demidovich-zad (832426), страница 42
Текст из файла (страница 42)
а) Сходящийся ряд можно умножить почленно на любое число Ь, т. е. если от+аз+ ° .. +андо г -(- Ьаз -, ... + Ьль+... = Ь5. то б) Под су.нлай (разностью) двух сходящихся рядов лг+аз г ° . +а„-!-... —.=5о ь +ь +...+ь„+...=-5 (7) (8) понимается соответствующий ряд (а, х Ьг)+(аа ю Ьз)+... +(а„=с Ь„)+... =5, х 5ч. в) Произведением рядов (7) и (8) называется ряд сг+ се+. ° . +сь+ (9) Написать простейшую формулу и-го члена ряда по указанным членам: 240!.
1+ — + — + — +... 2402, —, + — + — -(- -- -)-... 2403. 1 ! —,+ — '+ — +... 2404. 1+ — + — )- —,+-... 2 3 4 ! ! 1 2 4 8 4 3 Рбй 3 4 5 6 2 4 6 8 2406. — + — + — + — +... 2406. — + — + — + — +... 4 9 16 25 5 8 !! 14 ! 1 ! 1 ! 1 2407. —,(--.+ — + —,+-+ — +" 2 6 !2 20 30 42 2408. 1+ — '+ — '' + — '' +... 13 !35 !357 !.4 ! ° 4 ° 7 ! ° 4 ° 7.!О 2409.
1 — 1+1 — 1+1 — 1+... 2410. 1+ 2 + 3+ — + 5+ 6 +... В №)чз 2411 — 2415 требуется написать 4 — 5 первых членов ряда по известному общему члену а„. 2411. а =— 3л — 2 ( !)ьп и Лз 2412. а = —. 2ь 2413. а = 2-1-( — !)" 1 ь пз 2414. а = —, * " 13+( — !)") " ' (-р "" 2+51п — ) спали 2415. а = 2 ь и! !О' где с„ = аА, + азьь г + .:. + аььх (л = 1, 2, ...). Если ряды (7) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (О) сладится также абсолютно и имеет сумму, равную 5,5,.
г) Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при перестановке членов ряда. Это свойство, вообще !онори, ве имеет места в случае, если ряд сходится неабсолютно. 293 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ зи 3 5 7 2«+! ' 2«.3«+ 3«.4*+ 4~.5«+ ' ' ' (л+ 1)' (и+ 2)« ' 1 « « 2438. ~4) + 7+(10) + ''+(зп) !) +''' 2439.
+,+ — +" + «+ ! 8 27 л« 2 4 2«-и 2440. 1+у+ за+ + л«+ ' ' 2441. — + — + — + + — + И 2! 3! Л! 2 .! 2«1 ! 2«+1 ''' 2«~1 2 4 2«-1 2442. 1+ — + — + ... + — + ° ° ° И 2! '' (а — 1)! 1 13 135 135...(2« — !) 2444. — + — + — + ... + — + " (И)«(21) (3!)«(п!) 21 4! 61 ' ' ' (2л)1 2445. 1000+ + 1.4 !47 1000 1002 !004 ... (998+ 2л) 1 47... (За — 9) 4 9 2 5 8 + + 2 5 8 и 14 ... (бл — 7) (би — 4) + ' Т 1 5 . 9 ' ' ' 1 .
5 . 9 . 1 3 17 ... (зп — 1 ! ) (8л — 7) 2447. — + — '+ ... + — ' ! 1.5 ! .5 9 ... (4и — 3) 2 2-4.6 ' " ' 2.4.6 8.10 ... (4л — 4) (4« — 2) + 2448. — + — '+ — '+... + — — '''- 1 1.И 1.И.21 1 1!.21 ... (10л — 9) И 3! 51 (2« — 1)1 + ... !.4 !ИИ9 149...л' « « 2450. ~~) агсз!и =,.
1 2451. ~~' аги — „, . ! г' л «=! « 2452. ),1и (1+ — ) . 2453. ~ 1и «=! «=1 Ю 2454. ~~~ 2455. ~)~ а)па' «ЕЯ «=2 Ф « 2458.,), -„-;-~-„- . «=и «ел ОЭ « 2458. ~~~, — „, ««2 «=! (гл. чп! зады 2460. ~ у "Т Т О р~~ 2462. ~'., аьааф' и Уа В 2464. ~~~, (1 — соз — ) . «=! 2466. ~~~, †„, ° и=! 2468*, )' а=! 2461. ~~~~ 2468. ~~~, а=! В 2485. =1 2467. ~'., а па+ )р'(ара 3/ (2а — !) (5 ЬГп — !) п! 3"а! па и ! ! 2468.
Доказать, что ряд ~„„р,„ц,-. а Я 1) сходится при произвольном !7, если р ) 1, и при д > 1, если р=1; 2) расходится прн произвольном 4, если р(1, и при !7 1, если р=1. Исследовать сходимость следующих знакоперемеиных рядов. В слунае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость. ! ! ( — !)а-! 2470. 1 — — + —...+ — +...
3 5 ''' 2а — ! ! ( Вл-! 2471. 1 — -+= — . ° + — -+ )/а 1/з * 2472. 1 — + — †.. + + Ва-! 4 9 ''' а* 2478. 1 — + — ° ° ° + + ° *;. 2 3 ( — !)а-! и 7 !3 ''' бп — 5 '*~. 2474 — — + — ' +( !)а-! 3 5 7 2п+ ! '12 23 34 п(п+ !) + ° ° ° и +п ! 2 3 4 — и 2475. — — + — + — — ° ° ° +! — 1) ' — + ° ° ° 2 4 8 !5 'яа 2476. — — + — — — + 2)Р2 — ! ЗУЗ вЂ” ! 4$"4 — ! ° ..
+( — 1)' 2477. — 4+(7) (!9) + "+С 1)" (Зп+! ) +''' 2478. — — '+ — '' —... +( — 1)' " "' + ° ° ° 3 3.5 3.5.7 „. 3-5 7 ... (7а+ !) 2 2 5 2 5 8 ' ' ' 2 5 8 ° .. (За — !) 295 числовые ияды 1 14 147 л- 14'7...(зл — 2) 2479. 7 7.9+7 9.11 ' ' '+( !) 7.9 1! ... (2л-(-а)+ 2480 ила+ Мп2а+ + Мпла+ !и !О (!и !0)' ' ' (!п!0)л 2481.
~( — 1) — '"". 2482. ~( — и — (д- ' и=1 2488. Убедиться в том, что признак сходнмости Даламбера Ш не решает вопроса о сходимости ряда ~ ал, где л=1 21 1 2" а„1= —... а1и —— — „(л=!, 2, ...), а) + + +. 1 1 1 1 1 1 Рл2 — 1 $'2+! Р 3 †! Р 3-1-1 Ул( †! ф 4+1 ( =,.
° = —,, ). 1 ! аь 1= ., а1„=— )'Й-)- ! — 1 р ьи !+ ! ~ 1 1 1 1 1 б) ! — + — —,+ — +... 3 2 31 2л 3' (а,„ 1 1 1 1 ! в) ! — + — — — + — — — +... 3 3 3' 5 Зл (а,и,= —,, ам= — 2х) ! 1 ! 1 1 1 г) — — 1+ — — — + — — — +... 3 7 5 !1 9 Исследовать сходимость рядов с комплексными членами: 2486. ~~ Зл л=.1 ОЬ 2488.
~ л=1 2485. ~~' 2" л=1 л=1 в то время как с помощью признака Коши можно установить, что этот ряд сходится. 2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к знакочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов расходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно: !гл. тп! 296 гады 2489. ~~~, 2490.
~, ! р'л+! (л+0 и' л »» »» 249$. хэп .. 2492. з ' с ! (л+(2л — 1) !]! ' " с-' 1л(3 — 20 — 3! ~ ! 1 2495. Между кривыми у= — „, и у= —,, справа от точки их пересечения, построены отрезки, параллельные оси О)' и отстоящие один от другого иа одинаковом расстоянии. Будет ли сумма длин этих отрезков конечной? 2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла речь в предыдущей задаче, если кривую р= †, заменить 1 л' 1 кривой у= — „? 2495.
Составить сумму рядов ~~), —, и ~~~ „. Схол=! и=! дится ли эта сумма? Ф »Э ч-» 1»;» 2496. СОСтаВИтЬ раЗИОСтЬ раСХОдящнХСя рядОВ ? — И ч ~л2л — 1 ~п 2п и=! п=! и исследовать ее сходимость. 2497. Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда — из ряда ~~~ — „? а=! и= ! 2498. Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а разность расходилась. 2499. Составить произведение рядов ? — и ~~'„ — „ 1 1 ! л $' л Сходится ли это произведение? 2500. Составить ряд ~1+ — + — +...
+-„— 2+... ?! . Схо- 1 1 1 1! дится ли этот ряд? 2501. Дан ряд — 1+ —,— —,+... + — „, +... Оценить 1 1 ( — 1)" ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых его четырех членов, суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаках этих ошибок? 2502л, Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда суммой его первых а членов.
297 Функционалы!ые Ряды 2503. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1 ! 1 !+ — + — +- + — + 2! 31 Ш суммой его первых и членов. В частности, оценить точность такого приближения при п =- 10. 2504*"'. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1, 1 1 +21 ' 31+'''+из+''' суммой его первых и членов. В частности, оценить точность такого приближения при и =.-1000.
2505**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1+2(4) +3(4) +... +п(-')" *+... суммой его первых и членов. ° 1-1 ( !)и-1 2505. Сколько членов ряда у нужно взять, чтобы п и=! вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? п 2507. Сколько членов ряда,т —, нужно взять, чтобы (йп 1)б. ии! вычислить его сумл!у с точностью до 0,01? да 0,001? до 0,0001? 1, 1 1 1 250()*. Найти сумму ряда — + — + — + .. + — + ! .2 2.3 3.4 ' ' ' п(п -1-1) 2500. Найти сумму ряда ,'/'х 1-(;/х — )Г'х) -.,'- (1, 'х — )к/'х) +... +('"')~/'х —" ~!/ хх)+...
9 2. Функциональные ряды Область сх одимостн. Множество значений аргумента х, для ко!орых функциональный ряд 11 (х)+11 (х)+ 1-1. (х)+ ". (1) сходится, называется обпаопыо схадимосжи зтого ряда. Функция 5(х)= 1сш 5„(х), где 5и(Х) =11(Х) Г!1(Х)+... +)и(х), а х принадлежит области скодимости, казы "ается суммой ряда,' а ')ги (х)=5 (х) — 5„(х) — осгпагпхом ряда.
В простейших случаях для определения области скодимостн ряда (1) ласта!очно применить к атому ряду изаестпые признаки сходнмости, считая х фп!,сироеаиным. П р имер !. Определять область с>одимости ряда 1)е (» 1 !)э (х.( 1)и (2) 298 1гл. в!!! РЯДЫ Р Е Ш Е Н И Е. ОбОЗНЗЧВВ ЧЕРЕЗ ил Общнй ЧЛЕН ряда, будЕМ ИМЕтщ (и„+,! !. (х+1!л~ '2"л (х+! ! л л )вл ( л йл+г (л+1) (х+1 (' 2 На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (н !х+1! притом абсолютно), если < 1, т.
е. прн — 3 < х < 1; ряд расходится, если !х+1( 2 > 1, т. е. если — лл < х < — 3 нли 1 < х < лл (рис. 104). Прн -ю -У Ю 7 Рнс, 104. 1 1 х=! получаем гармоннческий ряд 1+ — + — +..., который расходится, а 2 3 1 1 при х= — 3 — ряд — 1+ — — — +..., который (в соответствии с признакои 2 3 Лейбяица) сходится (неабсолютно). Итак, ряд сходится прн †3 < 1. 2'. Степенные р яды. Для всякого стеленного ряда с,+с, (х — а)+с, (х — а)'+... +сл(х — а)л+... (3) (сл и а — действительные числа) существует такой интервал (илааерапл сходимлсши) (х — а( < )1 о центром в точке х:=а, внутри которого ряд (3) сходится абсолютно; при (х — а) > !! — ряд расходится. Радиус скодилосюи !! может быть в частныв случаях равен также 0 и ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
