demidovich-zad (832426), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Следовательно, ряд сходится в интервале — о» < х < ее. Остаточный член в соответствии с формулой (2) имеет зид х )<<н(х)= с)<Ох, если л — нечетное, и (л+ !)! х" + ' А»н(х) = — з)< Ох, если л — четное. (л + 1)! Так как 0<0<1, то га» ! г-зх гзх г-ак! ! сй Вх ) = ~ г< "1, )з)< Ох (= г! 4, 2 )х("+» 1»! (х!" и поэтому )А' (х) )~ — е<" !. Ряд с общим членом — сходится при (а+1)! л! РЯД ТЕЙЛОРА 1 3] а следоиательио, и 1!ш )1» (х) = О при любом х. это означает, что сумма ряда (3) »- Ф для любого х действительно равна сй х.
2'. Пр немы, п р имен я ем ые пр и р в вложении в степенные ряды. Пользуись оснавнымн разложениями х хз х" 1. е" =1+ — + — +, + — +... ( — со < х < ее), П 21 ''' »1 х х' ха х'»+т Ц, з1пх= +, +( 1)» 11 3! 51 (2»+ 1)! +... ( — ао < х < ае), ха ха ха» П!. созх= 1 — †+ . ° + ( — 1)» — + ...
( — оэ < х < го), 21 4! " ' (2»)! П!. (1+ ) =!+ — х+ ( 1)х'+... 1! 21 ° .+ ( ) ( )х»+, ( — 1 <х <1)') л! ха х' х» т). 1п (1 + х) = х — †+ — ... + ( — 1)" ' — + . (- 1 < х ~ 1), 2 3 а также формулой для суммы геометрической прогрессии, можно во многия случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда прн рззложеини полезно использовать почлениое дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать ати функции на простейшие дроби.
П р и м с р 2. Разложить по степеням х **) функцию 3 (1 — х) (!+2х) ' Решение. Разложив функцию на простейшие дроби, будем иметь: 1 2 1 (х)= — + —, 1 — х 1 (-2х Так как — =! -1-х-1-х'+, =-~~> х» ! 1 — х »=о (4) — = 1 — 2х+ (2х)а, — ~ ( !)» 2»х», 1 1+2х ') На границах интервала сходимости (т. е. при х= — 1 и при х=1) разложение 1ТГ ведет себе следующим образом: при т )О абсолютно сходитсв на обеих границах; при 0 > ш > — 1 расходится при х= — ! и условно сходится прн х=1; при ш~ — 1 расходится на обеих границах.
«) Здесь и в дальнейшем подразумевается «по целым неотрицательным степенямэ, любом х (в этом можно легко убеднться с помощью признана Лаламбера), поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости ) х(»ет „йш. („+1)1=0 (гл. узн РЯДЫ то окончательно Дх) =~~ь, х»+ 2 ) ( — 1)» 2»х» = ) (1+( 1)«2»+з) хю (6) л=е л=о «=о Геометричесние прогрессии (4) и (5) сходятся соответственно при ) х) < 1 и 1 )х) < —,; следовательно, формула (б) справедлива при ) х! < —, т.
е. при 2 2 ' 1 1 — — <х< — ° 2 2 ' 3'. Р яд Тейлора дл я функции двух пе ре ме нных. Разложение бесконечно дифференцируемой функции двух переменных Г(х, у) в ряд Тейлора в окрестности точки (а; Ь) имеет вид 1(х, у)=1(а, Ь)+ — 1((х — а) — +(у — Ь) — 1 Г'(а, Ь)+ 1 Г д дЗ 11 ( дх дуй д1з -) — ~(х — а) — +(у-Ь) — ~ Г'(а, Ь)+... 21 ( дх ду) 1 Г д д зю ... + — ~ (х — а) — +(у — Ь) — 1 ( (а, Ь) +, (7) «1( дх ду) Если а»»Ь=О, ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Здесь при- няты следующие обозначения: 1х — а) — +(и — Ь) — ~ )(а, Ь)= ' (х — а)+ ' (у — Ь); [ д д З д)(х, у) д)(х, уй дх ду~ ' дх ду д=з (х — а) — +(у — Ь) — 1 1(а, Ь)= (х — а)з+ д д ! ' дз) (х, у) дх дуй ' дх' з=ь +2 " (х — а)(у — Ь)+ ' " (у — Ь)з и т.
д. з=з з=з Разложение (7) имеет место, если остаточный член ряда ч«1Гд дта А«(х, у)=1(х, и) — 7(а, Ь) + З ~(х — а) — +(у — Ь) — 1 ((а, Ь) — О А! ~ дх дуй прв и — оз. Остаточный член может быть представлен в виде 1 Г д д зю+з Л.(., у)»м !'(х — и) — +(у — Ь) — ! У(*, у)~ (и+ !)1 ~ дх д з )д=ь«-В1з-З! гдео<Е<!. Разложить по целым неотрицательным степеням х указанные функции, найти интервалы сходимости полученных рядов и исследовать поведение их остаточных членов: РЯД ТЕЙЛОРА 307 2588.
Е1п (х+ — ) 47 2587. ах(а > О). 2589. соз(х+а). 2э90. з!и'х. 2591*. 1п (2+х). Пользуясь основными разложениями 1 — хг п геометрической прогрессией, написать разложение по степеням х следуюпп)х функций и указать интервалы сходимости радон: 2592. 2593. х 4 2594 хе-хх 2595 ех' 2596. Е)) х. 2597. саз2х. 2598. саз'х. 2э99. з(пЗх-гхсозЗх. 2600. 2601. З вЂ”,-хх' Р' 4 — х'- 2602.
1п — , „. 2603. 1п(1+х — 2х'). Применяя дифференцирование, разложить по степеням х следуюи)не функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место: 2604. (1+х)1п(1+х). 2605. ага!их. 2606. агсз)пх. 2607. !п(х+$~Т+х'). Применяя различные приемы, разложить по степеням х заданные функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место: 2608. з1п'хсоз*х. 2609.
(1+х)е-х. 2610. (1-1-е*)х 2611. ~Г8+х. 2612. "— Ь+'. 26!3. сйхх. хх — Вх 4 6 2614. 4— — хх ° 2615. !п (х'+ Зх+2). 2616. ) )(х. 2617. ) е " г(х. е Ь х х 2618 (' )и !) -)-х) Ех (' хх о Написать трн первых отличных ат нуля члена разложения в ряд по степеням х функций: 2620. 1д х. 2621. 1)) х.
2622 ест х 2623. вес х. 2624. )псозх. 2625. е" з)пх. Ряды 1гл. юн 2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно пользоваться приближенной формулой ( 4)' где е — эксцентрнситет и 2а — большая ось эллипса. 2627. Тяжелая нерастяжимая нить под влиянием своего веса х 7 Н провисает по цепной линии у=асЬ вЂ” (а= —, где Н вЂ” горна 4 зонтальное натяжение нити, а д — вес единицы длины).
Показать, что при малых х, с точностью до величин порядка х', можно х' припять, что нить провисает по параболе у= а +, — . 2626. Разложить функцию х' — 2х' — 5х — 2 в ряд по степеням х ' 4. 2629. 7" (х)=-5х' — 4х' — Зх+2. Разложить Г(х+Ь) в ряд по степеням й, 2630. Разложить !их в ряд по степеням х — 1. 1 2631. Разложить — в ряд по степеням х — 1. х 1 2632. Разложить —, в ряд по степеням х+ 1. 1 2633.
Разложить, „,, в ряд по степеням х+4. 1 2634. Разложить, 4 г в ряд по степеням х-1 2. х~+4хх-7 2635. Разложить ех в ряд по степеням х+2. 2636. Разложить )7х в ряд по степеням х — 4. 2637. Разложить созх в ряд по степеням х —. 2 ' 2633. Разложить соз'х в ряд по с~еленам х — —. 4 1 — х 2639'. Разложить 1п х в ряд по степеням ! -1-х ' х х 2649. Разложить = в ряд по степеням —. Г' 1+х 1-! х 2641. 1(акова величина допущенной ошибки, если прибли- зкепоо положить еж 2+ — + — + — ? 1 1 1 3! 31 41 ' 2642. С какой точностью будет вычислено число 4, если воспользоваться рядом х' х' агс1дх=х — — + —— 3 3 взяв сумму его первых пяти членов прн х== 1? РЯД ТЕЙЛОРА 2643*.
Вычислить число — с точностью до 0,001 при помощи разложения в ряд по степеням х функции агсз1пх (см. пример 2606). 2644. Сколько нужно взять членов ряда хо созх=! — — +..., 2! чтобы вычислить соз18' с точностью до 0,001? 2645. Сколько нужно взять членов ряда хх айпх=х — — +..., 3! чтобы вычислить зш 15' с точностью до 0,0001? 2646. Сколько нужно взять членов ряда х х', е"=1+ — + — + " 1! 2! чтобы найти число е с точностью до 0,000!? 2647.
Сколько нужно взять членов ряда ° хо 1п (1+ х) = х — — +..., чтобы вычислить 1п2 с точностью до 0,01? до 0,001? 2648. Вычислить хо/'7 с точностью до 0,01 с помощью разложения функции о/8+х в ряд по степеням х. 2649. Выяснить происхождение приближенной формулы $''а' 1-х а+ — (а)0), вычислить с ее помощью )~ 23, поло2а жив а=5, и оценить допущенную при этом ошибку. 2650. Вычислить Р'Г9 с точностью до 0,001. 2651.
При каких значениях х приближенная формула хо созхж! —— 2 дает ошибку, ие превышающую 0,01? 0,001? 0,0001? 2652, При каких значениях х приближенная формула зшхжх дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? !/2 2653. Вычислить ! — 2)х с точностью до 0,0001. х о 1 2654. Вычислить ) е " бх с точностью до 0,0001. о З!0 (ГЛ. 1П1 Ряды 1 2655. Вычислить ) (/'х сов хг(х с точностью до 0,001. о 1 2656.
Вычислить ( —.с(х с точностью до 0,001. 1/1 2657. Вычислить ) )'1-(-хэс(х с точностью до 0,0001. о 1/Э 2658. Вычислить ) )/хель с точностью до 0,001. о 2659. Разложить в ряд по степеням х и у функцию соя(х — у), найти область сходимости полученного ряда и исследонать оста- точный член. Написать разложения по степеням х и у следующих функ- ций и указать области сходимости рядов: 2660. з!их.з!и у.
2661. з1п (х'+у'). 2662* 1+х— 2663е. !п(! — х — у+ху). 2664*. агс!д —, 2665. 7'(х, у)=ах*+25ху+суэ. Разложить 1(х+И, у+И) по степеням И и И. 2666. 7'(х, у)=х' — 2уэ+Зху. Найти приращение этой функ- ции при переходе от значений х= 1, у=2 к значениям х = — !+И, у=2+И. 2667. Разложить функцию е"+а по степеням х — 2 и у+2. 2668. Разложить функцию з(п(х+у) по степеням х и у — —. 2' Написать три-четыре первых члена разложения в ряд по степеням х н у функций: 2669. е" сову. 2670. (1+х)'+". $4. Ряды Фурье 1'. Теорема Дир и х ле, Говорят, что функция 7(х) удовлетворяет услолилн Дирихле в интервале (а, Ь), если в этом интервале функция: 1) равномерно ограничена, т.
е. !7(х)! км при а < х < ь, где м — постоянная; 2) имеет ие более чем конечное число точек разрыва н все они 1-го рода (т. е, в каждой точке разрыва $ функция 7(х) имеет конечный левый предел 1(5 — О) = ищу($ — е) и конечный правый предел /(5+0) = нщ /(я+ е) (е ) О)); е о е-~о 3) имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума. Теорема Дирихле утверждает.
что функцию 7(х), удовлетворяющую в ин. тервале ( — н, и) условиям Диритле, во всякой точке х этого интервала, РЯДЫ ФУРЬЕ в которой 1(х) непрерывна, можно разложить в тригонометрический рлд Фуры: ! (х) = — '+ ах соз х+ Ьл з! п х+ ал соз 2х+ Ьл юп 2х+... + оп соз пх+ -! Ь„юп пх+..., (1) где коэффициентам Фуры а„и Ь„нычисляются по формулам я и 1 а„= — — ! у(х) созпхбх (п=О, 1, 2...,); Ь„= ~[(х) згвпхбх (п=1,2, ...), Если х — принадлежащая интервалу ( — и, и) точка разрьлва функции [(х), то сумма рада Фурье 5(х) равна средллеллу арифметическому левого и правого пределов функции: Ю (х) = — [! (х — 0) + ! (х+ О)[, ! Е концах интервала х= — и и х=ю 3 ( — и) = 5 (и) = — [! ( — и+ 0) + ! (и — 0) [.
! 2 2'. Неполные ряды Фурье. Если функция !(х) — четная (т. е. ! ( — х) = ! (х)), то в формуле (1) Ь„= 0 (а=!, 2, ...) 2 Г аа= — а! )(х) сових ба (п=О, 1, 2, ...). о Если функция ! (х) — нечетная (т. е. !( — х) = — !(х)), то ав=О (а=О, 1, 2, ...) и Ь„=- — ) !(х) юппхдх (п=!, 2, ...). 2 Р о Функция, заданная в интервале (О, и), может быть по нащему усмотрению продолжена в интервал ( — и, О) либо как четная, либо иак нечетная; следовательно, ее можно по желанию разложить в интервале (О, и) в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг. 3'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
