demidovich-zad (832426), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Разделяя переменные и интегрируя, получим: !п х= — 21п (100+ !)+ !п С нли С к=в (1ООгг)з 2891. Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограниченного полярной осью, этой кривой и полярным радиусом любой ее точки, пропорциональна кубу этого радиуса. 2892. Найти кривую, у которой длина отрезка, отсекаемого касательной на оси ОХ, равна длине этой касательной.
2893. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам параболой Вэ =2х. 2894. Найти кривую, у которой длина нормали в любой ее точке равна расстоянию этой точки от начала координат. 2895*. Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями координат и ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соответствующей дуги кривой. Найти уравнение этой кривой, если известно, что она гроходнт через точку (О; 1). 2896. Найти кривую, у которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки касания, постоянна и равна аз. 2897.
Найти кривую, если известно, что середина отрезка, отсекаемого на оси ОХ касательной и нормалью к кривой, есть постоянная точка (а; 0). При составлении диффсренцналыпго уравнения ! га порядка, особенно в физических задачах, час" а бывает пелссаогразно применять та!с называемый литод дифтерсиииалои, ззкл1о вдающийся в таи, что прибляжепные соотношения между бесконечна малыми прграц синями пснамых величин, справедливые с топ|остью до бесконечно малых выси е о порядка, заменяюши соответствующими соатноп епинми между их дифференциалами, что не отражается на результате. Задо ч а. В резервуаре находится!00 л годного растворз, содержащего 10 кг сали.
Вода влинаетси в резервуар со скоростью 3 л и ! лии, н смесь вытекзет из него со скоростью 2 л в ! лши, причем концентрация поддерживается равномерной посредствои псрсмешивання. Сколько соли будет содержать резервуар по истечении ! часаэ Решен и е. Концентрацией с данного зе~гтестза называется количестпо его, заключенное в единице объема. Вслп концентрация равномерна, то количество вещества в объеме (Г равно си. Пусть количества соли, находящееся в резервуаре по истечении 1 лши,.
есть х кг. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет (100+!) л и, следовательно„концентрация с=.х((!00-) !) кг на 1 л. В течение промежутка времени д! из резервуара вытекает 2д! л смеси, содержащих 2с дт кг соли. Поэтому изменение дх количества соли в резервуаре характеризуетси соотношением $ в1 смншдннын дие фврвнцидльныв урдвнкния 337 Постоянная С определится иа условия, что при ?=0, х=!0, т. е.
С=!00000. 100 СОО По истечении часа в реаервуаре будет содержаться соли л= — м З,О кг. 160а 2898*. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около вертикальной осн, свободная поверхность имеет форму параболоида вращения. 2899". Найти зависимость давления воздуха от высоты, если известно, что это давление равно ! кГ на 1 см' на уровне моря и 0,92 кГ на 1 см' на высоте 500 м. 2900Я. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины 1 под действием растягивающей силы Г получает приращение длины л?Г(л=.сопи!). На сколько увелнчптся длина шнура под действием его веса !р', если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина шнура 1.) 2901.
Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура подвешен груз Р, При решении задач 2902 — 2903 использовать закон Ньютона, по которому скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды. 2902. Найти зависимость температуры Т от времени 1, если тело, нагретое до Т, градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусов. 2903. Через сколько времени температура тела, нагретого до 100', понизится до 30, если температура помещения равна 20' и за первые 20 мин тело охладнлось до 60'? 2904. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 100 об?мин, по истечении 1 мин вращается со скоростью 60 Об,'мин.
2905*. Скорость распада радия прспорпиональпа наличному количеству его. Известно, что по истечении 1600 лет остается половина первоначального запаса радия. Найти, какой процент радия окажется распавшимся по истечении 1СО лет. 2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии 1т по вертинали от свободной поверхности определяется формулой о = с )/ай. где с 0,6 и д — ускорение силы тяжести. В какое время вода, заполняющая полусферический котел диаметра 2 м, вытечет из него через круглое отверстие на дне радиуса 0,1 м.
2907*. Количество света, поглощаемого прп прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды 338 1гл. ~х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ толщиной 3 хс поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 30 ж? 2908". Сила сопротивлйния ноздуха при падении тела с парашютом пропорциональна квадрату скорости движения. Найти предельную скорость падения.
2909". Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (! кг соли на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет '/в кг соли в ! лшн, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении ! часа. 29!О". Электродвнжущая сила е в цепи с током (, имеющей сопротивление )с н индуктивность Е, складывается из падения сп напряжения тт( и электродвижущей силы самоиндукции Š—. Ж Определить ток с в момент времени (, если В=ЕЕ)пш! (Е и ш— постоянные) и (=0 при ! =О. 9 (О. Дифференциальные уравнения высших порядков !'. Случай испосредствениого иитсгрпроввиия. Если уоо = ! (х) то у= ) ох )...) )(х) гхфСсх"-т+Свх"-в+...
+С„. во в 2'. С л у ч в и п о и и ж е и в я п о р яд к в. 1) Если дифференциальное уравнение явно ие садсрскит д, ивпример, Г (х, у', у') =О, то, полагая у'=р, получим урввиеиие порядка вв единицу ниже г" (х, р, р')=О. П ример 1. Найти частное решение уравнения ху +у'+х=-о, удовлетворяющее условиям у =- О, у' = О при х = О. Р е ш с и и е.
Поля гв я у' = р, имеем у" == р', откуда хр'+ р+ х =.О. Решая последнее уравнение квк линейное относительно функции р, получим: хв рх=Ст- —. 2 й ш! циФФененциАлъные УРАВнениЯ Высших Порядков 339 Нз условия У'=Р=О при х=о имеем О=С! — О, т. е. Сд=о. Следовательно, х Р= 2 илн ау х Тк 2' откуда, интегрируя еще раз, получим: кз у= — — +С,. 4 Полагая У=О прн х=О, находим С,=О. Следовательно, искомое частное решение есть 1 у = — — кз. 4 2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит к, например, Р !у, у", у") = О, то, полагая у'= р, у"= Р— , получим уравнение порядка на единицу ниже ур Щ Р(У, Р, Р— — ~)=О.
П р и м е р 2. Найти частное решение уравнения уу — у — у при условии у=1. у'=О прн к=О. Р е ш е н и е. Полагаем у'= р, тогда у" = р — и наше уравнение преоб. УР уу разуется в следующее: з з УР Р=У ° уу Мы получили уравнение типа Бернулли относительно Р (у считаем аргу ментом). Решая его, найдем: Р = ~ У У с 1- У' !!з условия у'=У=О при у=! имеем С = — 1. Следовательно, Р=ху ууз пли — =~ у у'ут — 1. с!у Ух Интегрируя, имеем: 1 агссоз — й: х=Сз. у 1 Полагая у 1 и х=О, получим С,=О, откуда — =созх или у=зесх, у 340 [гл.
)х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Решить уравнения: ! 29'11. у" =-„. 2913. у"=1 — у". 2915. уу"=у". 2917. (1+х') у" +у"+ 1=0. 2919. х'у" + ху' = 1. 292!. уу" — у'(1+у') О. 2923. (х+1) у" — (х+ 2)у'+х+2 =О. 2924. ху" = у'1и — „. 2925. у' + — (у")' = ху". 2926. ху'"+ у" = 1 + х. 2927, у""+ у"' = 1. Найти частные решения прп указанных начальных условиях: 2928. (1+х')у" — 2ху'=0; у= — О, у'=3 при х=О. 2929.
1 + у" = 2уу"; у = 1, у' = 1 п р и х = 1. 2930. уу'+ у" =у"; у = 1, у' = 1 при х = О. 293!. ху"=у', у=О, у'=О при х=О. Найти общие интегралы уравнений: 2932. уу = У у'-' + у ' у — у у ° 2933. уу" = у" +у' 1' у'-1- д'. 2934. у" — дд" == д'д'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
