контур интегрирования С возьмем ломаную Р,РгМ (ряс. 102), где Р„(х„; у,] — фиксированная точка, М (х; у) — переменная точка. Тогда вдоль Р,Р, ймеем у — — -уе и ду=-о, а вдоль соответству!ошей переменной силы (Р (х, у), 13(х, у)) вдоль кривой интеграции С. Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 270 КРАТНЫЕ И КР)!ВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !ГЛ. ЧМ Р)М имеем д»=О. Получаем: (х; г) У (», у)- У (к,.
у,) = ~ Р (х, у) д»+ О (», у) ду(х,; гд » г ~ Р (х, у,)((х+ ~ () (х, у) ду. Аналогично, интегрируя по ломаной РзРзЧ, имеем; У(к, у) — У (хз, у )= ~ Ц (хз, у) Ыу+ ~ Р (х, у)((х, гР »~ П р и м е р 3. (4х+ 2у) ((х+ (2х — бу) ((у == ((У. Найти У, Решение. Здесь Р(х, у)=4х+2у и ()(к, у)=2х — бу; причем уело. вие (3), очевидно, выполнено, Пусть х,=О, уз=О.
Тогда х а У (х, у) = ~ 4»ух+ ~ (2х — бу)((у+С=2х'+2ху — Зуз+С о а нли У (х, у)= ) — бу ду+ ) (4х+2у) ((»+С = — Зуз+2хз+2ху+С„ о а где С= У (О, О) †произвольн постоянная. 4'. Формула Грина для плоскости. Если С вЂ” граница области 5 и функции Р(х, у), (г(х, у) непрерывны, вместе со сзаимя частными производными 1-го порядка, в замкнутой области 3+С, то справедлива Формула Грина ф ~ ~ + () Е~=Д Я. — 31' ) д Ю ГЗ) где обход контура С выбирается так, чтобы область Я оставалась слева.
5'. Приложения криволинейных интегралов. !) Площадь области 5, ограниченной замкнутым контуром С, ранна пл. Л = — фу(1х ==ф хду С с (напразление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки). Более удобна для црнлажений следующая формула площади; пл. Я = —, ф (х ду — у ((х) = — ф х' б ( — ~ .
1 г 29 2У с 2) Рабами силы, имеющей проекции Х:=Х (х, у, г), г'= 1'(х, у, г), Я =-2(х, у, г) (или соответственно работа сигового поля), вдоль пути С выражается интегралом А= ') ХЫ»+)хду+2((г, С криволинейные интеГРАлы 271 Если сила имеет потенциал, т. е. если суп(ествует функция У=(>'(х, у, г) (потеициальная или силовая функция) такая, что дУ дп д(( — =Х, — =У' дг =г то работа, независимо от вида пути С, равна (» . г . х>) (х> г> »>( А= ) Хдх+х'дух-ддг= ~ д((=.(((х„у,, г,) — (((хп у>, г(), (х„г„х, ) (х„г„х,) где (х,, у„г,) — начальная и (ха, у„га) — конечная точка пути, А. Криволинейные интегралы первого типа Вычислить следующие криволинейные интегралы: 2293.
~хуй, где С вЂ” контур квадрата )х)+)у)=а (а>О). с ва 2294. (, где С вЂ” отрезок прямой, соединяющей .) у хз-(-уз-(Еа с точки 0(0; О) и А(1; 2). х' у' 2295. ') хуй, где С вЂ” четверть эллипса —,+ —.,=1, лежащая о> аа > с в первом квадранте. 2296. ~ у'й, где С вЂ” первая арка ннклоиды х=а(1 — з(п1), с у =. и (1 — соз () . 2297. ) )( х'+уз й, где С вЂ” дуга развертки окружности х = с = а(соа(+(з1п(), у=а(з)п( — (соз() (0~1(2И1. 22ь8, ~ (х'+у*)'(Ь, где С вЂ” дуга логарифмической спирали с г=ае">о(т > 0) от точки А(0; а) до точки 0( — оо; 0).
2299. ~(х+у)й, где С вЂ” правый лепесток лемнискаты г'= = аз соз 2(р. 3(а 2300. ) (х+г)(Ь, где С вЂ” дуга кривой х=1, у==, г= (а у»2 с (О -(~1). дз 2301. ( а .., где С вЂ” первый виток винтовой линии ха-(-у' -г' ' с х=асоз(, у=аз1п(, г=Ы.
2302. ~ )(2у'+гх й, где С вЂ” окружность х'+ у*+ г'=а' ° с 272 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. Ч!1 2303*. Найти площадь боковой поверхности параболического з цилиндра у= — х, ограниченной плоскостями г=О, х=О, г=х, у=6. 2304. Найти длину дуги конической винтовой линии х=ае'соз1, у=ае1Е1п1, г=ае' от точки 0(О; О; О) до точки А (а; О; а). хе уе 2305. Определить массу контура эллипса †, + †„, = 1, если линейная плотность его в каждой точке М (х, у) равна ~у). 2306.
Найти массу первого витка винтовой линии х= асоз 1, у=аз1п1, г=Ы„если плотность в каждой точке равна радиусу- вектору этой точки. 2307. Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды х=а(1 — зт1), у=а(1 — соз1) [О(1(п1. 2308. Найти момент инерции относительно оси 02 первого витка винтовой линии х=асоз1, у==аз11п1, г=Ы. 2309. С какой силой масса М, распределенная с постоянной плотностью из окружности х* +у' = а', г = О, воздействует на массу т, помещенную в точке А (О; О; 6)? Б. Криволинейные интегралы второго тина Вычислить следующие криволинейные интегралы: 2310.
~ (х' — 2ху) 1(х+(2ху+у') е(у, где А — дуга параболы лэ у=х' от точки А (1; 1) до точки В(2; 4). 2311. ~ (2а — у) йх+ х йу, где С вЂ” дуга первой арки циклоиды х = а (1 — з(п 1), у = а (1 — соз 1), пробегаемая в направлении возрастания параметра 1. 2312. ~ 2хуйх — х'бу, взятый вдоль различных путей, выхо- ОА дящих из начала координат 0(О; О) и заканчивающихся в точке А (2; 1) (рис. 103): а) прямой ОтА„ б) параболы ОЛА, осью симметрии которой является ось 01', в) параболы ОрА, осью симметрии которой является ось ОХ; г) ломаной линии ОВА; д) ломаной линии ОСА. 2313. ) 2хуйх+х'йу в условиях задачи 2312. ол КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ННТЕГРЛЛЫ 273 2314*.
ф У),, У вЂ” ", взятый вдоль окружности х'+ + у' = а' против хода часовой стрелки. 2315. ~ уз<1«+ хз<(у, где С есть верхняя половина эллипса с х = асов 1, у =- Ь з<п1, пробегаемая по ходу часовой стрелки. 2316. ~ сову <(х — з!п х<(у, взятый у Аа вдоль отрезка АВ биссектрисы вто- С()4 л(г,(1 рого координатного угла, есля абсцисса точки А равна 2 и ордината о) точки В равна 2. о 2317.
ф «У (У ~~ х ~У) где С— с +У Рис. 103. правый лепесток лемнискаты =а* газ 2((), прсбегаемый против хода часовой стрелки. 2318. Вычислить криволинейные интегралы от выражений, являющихся полными дифференциалами: <2; З) <з; з) а) ~ х<1у+уах, б) ~ х<(«+у<(у, ( — 1: 2) (о! и (1; 1) в) ~ (х+у) (((х+с(у), (о; о) <2; 1) г) ) ", " (по пути, не пересекающему ось ОХ), у «х — х((у (1; 2) о! д) ) —, (по пути, не пересекающему прямую х+ !<х -)- ау «+У й< ~) +у=О), (ха д,) е) ~ (р (х) <1х + ф (у) с(у. (хи у,) 2319. Найдя гервообразные функции подынтегральных выражений, вычислить интегралы: <з; о) а) ) (х'+ 4ху') <1х+ (бх'у' — Бу') ((у, ( — З; — 1) <1; о) х дд — у (1« з) 1 ' ". (у~ з(з<) з (х — у)з <О; — 1) мой у=-х), 274 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
