demidovich-zad (832426), страница 53
Текст из файла (страница 53)
йал1 йал1 ! . йлх — — — Аь в!п — +В» соз — ) з7п — ° 01 =2 ! 1) ь=! то, полагая 1=0, получим: ч, йлх 4й и (х, О) = ') А ь з(п: = — х (1 — х) 1в х=! ди (х, 0) йал . йлх — Ве шп — = — О. 2 ь=! Следовательно, для определения козффпциентов АА и ВА надо разложить 4й в ряд Фурье по одним синусам функцшо и (х, 0).=- —,х(1 — х) и функцию 1ь д !.,О) 0 31 По известным фориулам (гл. (7И1, 4 4, 3'! иыеем: 2 Г4й йлх 320 Аь= — ) — х (1 — х) 5!и — 'дх=: =1,) 1* 1 льй' ' если й — нечетное, и АХ=О, если й — четное", ! йал 2 Г . Алх — Вх= — ~ О.ып — ах==О, ВХ=О. =13 ' о Искомое решение будет: (2п+ !) ал1 е соа — ' 32й к-з 1 .
(2п+ !) лх и= — з~~, „з!п е=о 358 1гл. ~х ДИФФВРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3!03*. В начальный момент 1 = 0 струна, закрепленная на концах х = 0 и х ==1, имела форму синусоиды и = А з!и 1, причем скорости точек ее были равны нулю. Найти форму струны в момент времени 1. 3104+. В начальный момент 1 = 0 точкам прямолинейной ди струны 0 < х <1 сообщена скорость —, =1. Найти форму струны в момент времени 1, если концы ее х = 0 и х = 1 закреплены (см. задачу 3103).
3103*. Струпа длиной 1 = 100 см, закрепленная на концах х= 0 и х= 1, в начальный момент оттянута в точке х = 80 см на расстояние й=2 см, а затем опущена без толчка. Определить форму струны для любого момента времени 1. 3106*. При продольных колебаниях тонкого однородного прямолинейного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, смещение и=и(х, 1) поперечного сечения стержня с абсциссой к в момент времени 1 удовлетворяет уравнению д'и , д'и — = и~— ды дха э где а' = — (Š†моду Юнга, р †плотнос стержня).
ОпредеР лить продольные колебания упругого горизонтального стержня длины 1 = 100 см, закрепленного на конце х= 0 и оттянутого на конце х= 100 на длину ц1 = 1 см, а затем опущенного без толчка. 3107*. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, температура и = и(х, 1) в сечении с абсциссой х в момент времени 1 прн отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению теплопроводности ди з д'и д1 дхз ° где а — постоянная.
Определить распределение температуры для любого момента времени 1 в стержне длины 1=100 см, если известно начальное распределение температуры и(х, 0) =0,01х(100 — х). ГЛАВА Х ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЪ|ЧИСЛЕНИЯ В 1, Действия с ириближениыми числами )А — а(г А, называется предельной абсолютной погрешностью.
Точное число А находится в границах а — Ь ~А~а+Ь или, короче, А =-а ш й. 2'. От но си тель н а я п о г р е ш но ст ь. Под откоситглькой погрешностью (относатглькой ошибкой) приближенного числа а, заменшощего точное число А (А > 0), понимается отношение абсолютной погрешности числа а к точному числу А. Число 6, удовлетворяющее неравенству )А — а) А (2) называется предельной откосшпглькой погрешностью приближенного числа а. Так как на практике А = а, то эа предельную относительную погрешность А часто принимают число в=в а 3'. Число верных десятичных знаков. Говорят, что положительное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения, имеет л верных десятичных знаков (цифр) в угколг смысле, если абсолютная ! погрешность этого числа не превышает -„- единицы л-го разряда.
В этом слу- 2 чае при а > 1 эа предельную относительную погрешность можно принять число где  †перв значащая цифра числа а. Обратно, если известно, что / 1 ',ь-1 Ь - — ( — ), то число а имеет и верных десятичных знаков в узком 2 (й+ 1) 1, ! 0 ! сл1ысле. В частности, число а заведомо имеет л верных знаков в узком смысле, если б~ — ( — ) 1'.
Абсолютна я пог ре ш ность, Абсолютной погрешностью (абсолюгикой ошибкой) приближенного числа а, заменнющего точное число А, называется абсолютная величина разности между ними. Чнсло А, удовлетворяющее неравенству ПРНВЛНЖИР!ГЫЕ ВЫгыеСЛЕННЯ !гл х Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает единицы последнего разряда (таковы, например, числа, возникающие прн изьнрении с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все десятичные знаки этого прнбгтжснного числа верные в широком смысле. Прн налн шн ббльшего числа значащих цифр и приближснном числе последнее, если оно является окончательным результатом вычислений, обычно округляют так, чтобы все оставшиеся цифры были верными в узком или широком смысле. В дальнейшем мы будсм предполагать, что в записи исходных данных все цифры верные (если ве оговорено противное) в узком смысле.
Что касаезся результатов промежуточных вычислений, то они могут содержать одну-две запасные цифры. Заметим, что примеры этого параграфа, как правило„ представляют собой результат окончательных вычислений, и поэ~ому ответы к пим даются приближенными числами, содержащими лишь верные десятичные знаки. В дальнейшем, в теоретических введениях, приводятся лишь криьие указания; зз подробностями следует обращаться к специальной литературе. 4'. Сложение и вычитание приближенных чисел. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел.
Поэтому, чтобы иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все десятичные знаки которых верны, лишь верные цифры (по меньшей мере в широком смысле), следует подравнять все слагаемые по образцу того слагаемого, десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в каждом нз них запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точные н окру~ли~ь сумму на один знак. Если приходится складывать неокругленные приближенные числа, то их следует округлить, сохраняя в каждом из слагаемых. один-два запасных знака, а затем руководствоваться припеденным выше правилом сложения, удержиная соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок. П р н и е р 1. 215 21-! 14 182 — , '21 4 .= 215 2 (!)+14 1 (8)+ 21 4 ==250 8.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этик слагаемых. Относительная погрешность разности не поддается простому учету. Особенно неблагоприятна в эзом смысле разность двух близких чисел. П р и мер 2. Прн вычитании приближенных чисел 6,135 н 6,!31, с четырьмя верными десятичггыми знаками, получаем разность 0,004. Предельная — 0,001 + — 0,00! 1, 1 2 ' 2 ' 1 относительная погрешность ее равна Ь= = — =0,25; сле- 0,004 4 довательно, ни одни знак разности не является достоверным.
Поэтому следует по возможности избегать пычитання близких между собой приближенных чисел, преобразуя, н случае надобности, данное выражение так, чтобы эта нежелательная операция отсутствовала. 5'. Умножение и деленно приближенных чисел. Предельнан относительная погрешност~ произведения и частного приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей зтнх чисел. Исходя из эгого и прнменян правило числа верных знаков (3'), мы сохраняем в отнете лишь определеаное количество знаков.
П р имер 3. Произведение приближенных чисел 25,3 4,12=104,236. Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что предельная относительная погрешность произведения 5 О,о! + О,О! 0,003. 1 1 Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он 36! дь'Яствия с ппивлижессными '>ислами является окончательным, следует писать так: 25,3 4,12=-!04 или точнее 25,:3 4,12=-104,2 Ь 0,3. С>'. Возведение в степень н извлечение корня из приб л и ж е и н и х ч и с е л. Предельная относительная погрешность ш-й степени пппб >нженного числа а равна викратнон предельноп относительной по>решИос>п ь>ого числа. Предельная относительная погрешность корня ш-и степени из приблв. 1 л спи<по числа а составляет †-ю часть предельной относительной погреш>л нос,и числа а.
7. Вычисление погрешности результата различнык действий над приближенными числамн. Если Ла,, ...,Лач— предельные абсолютные погрешности приближенных чисел аг, ..., а>п то йределы>ая абсолютная погрешность ЛЗ результата 5=7(а„.. „а„! врнблнжепно может быть оценена по формуле Лб=фл +...+~о ~Лаш Предельная относительная погрешность 5 тогда равна П р и и е р 4. Вычислить Я=си (!О 3+ )г 4 4); приближенные числа !О 3 в 4,! нерпы а написанных знаках. Р с и> с и и е. Подсчитаеи сначала предельную абсолютную погрешность ЛЯ лс> т в общ:м виде: 3 — !п(а >- Рго), ЛЗ= ~Ла+ — — ) .
Имеем Ла = а,'-!>СЬ Ч 2 а>Ь) ! ЛЬ = —,; Р 4,4=2,0970..3 мы оставляем 2,1, так кзи относительная по- 20 ' 1 1 1 грсн пас>ь приближенного числа )Г4,4 равна = — ° — = —; абсолютная по. 2 40 30' 1 1 грешпость тогда равна — 2 — = —; за десятые доли можно поручиться. 30 40' Слсдоза ге.тьно, 1с>Д с 2,1 Ь20+ 2 20 2,1с' 12,4 20 !, + 4,2) 2504 Значит, со~ив доли будут верны. Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком: 191!03-1. РГ44) — 12124=1,093; !П (!ОЗ+ )Г 44) = 1,093 2303 =-2са17.
Полу шем ответ: 2,52. й'. Установление допустимых погрешаостей приближенных чисел нри заданной погрешности результата де й стаи й над н им и. Применяя формулы пункта 7' прн заданных нам величинах ЛЯ вли 55, считая при этом равными друг другу все частные диф. )Ф1 1дс" !Лаа ференпиалы — ~Лаз или величины ~ — ~ —, мы вычисляем допустимые сдал( " ' !дав( )71 ' абсолсотные погрешноств Ла,... Лач, илн, соответственно, относвтельныв 362 пиивлижеиные вычисления !гл. х погрешности ба„..., ба„приближеииых чисел а,..., а»п входящих в действия !принцип равных влияний).
Следует отметить, чта иногда при подсчете допустимых погрешностей аргументов фуаяции иевыгадио пользоваться прииципоч равных влияипй, так как последний может предъявить практически невыполнимые трсбаваиия. В этих случаях рекомендуется разумво перераспределить погрешиости, если эта возможно, с таким расчетом, чтобы суммариая погрешность ие превышала задаииай величины.
Таким образом, паставлеииая задача, строго говоря, иеапрелелениа. Пример 6. Объем «иилиилричесяого отрезка», т. е. тела, отсеченного от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр асиоааиия. '» равиый 2Л», под углом и к основанию, вычисляется по формуле )г= —" Ра )да. 3 С какой точиостью следует измерять радиус Р ю 60 си и угол наклона сс, чтобы объем цилиидрическаго отрезка был известеи с точиостью до ! « «р Р еше и и е. Если Л)г, М и Ли — предельные абсолютные пагрешиости вел»~чии )г, й» и а, то предельная отиосительиая погрешность вычисляемого объема )г есть 61«= — = — + . Л)г ЗМ~ 2Ла ! У 8 Мп 2и )00' ЗЛЯ ! 2Ли ! Полагаем — « — и —.,> « — . Отсюда )т 200 а)п 2««200 ' Й 60 си 6 0 600 600 ып2а ! Ли~ — ~ — радиола ю 9'. 400 400 Итак, мы обеспечим требуемую тачиасть ответа в !» «, если будем измерять радиус с тачиостью да ! ил, а угол наклона а с точностью до 9', 3108.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
