demidovich-zad (832426), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В результате измерения получены верные в широком смысле в написанных знаках приближенные числа", а) 12'07'14"; б) 38,5 см„в) 62,215 кг, Вычислить их абсолютные и относительные погрешности. 3109. Вычислить абсолютные и относительные погрешности приближенных чисел, верных в узком смысле в написанных знаках; а) 241,7; б) 0,035; в) 3,14. 3110. Определить число верных знаков* ) и дать соответст- вующую запись приближенных чисел: а) 48361 при точности в 1а ; в) 592,8 при точности в 2%. б) 14,9360 прн точности в 1е а; 3111. Произвести сложение приближенных чисел, верных в написанных знаках: а) 25,386+0,49+3,10+0,5; в) 38,1+2,0+3,124. б) 1,2 10'+41,72+0,09; ') Верные знаки паиимаются в узком смысле.
!и ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 363 3112. Произвести вычитание приближенных чисел, верных в написанных знаках: а) 148,! — 63,871; б) 29,72 — 11,25; в) 34,22 — 34,21. 3113". Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны которых по измерению равны 15,28 сл~ и 15,22 сж (с точностью до 0,05 люм). 3114. Вычислить произведение приближенных чисел, верных в написанных знаках: а) 3,49 8,6; б) 25,1 1,743; в) 0,02 16,5. Указать возможные границы результатов. 3115.
Стороны прямоугольника равны 4,02 ж и 4,96 м (с точностью до 1 сл~). Вычислить площадь прямоугольника. 3116. Вычислять частное приближенных чисел, верных в написанных знаках: а) 5,684:5,032; б) 0,144:1,2; в) 2,16:4. 3!17. Катеты прямоугольного треугольника равны !2,10 см н 25,21 см (с точностью до 0,01 гм). Вычислить тангенс угла, противолежащего первому катету. 3118.
Вычислить указанные степени приближенных чисел (основания степеней верны в написанных знаках): а) 0,4!58', б) 65,2', в) 1,5'. 3119. Сторона квадрата равна 45,3 сж (с точностью до 1 л~л~). Найти площадь квадрата. 3120. Вычислить значения корней (подкоренные числа верны в написанных знаках): а) ) '2,7!5; б) ~Б/'65,2; в) ) 81,1. 3121. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса равны: )с =23,64сля-ЕО,О! см; г-==17,3! см~-0,01 слп 1=10,21 см~ -+0,01 схи число п=-3,14.
Вычислить по этим данным полн!ю поверхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и относительную погрешности результата. 3!22. Гипотенуза прямоугольного треугольника ранна 15,4 сл~~0,1 см; один нз катетов равен 6,8 ем~0,! см. Как точно могут быть определены по этим данным второй катет и прилежащий к нему острый угол? Найти их значения. 3123. Вычислить удельный вес алюминия, если алюминиевый цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см весит 93,4 г.
Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная погрешность взвешивания равна 0,001. 3!24. Вычислить ток, если электродвижущая сила равна 221 вольт +- 1 волып, а сопротивление равно 809 ом ~ 1 ои. 3125. Период колебаний маятника длины ! равен 364 (гл. х ПРИБЛИЖЕННЪ|Е ВЫЧИСЛЕНИЯ где д — ускорение силы тяжести. С какой точностью следует измерить длину маятника, период колебаний которого близок к 2 еек, чтобы получить период его колебаний с относительной погрешностью в 0,5вгв? Как точно должны быть взяты числа л нй? 3126.
Требуется измерить с точностью в 1агге площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований ното- рого 2 м и 1 м, а образующая 5 м (приближенно). С какой точностью следует измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками следует взять число и? 3127.
Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула 1 РР Е= — °вЂ” 4 бьуз ' где 1 — длина стержня, 5 и г( — основание и высота поперечного сечения стержня„з — стрела прогяба, Р— нагрузка. С какой точностью следует измерить длину 1 и стрелу з, чтобы погрешность Е не превышала 5,5% прн условии, что Р известна с точностью до 0,1егв, величины с( н Ь изнестны с точностью до 1агов, 1ж 50 см, з 2,5 ем? й 2.
Интерполирование функций 1'. Интер поляцианная формула Ньютона. Пусть хв, х„..., х„— табличные значенив аргумента, разность которых Л=Лх; (Лхг=-хгьт — хб |=0 1, ..., и — 1) постоянна (таг таблицы) и у„у,, ..., у„— соответствующие значения функции у. Тогда значение ф|нкции у лля про:,е. жуточного значения аргумента х приближенно дается иитврлаллциониой формулой Ньютона у + „л я(в — 1),,у +, ч(о — 1) .(о — и|1) х — кв гле у — — — и Луе — — у,— уь, Л'ув-=Луг — Лу„... — последовательные конева ные разности функции у.
При х==хг(П:. О, 1„... л) полинам (1) принимает состав|отвеине табличные значения у; (Е=О, 1... и), Как частные случаи формулы Ньютона получаем: при и= — 1 — линейное интерполирование; прн п -2 — квадратичное интерполирование. Для удобства пользования формулой Ньютона ре коме ндуете и предварительно составлять таблицу конечни к разностей.
Если у=1(х) — многочлен и-й с|висни, то Л"у|=сонь| и Л"+ту;=О н, следонательна, формула (1) является точной. Н обпгеы случае, если /(х) имеет вспрерывную производную ри" "|(х) на отрезке (а, у)„включаюпгем точка хв, к„..., х„и х, то потрет|гость формулы (1) равна л )зн(х)=у ~ у(Ч вЂ” ') "(у — '+')Л|у, )ге+ту(Ч вЂ” ') . (Ч вЂ” гг)1|в+тгд) (2) 0 (и+ 1)1 365 $21 интерполирование Функций где $ — некоторое промежуточное значение между хг(г = О, !, ..., и) и х. На практике пользуются более удобной приближенной формулой Л" ~'Уе )7и (х) " у (у в 1) ... (д — л). (и + 1)! Если число и можно взять любым, то сга следует выбирать так, чтобы разность Л"+'у, = О в пределах данной точности; иными словами, разности Лаур должны быть постоянны в заланных десятичных разрядах.
П р и и е р 1. Найти з!и 26'15', пользуясь табличными данными зш26'=-О 43837, а!п 27'=-О 45399, гйп28'=О 46947. Реш си не. Составляем таблицу 26'!5' — 26 1 Здесь Л=ОО', д=-- 60' Применяя формулу (!), используя первую горизонтальную строку таблицы, имеем: -'(-'-') з! и 26'15' = 0,43837+ — 0,01562+, . ( — 0,000! 4) = 0,44229„ 4 21 Оценим погрешность )7т.
Используя формулу (2) и учитывая, что если у=ынх, то ) ищ!) ( 1, будем иметь: ( 1)( 2) з 3! (180) 128 57,33з 4 Таким образом, все приведенные знаки зш 26'15' — верные. С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточному значению функции у находить соответствующее значение аргумента к (обратное интерполирование). Для зтого сначала определяем соответствующее значение у методом последовательных приближений, полагая: йге! = У вЂ” Уе Луа уш (угй — П лау. Угп (уш — 1)" (угг! — л+1) л "у.
2 Луа !11 Луа (г=О, 1,2, ..). За д приниыаелг общее значение (с заданной точностью!) двух послсдовате.чьньж приближений у!и!=у!и"!. Отсюда к=-х,-1-4 Ь. 355 ПРИБЛИЖЕННЪ|Е ВЫЧИСЛЕНИЯ (гл. х Пр яме р 2. Пользуясь таблицей приближенно вычислить корень уравнения еь х= 5. Решение. Принимая ур=4,457, имеем 5 — 4,457 0,543 4<44 — ' = — '=- 0,538; 1,009 1,009 М, 4ю (1 оио) Леу 0,538 0,462 0,220 2 луг 2 ! '009 = 0,538+ 0,027 = 0,565; 4444=0 538+0,565 0,435 0,220 0,538+0,027=0565. 2 1,009 Таким образом, можно принять х = 2,2 + 0,565. 0,2 = 2,2+ О, 113 = 2,313, 2'. Иитерполяционная формула Лагранжа.
Н общем слу. чае полинам степени а, принимающий прн х=хг заданные значения уг(4=0, 1, „и), дается иитерноглциониой формулой Лагранжа (х — хт) (х — хл... (х — х„) (к — ко] (х — хе)... (х — к„) У= (хе — хй (хе — хе)... (хо — х„) (х,— х,) (хг — хг)... (хк — х„) Уг+ Ут+ ° ° ° ° ° ° + (к — хг) (х — хт)... (х — ха,) (х — ха е,)...
(х — х„) (ха — хо) (ха — хт)...(ха — ха 4) (ка — хатг)... (ха — х„) Уа+ " (Х вЂ” Хг) (Х вЂ” Хт)... (Х вЂ” Хо 4) (х„— х,) (х„— хт)... (х — х,) 3128. Дана таблица значений величин х и у." 2 3 10 15 12 9 Составить таблицу конечных разностей функции у. 3129. Составить таблицу разностей функции у = ха — 5х'+х — 1 для значений х=-1, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все конечные разности 3-го порядка равны между собой.
3130а. Используя постоянство разностей 4-го порядка, составить таблицу разностей функции у=ха — 10х'+2х'+Зх для целых значений х, заключенных в промежутке 1(х(10. 367 интегполиговхиие Функций 3131. Дана таблица 13! =0,000, 13 2 = 0 30!э 1д 3 = 0,477, 1и 4 = 0,602, 1а 5 = 0,699. интерполирования числа: !п1,7, Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при а=2) значения синуса через полградуса. 3133. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функц ~и, заданной таблицей 3 4 40 85 15 3134*. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей 10 50 Найти у при х= 5,5. При каком х величина у = 207 3135.
Функция задана таблицей — 2! — 23 Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти зна- чение у при х=О. Вычислить с помощью линейного !и2,5, 183,! и 184,6. 31.'2. Дана таблица з!п 10' = О, ! 736, а!п 1! ' = 0,1908, ып 12' = 0,2079, гбп! 3' = 0,2250, з! и! 4' = 0,2419, сбп 15' = 0,2588. 368 ПРИБЛИЖЕННЫЕ НЫЧИСЛЕИИЯ (гл.
х 3136. Из опыта найдены величины удлинения пружины (х мм) в зависимости от нагрузки (Р кГ) на зту пружину: 35 15 10 40 20 30 49 172 619 352 253 105 793 473 Найти нагрузку, дающую удлинение пружины на 14 мм. 3137. Дана таблица величин х и у 1 3 0 — 3 25 129 381 Вычислить значения у для х=0,5 и для х=2: а) с помощью линейного интерполирования; б) по формуле Лагранжа.
9 3. Вычисление действительных корней уравнений 1е Установление начальных приближений корней. Приближенное нахождение корней данного уравнения 1(х) =О (1) складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т, е, установления промсжутнов, по возможности тесных, внутри которых находится один и только один корень ураннения (1); 2) вычисления норней с заданной степенью точности. Если функция 1(х) определена н непрерывна на отрезке [а, Ь), причем 1(а) 1(Ь) < О, то на (а, Ь) находится по меньшей мере олин корень $ уравнения (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
