demidovich-zad (832426), страница 39
Текст из файла (страница 39)
чп кгхтныв и кгиволинвиныв интеггхлы 1З; П в) ) " " " (путь интегрирования не пересекает (х+2у) ех+у ид (х+ х!х 1>; и прямой у= — х), (1; 1) г) ~ (,, +у) >(х+(="=+х) е(у. 1а) о> 2320. Вычислить 7 ~ " ".-, взятый по ходу часо- Г хИх+уЛу З г' 1+х'+уз х' у' вой стрелки вдоль четверти зллипса —, + —, 1, лежащей в первом квадранте. 2321. Показать, что если 7(и) есть непрерывная функция и С вЂ 'замкнутый кусочно-гладкий контур, то фнхъ+у)(хд +ЦЕу)=О. с 2322. Найти первообразную функцию (7, если: а) >(и = (2х+ Зу) е!х + (Зх — 4У) иу; б) е)и =(Зх' — 2ху+у') Йх — (х' — 2ху+Зу'5>(у; в) йи=е* хЦ1+х+у)>(х+(! — х — у)>(у1; г) Йю= — +— хх йд х+у х+у ' Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых: 2323.
) (у — г)е)х+(г — х)е(у+(х — у)е(г, где С вЂ” виток винтос вой линии х= асов Ф, у=аз!п1, г=Ы,, соответствующий изменению параметра 1 от О до 2п. 2324. 1> удх+гду+хе(г, где С вЂ” окружность с х = Я соз а соз 1, У=Ясозаз1п1, г = 1>> з)п >х (а = сопз1), пробегаемая в направлении возрастания параметра. 2325. ) хуе(х+уге(у+гхе(г, где ОА — дуга окружности ол х'+у'+гх= 2)хх; г= х, Г>неположенная по ту сторону от плоскости ХОЯ, где У~О. 27а З о) КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2326. Вычислить криволинейные интегралы от полных диф- ференциалов: <О< <: О) а) ~ х с(х+ у <(у — г из, <1; о: -з) (а< И л) б) ~ уз<(х+ах((у+ху((г, (1; 1; !) СИА И в) х ((х — ' у (<д+ г (<г г'х'+ у'-',-г' <о; о; о) (":" —.',) Рг ахи-гх !<у +ли ог г) ) " ' " ' " (путь интегрирования распололдг (1; 1: 1) жен в первом октанте).
В. Фарл<ула Грина 2327. С помощью формулы Грина преобразовать крпволш)ейный интеграл 1 =-- ф )Гх' + у' <(х + у 1гху + 1п (х + ) х- т уг)~ (1у, с где контур С ограничивает область 5. 2328, Применяя формулу Грина, вычислить 1 = ф 2 (х'+ у') ((х + (х+ у) о <(у, с где С вЂ” пробегаемый в положительном направлении контур треугольника с вершинами в точках А (1; 1), В(2; 2) и О(1; 3). Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно. 2329. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл ф ' + г — х'у<)х — ', хуг<1у, с где С вЂ” окружность х" +у'=-)г-', пробегаемая против хода часавой стрелки.
2330. Через точки А (1; О) п В (2; 3) проведены парабола АтВ, осью которой является ось ОУ, и хорда ее АлВ. Нанти ф (х+у)<(х — (х — у)<(у непосредственно и применяя формулу Ао~аоА Грина. 27б !гл. уп КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНВЙНЫБ ИНТЕГРАЛЫ 2331. Найти ) е*е!у'дх+(1+ху) ду1, если точки А и В лелле жат на осн ОХ, а площадь области, ограниченной путем интеграции АтВ и отрезком АВ, равна Я. 2332*. Вычислить и> У У . Рассмотреть два случая: лхлу — улх с У х>+у> а) когда начало координат находится вне контура С, б) когда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С вЂ” замкнутая кривая, то у> соз(Х, п)45 ==0> с где в — длина дуги и и — внешняя нормаль. 2334. Применяя формулу Грина, зайти интеграл 1=$(хсоз(Х, п)+уз!п(Х, п)1г(в, с где йв--дифференциал дуги и и — внеп|няя нормаль к контуру С. 2333". Вычислить интеграл с взятый ндоль контура квадрата с вершинами в точках А(1; О), В(0; !), С( — 1; О) и 0(0; — 1), при условии обхода контура против хода часовой стрелки. Г.
Приложения криволинеаного интеграла Вычислить площади фигур, ограниченных следующими крнвымн.' 2336. Эллипсом х=асо51, у=аз!п.1. 2337. Астрондой х=асоз'1, у=аз!и'1. 2338. Кардиондой х= а(2со51 — со521), у=*а(25!п1 — 5!п21). 2339*. Петлей декартова листа х>+у' — Заху=0 (а > О). 2340. Кривой (х+у)'=аху. 2341*. Окружность радиуса г катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса Я, оставаясь вне нее. Предполагая, что — — целое число, найти площадь области, ограниченй I ной кривой (эпициклондой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности, и неподвижной окружностью.
Разобрать частный случай г=Я (кардиоида). 2342*. Окружность радиуса г катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса Я1, оставаясь внутри нее. Предполагая, что †цел число, найти площадь области, р 277 1 га! павеРхнОстные интегралы ограниченной кривой (гипоциклоидой), описанной какой-яибудь точкой подвижной окружности, и неподвижной окружностью. Разобрать частный случай, когда г -- — (астроида).
(1 4 2343. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину г и направление положительной полуоси ОХ. Найти работу поля, когда материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть окружности ха+уз=)св, лежащую в первом квадранте. 2344. Найтн работу, производимую силой тяжести прн перемещении материальной тачки массы пч из положения А (х,; у„; г,) в положение В (х,; у,; г,) (ось ОЛ направлена вертикально вверх). 2346. ??айти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалению тачки от начала координат, если точка приложения силы описывает ха ра против часовой стрелки четверть эллипса — т-+ —,= 1, лежал а щую в первом квадранте.
2346. Найти потенциальную функцию силы Я(Х, У, Л) и определить работу силы на данном участке пути, если: а) Х=О, ?'=О, У вЂ”.— — пгу (сила тяжести) и материальная точка перемещается из положения А(х,, у„г,) в положение В (х„у„г,); б) Х =- — —, ?г= — —.--, 2= — — -, где р=-сопз1 и г = рх рр рг гв' гв' = ргх'+у'+г' (сила ньютоновского притяжения) и материальная точка из положения Л (а, Й, с) удаляется в бесконечность; в) Х= — Й'х, ?'= — Й'у, Я.=- — Й'г, где Й= сапа( (упругая сила), причем начальная точка пути находится па сфере х' +у' + +га =- )са, а конечная — на сфере х' +у' + г' = г' (гс ) г). й 10.
Поверхностные интегралы !'. Поверхностный интеграл первого типа. Пусть 1(х, д, г) — непрерывная функция и г=гр (х, у) — гладкая поверхность 5. Повврхявсглимп интеграл первого гнили представляет собой предел интегральной суммы п ~ 1(х, у, г)г(5= 1!щ ~,1(хь уь гДЬ5ь 3 л где Ь5; — площадь !.го элемента поверхности 5, точка (хь рь г;) принадле>кнт этому элементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения стремится к нулю значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности 5, по которой производится интегрирование. Если проекция о поверхности 5 на плоскость Х01г однозначна, т. е. всякая прямая, параллельная оси ОЯ, пересекает поверхность 5 лишь в одной 278 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЬ'Е ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ.
Ч11 точке, та соответствующий поверхностный нижграл первого типа может быть вычислен по формуле ~ ~ ( (х, р, г) дЯ = ) ~ 7 (х, Р, 1р (к, р)) )г 1+ ~рахм (к, у) + 1рг~ (х, у) дх бр. (о1 Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл ~ ~ (х+ у+ г) в21, где Я вЂ” поверхность куба О~к«ц!, О у«ц1, О~э~1.
Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (г=1) н по нижней грани куба (г=О) 11 11 11 ~ ~ (х+р+1) дкдр+~ ~ (к+р) дхду=-~ ~ (2х+2р+1)бхбу=й. а о о о а о Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три рава больше и равен $$ (к+у+ г) дЯ=-9 2«.
Поверхностный интеграл второго типа. Если Р=Р(х, р, г), 11=17(х, у, г), )с=)т(х, р, г) — непрерывные функции и я+— сторона гладкой поверхности Я, характеризуемая направлением нормали и (сов о, сов(), сазу). то соответствующий гимерклоонлый шилегрлл второго жило выражается следующим образом: ) ) Р ду да+12 дадх+)1дкдр= ~ ) (Р соз а+() сов()+)2 соа Ч) дЯ. з+ л При переходе на другую сторону Я- поверхности этот интеграл меняет свай знак на обратный. Если поверхность Я задана в неявном виде Р (х, у, г)=О, то направлжощие косинусы нормали втой поверхности определяются по формулам 1 дР 1 дР 1 дР соэц= — —, соэ()= — —, созу= — —, 11 дх' )л ду' Ю дг' где и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхвостн Я.
3'. Ф о р и у л а С т о к с а. Если функции Р = Р (х, р. г), 17 = 17 (х, р, г), Р=.1т (х, у, г) — непрерывно днфференцируемы н С вЂ” замкнутый контур, ограничивающий двустороннюю поверхность Я, то имеет место формула Стокса Рдх+Ггду+ц дг ~Д [~ — — — ) созм+~ —.— — ) сов()+( — — ) сов+ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 279 $101 где совы, сов 5, сову — направляющие косинусы нормали к поверхности Я, причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали обход контура С совершался бы против хода насонов стрелки (в правов системе координат). Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа: 2347.
~~ (х'+у')т(5, где 5 — сфера х'+у'+г*=а'. 2348. ~ ~ мха+ у' е(5, где Я вЂ” боковая поверхность конуса х Р~ га —,, + —.,— — „, =0 [0(г(Ь1. Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа: 2349. ~ ~ угс(уе(г+хгс(ге(х+хус(хну, где 5 — внешняя сторона поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями х=О, у=О, г=О, х+у+г=а. 2350. ~~ ге(хс(у, где Π— внешняя сторона эллнпсоида —,+ Оа аа + —,+ —,=1.
Ьа ст 2351. )) Хафбг+у*с(гад+гас(хс(у, где 5 — внешняя сторона поверхности полусферы х'+ у'+ г' = а' (г ) 0). 2352. Найти массу поверхности куба 0(х(1, О~у "1, 0(г 1, если поверхностная плотность в точке М(х; у; г) равна хуг. 2353. Определить координаты центра тяжести однородной параболической оболочки аг=хатуа (0(г -"а). 2354.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
