demidovich-zad (832426), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Ряды Фурье периода 21. Если функция [(х) удовлетворяет условиям Лирихле в ненотором ннтервале ( — 1, 1) длины 21, то в точках непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение а, их . их, 2их . 2пх 1(х)= — +ал соз — + Ьлзлп +алгол +Ьл з!и +., 2 ! ппх . ппх ,. +а„соз — +Ь„з!и — +. ! 312 Егл. щп ряды где а„= — ) 1(х) соз — 'Ых (л=-о, 1, 2, ...), 1 Г лпт л -г ! Г .
лпх Ьл.=.— ~ ((х) Мп — "г(х (л=- 1, 2, ...). л -'! (21 В точках разрыва функции 7(х) и в концах х= х ! интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому. как это имеет место при разло- жении в интервале ( — н, п). В случае разложения функции 7(х) в ряд Фурье в произвольном интер- вале (с, о-1-20 длины 2! пределы интегрирования в формулах (21 следует заменить соотиетственно на о и о 521, Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интер- вале ( — и, и), определить сумму ряда в точках разрыва и на концах интервала, построить график самой функции и суммы соответствующего ряда (также и вне интервала ( — и; и)): 2 с! при — п<х<0, с, при 0<х<п. Рассмотреть частный случай, когда с,= — 1, с,=1. ах при — и < х<0, Ьх при О<х<п.
Ргмсмотреть частные случаи: а) а=-5=1; б) а= — 1, Ь--1; в) а О. Ь=:1; г) и=-1, Ь=-О. 2673. 7(х) =ха. 2674. 7(х)=е ". 2з75. !(х)=з!пах. 2676. ((х)=сепах. 2677. Г(х) =з((их. 2678. 7(х) =с)(ах. 2679. Функцию 7'(х) = — разложить в ряд Фурье в ннтер- 2 вале (О, 2п). 2680. Разложить в интервале (О, и) по синусам кратных дуг функцшо 7(х) = —. Полученное разложение использовать для 4 ' суммирования числовых рядов: ! ! 1 1 ! 1 ! 1 а)1 — — + — — — +...; б) 1+ — — — — — + — + — —...
3 5 7 5 7 !! !3 17 ' ' '1 ! 1 1 ! в) 1 — — + — — — + — —... 5 7 !1 !3 Указанные ниже функции разложить в интервале (О, и) в не- полные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг, б) по коси- нусам кратных дуг. Нарисовать графики функций и графики сумм соответствующих рядов в области их существования. гяды еггьв 313 288!.
~(х)=х. Найти с помощью полученного разложения сумму ряда 3' 5~ ! ! 2682. ~(х)-.=х'. Найти с помощью полученного разложения суммы числовых рядов ! 1 ! ! ! 1) 1+па+ —,+...; 2) 1 — — + —.— —.+ ... 2683. 1(х) =е'". 1 при 0<х< — ",, 2684. )(х)= 0 при — <х< и. х прн 0<х~<2, 2685. ~(х) = и — х при — <х< и. Разложить в интервале (О, и) по синусам кратных дуг функции: х при 0<х< —, 2686.
! (х) = 0 при —,<х< и. 2 2687. 1(х) = х(п — х). 2688. )(х) =з(п —, Разложить в интервале (О, и) по косинусам кратных дуг функции: / 1 при 0<х<И, 0 при И<х<п. х 691 )( ) 1 — у при 0 <х<2И, 0 при 2И < х < л. 2691. ~ (х) = х з! и х. созх при 0<х< —, 2692.
!'(х) = — сов х при — ', < х < и. 2 2693. Используя разложение функций х и х' в интервале (О, и) по косинусам кратных дуг (см. №№ 2681, 2682), дока- вать равенство 314 1гл. ги1 виды 2694"", Доказать, что если функция 7(х) — четная и при этом 1 ~ — '+ х) = — 1 ~ — — х), то ее ряд Фурье в интервале ( — и, и) представляет собой разложение по косинусам нечетных крат- ных дуг, а если функция ) (х) — нечетная и 1 ( — + х) =1 ~ —,— х), то она разлагается в интервале ( — и, и) по синусам нечетных кратнык дуг.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье функции: 2695. 1 (х) = ! х~ ( — 1 < х < 1). 2696. )(х) =2х (0< х < 1). 2697. 7(х) =е" ( — 1 <х <1). 2698. ~ (х) = — 10 — х (5 < х < 15). Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг и б) по косинусам кратных дуг сле- дующие функции: 2699. 1'(х) = 1 (О < х < 1). 2700. 7 (х) = х (О < х < 1).
2701. ~(х) = х' (О < х < 2п). х при О<х<1, 2702. ~ (х) — ) 2 — х при 1 < х < 2 2703. Разложить па косинусам кратных дуг в интервале (' -") ф """" з 3 1 при — <х<2, 3 — х при 2<х<3. ГЛАВА 1Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ й 1. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений семейств кривых. Начальные условия 1'. Основные понятия. Уравненне вида р(х р у", р!ч!) — О где р=р (х) — искомая функция, называется ди44гргнниальимм уравнением л-га порядка.
Любая функции у=~р(х), обращающая уравнение (!) в тождество, называется ргшгиигм этого уравнения, а график этой функция — интегральной кривой, Если решение задано в неявном виде Ф(х, д) =О, то оно обычно называется интегралам уравненкя (!). Пр имер !. Проверить, что функцня у=з!пх является решением уравнення р" +у=о.
Р е щ е н н е. Имеем: у'=созх, у'=-ыпх в, следовательно, р'+ р = — з! и х+ ей и х = О. Интеграл Ф (х, у, Со .. „С„) = О (2) днфференцнального уравнения (!), содержащий л независимых пронзвольнык постоянных С,, ..., С„н эквивалентный (в данной области) уравнению (!), называется общим интегралом этого уравненвя (в соответствующей области).
Придавая в соотношении (2! постоянным С„..., С„определенные значения, получаем частный интеграл уравнения (!). Обратно, имея семейство кривых (2) я исключая параметры Сы ..., С„ нз системы уравнений Ф=О, — =О, ..., — =О, йФ йлФ йх ' ''' йхи получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (!), общим ннтегралом которого в соответствующей области является соотношение (2).
П р н м е р 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол к=С,( — С) . 316 (гл. !д ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Р е ш ен не. Дифференцируя два раза уравнение (3), будем иметь: у'=2С, (х — Са) и у'=2С,. (4) Исключая из уравнений (3) и (4) параметры С, и С„получим искомое дифференциальное уравнение 2уу'= у". Легка проверить, что функция (3) обращает это ураннение в тождество. 2', Н ач аль мы е условия. Если для искомого частного решение у=-у(х) дифференциального уравнения уш>=г(х, у, у'... у'"-"), (Н где функция 7 определена в окрестности точки (ха, уа, у'...
„у'"-г>), заданы началанмс уиоаая (задача Коша) у (ха) = уа, у' (ха) = уа„..., у!" - т! (ха) = уа" '! и известно общее ранение уравнения (5) у=-ф(х, С„..., С„), то произвольные постоянные С,,,, С„определяются, если вто возможноч нз системы уравнений уа ф(х, С: ° °, Сч), уз=!у' (хм Сы ..., С„), Пр имер 3. Найти кривую семейства у = С ге»+ С те - а», для которой у (О) =-!, у' (О) = — 2. Р еш е н и е. Имеем: у' = С ге» вЂ” 2С»е — з». Полагая в формулах (О) и (7) х= — О, получим: ! =С,+ф— 2= — С,— 2Сз, откуда С=о, С =! и, следовательно, у — е-3» Выяснить, являются ли решениями данных дифференциаль.
ных уравнений указанные функции: 2704. ху'=2у, у=5хз. 2705. у'=х'+у', у= —. 2706. (х+у)с(х+хс(у=О, у= — ". 2707. у" +у=О, у=33!Их — 4созх. бах 2708. — а+шах=О, х=Стсоашг+Сзз1пш1. 317 1 з! УРЛВНСНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 2769. у" — 2у'+у=-О, а) у=хе"', б) у=х'ех. 27!О. у".— (11 ! ) з) у'+ Ргйзд= О, у= С ез '+С е!' х.
Показать, что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами: 2711. (х --2у) у'-. 2х — д, х' — ху+д'=-С'. 2712. ( х — у + 1) у' .=. 1, у =- х -) Се". 27!3. (ху — х)у".( ху" +уд' — 2у'=-О, д=!П(ху). Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых (С, С„Сы Сз — произвольные постоянные): 2714. д —.. Сх. 2715, у = Сх'. 2716. дз =2Сх. 2717. х'+у'==С'. 2718. у=Се". 2719. х' =.= С (х' — у'). а 2720.
у' - — =2+Се .'". 2721. !п — =1+ау х у (а — параметр). 2722 (д да) = — 2рх 2723. у=С,езх+Сзе ". (д„р — параметры), 2724. 11=Сгсоз2х+Сззгп2х. 2725. д=(С„+С,х)е'+С,. 2726. Составить дифференциальное уравнение всех прямых на плоскости Х01'. 2727. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с вертикальной осью на плоскости ХОГ. 2728. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей иа плоскости ХО!'. Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяюгцне заданным начальным условиям: 2729. х' — д'=С, у(0)=-5.
2730. у==(С,,'-Сзх)ез', у(0) =О, у" (0)=1. 2731. у — — -С,з!п(х — Сз), у(н)=-1, у'(п)=0. 2732. у=-С,е "-ГС,е" +Свез" у(0)=-0, у'(0)=1, у" (0)= — 2. 9 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Виды дифференциальных уравнений (-го порядка. Дифференциальное уравнение (-го порядка с неизвестной функцией у, разрешенное относительно производной у', имеет вид уц=-/(х, у), (') где 7(х, у) — данная фувкция. В некоторых случаях выгодно за нскомуго фуикцюо считагь церсменнуго .к и записывать уравнение (!) в виде х'=п(х, у), (!') в где у(х, у) = —. = Пх. у)' 318 (гл. !х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ где Р (х, у) и !) (х, у) — известные фувкпии.
Под решениями уравнения (2) понимаются функции вида у=ф(х) или х=ф (у), удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений (1) и (!'), илн уравнения (2), имеет вид Ф (х, у, С) =О, где С в произвольная постоянная. 2', Поле на п р авл си и й. Совокупность направлений 1асс=)(х, у) иаэываетсч полем направлений дифференциального ураннения [1) и обычно изображается при помощи системы черточек нли стрелок с углом наклона а. Кривые /(х, у) =й, в тачках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное Ь, называются иэоклинааш.
Построив нзоклины и поле направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интегральных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей точке имеют заданное направленое поля. П р и и е р 1. Методом изоклин построить поле интегральных кривых уравнения у'=-х. Рис. !05. Р е ш е н и е. Построив изоклииы х =-Ь (прямые линни) н поле направлений, приближенно получаем поле интегральных кривых (рис. !05). Общим решением является семейство парабол ха у= —,+С Методом изоклин построить приближенно поле интегральных кривых для указанных ниже дифференциальных уравнений: 2733. у'= — х. 2734. у':== — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
