demidovich-zad (832426), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2385. Вычислить дивергенцию и вихрь вектора а, если и равно соответственно: а) г; б) гс и в) )(г) с, где с — постоянный вектор. 2386. Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью м вокруг оси ОЯ в направлении против хода часовой стрелки. 2387. Вычислить вихрь поля линейных скоростей е= о>хг точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью м вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.
2388. Вычислить дивергеицию и вихрь градиента скалярного поля У. 2389. Доказать, что б!ч (го1а) = Се 2390. Пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса, доказать, что поток вектора а=~ через замкнутую поверхность, ограничивающую произвольный объем и, равен утроенному объему. 2391. Найти поток вектора г через полную поверхность цилиндра х'+у!<Я', 0 (е =..Н. 265 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ э 1т1 2392. Найти поток вектора а=х'г'+у~/+гза через: а) боко- хз+уР хя вую поверхность конуса, ( —,, О < г < Н; б) через полную поверхность этого конуса. 2393*.
Вычислить днвергенцню и поток силы притяжения Р! /' т.=- — —, точки массы т, помещенной в начале координат, через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эту точку. 2394. Вычислить линейный интеграл вектора к вдоль одного витка винтовой линии х= тс сов В у=-)та(п(; г=3( от (=О до г= 2п. 2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию вектора а ="х'-'у'т'+„Г ~ гй вдоль окружности х'+у'=.й"; г=-О, припав в качестве поверхности полусферу г=)/тт' — х' — у'.
2396. Показать, что если сила )е — центральная, т. е. направлена к неподвижной точке О и зависит только от расстояния г ДО Этой ТОЧКИ: Тг= — ~(Г)Г, ГДЕ ((Г) — ОДНОЗПаЧиаЯ НЕПРЕРЫВНаЯ функция, то поле — потсн тиальное. Найти потенциал ьг поля. 2397. Найти потенциал У гравитационного поля, создаваемого материальной точкой массы т, помещенной в начале коорм динат: а =- — —.„г. Показать, что потенциал У удовлетворяет уравнению Лапласа ЛУ ==О.
2398. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал У, и нанти У, если потенциал существует: а) а = (5х'у — 4ху) г + (Зх' — 2у),у; б) а=угг'+гх;у'+худ; в) а:-(у+ г) 4+(х+ г)~+(х+у) Й. 2399. Доказать, что пространственное центральное поле А а ="((г) г будет соленондальным только при ~(г) = —,, где Й --. соиЛ. 2400. Будет ли соленоидальпым векторное поле а=к(схк), где с — постоянный вектор? ГЛДВД (гП1 Ряды 5 1.
Числовые ряды 1л. Основные понятия. Числовой рнд Ф ах+аз+...+ил+...= ~ а„ л=! называется сходящимся, если его частичная сумма ол=аг+ач+ ° +ал имеет предел при л — го. Величина 5= 1ип 5„называется при атом сума~ой л-> л ряда, а число ))л — ~ лл — ах+!+ил+е+ — остатком рида. Если предел 1ип Ял не существует, то ряд называется л -~ ы расходящимся.
Если ряд сходится, то 1ип ал=О (кгобходимый признак сходимости). л Ф Обратное утверждение неверно. Йля сходнмости ряда (!) необходимо я достаточно, чтобы для всякого положительного числа е можно было подсбрать тзкое Л, что прн л ) ЬГ и любом положительном р выполнялось бы неравенство ) ал+х+а„+,+...+алчу) < е (критерий Коши). Сходимость или расходнмость рида не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов. 2'. Призна кн сходим о стн и р а ох оди мо стн ни а к о по ложител ьн ых рядов. а) Признак ср а ниенна 1.
Если О~иле-бл, начиная с некоторого л=а„и рнд ь,+ь,+...+ь„+...= ~ч, ь, л=! сходится, то ряд (!) также сходится. Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2). 287 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую лрагрессию Ю ~~~~ ~иэи (и -Е б), л=о которая сходится прн ) д) < 1 в расходится при ) 4) ть 1, и гармонический ряд О л=! явля!ощпйся рядом расходящамся, Пример !.Ряд 1 ! 1 ! — + — + — +" + — +' !.2 2.2а 3 2а ''' л 2" сходится, так как здесь 1 1 и = — < —, л 2л 2и' причем геометрвческая прогрессия н=! ! знаменатель которой о= †, сходится. 2 ' П ример 2. Ряд 1п2 1п3 1пл — + — +'"+ — +" 2 3 ''' л 1п л расходится, так как его общий член — больше соответствующего члена л 1 — гармонического ряда (который расходится), л б) П р и э н а к с р а в н е н и я П.
Если существует конечный и отличный от нуля предел !йп —" (в частности, если а„- Ьи), то ряды (!) и (2) сходятся Ьл илн расходятся одновременно. Пример 3. Ряд 1 1 1 1+ — +и+" + — +" 3 б ''' 2л — 1 расходится, так как 1 а ряд с общим членом — расходится, Пример 4. Ряд 1 1 1 1 288 [гл. чш РЯДЫ сходится, так как ( 1 1 д 1 1 1!ш ( —,: — ~=1, т.
е. л-лл !2» л'2»У ' ' ' 2л Л 2»' 1 а ряд с общим членом — сходится. 2» в) Признак Даламбера. Пусть ол > 0 (начиная с некоторого л=ле) н существует предел Бш — = р. аз+ т л Тогда ряд (!) сходится, если д с 1, и расходятся, если й > 1. Если 2=1, го вопрос а сходнмости ряда остается открытым. П р и и е р 5.
Исследовать сходимость ряда 1 3 5 2л — 1 2+2а +2з+'''+' 2» +'" решение. Здесь 2» — 1 2л+ 1 Оллл — Зл+Глл 2» ' 2 и+А 1 ил+1 . (2л+1) 2" 1 2л 1 1пп — '+ = !1ш,~, == — !пп 2л Следовательно, данный ряд сходится. г) Признак Коши. Пусть ал)0 (начиная с некоторого п=ле) и существует предел р' ал='л Тогда ряд (1) сходится, если д < 1, и расходится, если д > 1. В случае, когда р=1, вопрос о сходнмости ряда остается открытым. д) И и т е г р а л ь н ы й п р и з и а к К о ш и. Если а»= г (л), где функция )(х) положительна, монотонно убывает и непрерывна при х юа~!, то ряд (1) и интеграл $ г(х) бх л сходятся нли расходятся одновременно. С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дириххе (3) лл! сходится, если р > 1, и расходится, если р ~ 1. Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле (3).
числовыв ряды 289 П р имер 6. Исследовать сходвмость ряда 1 ! ! 1 1.2+3.4 5.6+'' ' (2и — 1) 2я+'*' Решение. Имеем: ! 1 1 1 (йп — !) 2и 4ле 1 4иа ! —— 2п Так как ряд Дирихле при р = 2 сходится, то на основании признака сравнения П можно утверждать, что и данный ряд сходится. 3'. Признаки сходимости энакопеременных рядов. Если ряд !о )+(о )+... +)и„)+..., (4) составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) также сходится и наэываетси абсояюгпно сходящимся. Если же ряд (!) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (1) называется условно (исабсолюшло) сходящимся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда (1) можно испольэовать для ряда (4) известные признаки сходнмости энакоположнтельных рядов. В частности, ряд (!) сходится абсолютно, если или 1пп ~l)а ) <1. л и В обшем случае из расходимости ряда (4) не следует расходимость ряда (1). Но если !йп ~ — л+т ~ >! или йш )гг)о„( >1, то расходится не только ип 1 Нп л-» и ряд (4), но и ряд (1). П р и за а к Л ей 6 и н ца. Если для знакочередуюшегося ряда Ьг — Ье+Ьа — Ьа Р ° ° (Ь» ~О) (3) выполнены условия: 1) Ь,Лпуа~уэ~...; 2) 1пп Ьи=б, то ряд(5) сходится.
и Для остатка ряда 1(л в этом случае справедлива оценка ) Кп("Кьп 1 П р и мер 7. Исследовать сходнмость ряда п 1и-Ы -®'-(-')'+(-')'+ '- ' ~ — "- )'-- Решение. Составим ряд нэ абсолютных величин членов данного ряда: +(Я'+(-')'+®'+ +( —.'- )'+- Так как л/г и тл . и . 1 1 1(ш ~ — !йп 1пп п У ~2и — 17 л л 2» — 1 и-пл 1 2' 2 —— то данный ряд сходится абсолютно.
!О Пад ред. Б. П. Демядпвача (гл. уг!! ряды Пример 8..Ряд 1 1 1 1 — + —" +(-1)л" — + " 2 3 и сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Этот ряд сходится неабсолютно (условно), так как ряд 1 1 1 1+ — + — +...+ — +... 2 3 "' л расходится (гармоничесиий ряд).
П р н м е ч а н и е. Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно, чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю монотонно. Так, например, ряд 1 1 1 1 1 1 1- — + — — — + — —" + — -+ " 5 2 5а 3 "' » 5» расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю (монотонность изменения абсолютной величины общего члена здесь, конечно, нарушена). Действительна, здесь Яа»=За+3», где 1 1 ! Г! 1 15 2+3+''' » ' ~ 5+ ба+'''+52) ' причем Пщ Я»=се (о» вЂ” частичная сумма гармонического ряда), в то время » как предел 1!щ Я» существует и конечен (3» — частичная сумма сходящейся » л геометрической прогрессии), следовательно, !!щ Яе»= ае.
» Ф С другой стороны, для сходимости анакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница яе необходимо: зиакочередующийся ряд может сходиться, если абсолютнак величина его общего члена стремится к нулю ие монотонно. Так, ряд 1 1 1 1 1 1 — — + — — — +" + — — — + ° 2а За 4а (2л — !)л (2а)а сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсолютная величина общего члена ряда хотя и стремвтся к нулю, но не монотонно. 4'.
Ряды с коня лекс ными членами. Ряде общим членом ел= = ал+!Ьл(Р= — 1) сходится тогда н только тогда, когда одновременно сходятся ряды с действительными членами ~и~~ ~ал и ~», 'дл, причем в атом случае л ! л=! ~ ел= ~г' ал+ ! ~ Ьл, л=! л=! л=! Ряд (б) заведомо сходится и называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд л л ~~>,'(с,) ~~!',1 ал+Ь'„, л=! л=! членами которого являются модули членов ряда (6). 4!1 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 5'. 1(ействия над рядами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
