demidovich-zad (832426), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Ф 4 Общее решение Хэ х у =С, соз «-';.Сэ з!их — — саз х+ — з!и х. 4 4 1гл. ~х 346 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3'. П ри ни ип наложения решений. Если правая часть уравне. ния (3) есть сумма несколькик функинй 7 (х) = )а (х) + ?а (х) + ... +)п (х) н 1'; (1=1, 2,..., и) — соответствующие решения уравнений у" + ру'+ ау = 1а (х) (1= 1, 2, ...,, л), то сумма З вЂ” на+на+' ° +!'и является решением уравнения (3). Найти общие решения уравнений: 29?6. у" — 5у'+бу =-О. 2977.
у" — 9у =О. 2978. у" — у'=О 2979. у" +у==О. 2980. у' — 2у'+2у=О. 2981. у" +4?'+139=0. 2982. у' + 2у' + у = О. 2983. у" — 4у'+2у= О. 2984. у" — йу=О (А~О). 2985. у=у" +у'. 2986. ~— .~=З. р Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям: 2987.
у" — 5у'+4у=О; у= 5, у'=8 при х=О. 2988. у" +Зу'+2у=О; у=1, у' =- — 1 при х=О. 2989. у" +4у=О; у=О; у' =2 при х=О. 2990. у" т.2у'=О; у=1, у'=О при х=О. 2991. у' = кт; у=а, у' = О при х= О. 2992. у" +Зу' =О; у= О при х= О и у=О при х=З. 2993. у" + и'у = О; у = О и р и х = О и у = О п р и х = 1. 2994. Указать вид частных решений для данных неоднородных уравнений а) у" 4у хссах. б) у" +9у=соз2х; в) у" — 4у'+4у=з!п2х+е' г) у" +2у'+2у=ехз!пх; д) у" — 5у' + бу = (х'+ 1) е" + х е'"; е) у" — 2у'+ 5у = хе" соз 2х — х'е" 3!и 2х. Найти общие решения уравнений: 2995. у" — 4у'+4у=х'. 2996.
у" — у'+у= х'+6. 2997 у ! 2у'-(-у е'х 2998. у" — 8у' + 7у = 14. 2999. у" — у=-еа. 3000. у" +у=созх. 300!. у" +у' — 2у=83!п2х 3002. у" +у' — бу=хе". 3003. у" — 2у'+у=а!пх+з)1х. 3004. у" + у' = 3!па х. 3005. у" — 2у'+5у=е" соз2х. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2.ГО ПОРЯДКА 347 3006. Найти решение уравнения у" +4у=япх, удовлетворяющее условиям у=1, у'=1 при х=о.
Решить уравнения: 55х 3007. — „,,+а5х= А яп р!. РассмотретЬ случаи: 1) р ~ ЕО 2) р =Ге. 3008. д" — 7у'+ 12у — е5х ЗООО. у" — 2д'=хе — !. 3010. у" — 2у'+у=2е". 3011. у" — 2у' е5х+5 3012. у" — 2у' — зд = е" — 8 соз 2х. 3013. у" + у' =. 5х+ 2е'. 30!4. д" — у'==2х — 1 — Зе'. 3015. у" +2у' — 'у=е" +е 3016. у" — 2у'+ 10у = з!п Зх+ е.". 3017. д" — 4у' + 4у = 2е25+ — . ЗО! 8. у" — Зу' =- х + соз х. 3019. Найти решение уравнения у" — 2у'=е'"+х' — 1, удовлетворяющее условиям: у=-„-, у'=1 прн х=о.
Решить уравнения: 3020. у" — у = 2х я и х. 3021. у" — 4у= е" з!и 2к. 3022. у" +4у=2яп2х — Зсоз2х+1. 3023. у" — 2у'-';2у=4е*япх. 3024. д" = хех+ у. 3025. у" + 9у = 2х я и х+ х ее" . 3026. у" — 2у' — Зу = х (! + ее"). 3027, у" — 2у'=Зх+2хе". 3028. у" — 4у'+ 4у =-- ке". 3029. у" +2у — Зу = 2хе '"+(х+1) ех.
3030". д" + д .= 2х соз х соз 2х. 3031. у" — 2у = 2хе' (соз х — з!и х). Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить уравнения: 3032. у" + у = (п х. 3033. у" +у=с!йх. ЗОЗ4. д" — 2д'+д=' — ". е-х 3035. у" +2д'+у= —. х 3036. д" +д= — ' 3037. у" +у= —. СО5 Х 5!В Х 3038. а) у" — у=1(2х; б) у" — 2у=4х'е*. 348 !гл. гх ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3039.
Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти уравнение движения, которое будет совершать один из эзнх грузов, если другой оборвется. Р е ш е н и е. Пусть увеличение длины пружины под действием одного грузе в состоянии покоя равно л и масса груза лг. Обазнвчим через х координату грузя, отсчитызвемую по вертикали от пологкения равновесия прн наличии одного груза. Тогда Лгх т — г=гла — Л (х+а), лгг где, очевидно, Д= — и, следовзтельно, — —:= — — х.
Общее решение есть шл Нгх я л лгг' л кг х . с, соз )у — г '„-с,з~п )г — и начальные условия дают х=а и —.=о л л лг при 1.=0; отсюда С,=.л и Се=о, следовательно, х=лсоз 1 — б л 3040. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна увеличению ее длины и равна 1 кГ, когда длина увеличивается на 1 см. К пружине подвешен груз весом 2 кГ. Найти период колебательного движения, которое получит этот груз, если его слегка оттянуть книзу и затем отпустить.
304!я. Груз весолг Р =-4 кГ подвешен ва пружине и увеличивает ее длину на 1 см, Найти закон движения груза, если верхний конец пружины совершает вертикальныс гармонические колебания у= 2з1п 301 см и в начальный момент груз находился в покое (сопротивлением среды пренебрегаем).
3042. Материальная точка массы ьч притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности равен и). Найти закон движения точки, зная, что расстояние между центрами 2Ь, в начальный момент точка находилась на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от середины его, и имела скорость, равную нулю. 3043.
Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения, Если движение начинается с момента, когда свисает 1 лг цепи, то во сколько времени соскользнет вся цепь? 3044'". Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью а около перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти законы движения шарика относительно трубки, считая, что: а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения и начальная скорость шарика равна нулю; б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел начальную скорость и,. линеинын дрдвннния порядка выше з.го 349 й <з! 9 13.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными ковффицнентами порядка выше 2-го 1'. Однородное уравнение. Фундаментальная система решений дь д,, ..., д„ однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами д<"<+а<у<»-'<+... +а» тд +а»д=в (1) строится на основе характера корней каракл<едисши»гскоео драл»ения й»+ а<й» <+... + а„,й+ а„= О. (2) А именно: 1) сели й< есть вещественный корень уравнения (2) кратности т, то ему соответствует ш линейно независимых решений уравнения (1): у< =ел», дз — - хез», ..., дм =-к» 'е"»; 2! если и х 0! — пара комплексных корней уравнения (2) кратности пь то сй соответствует 2т линейно независимых решений уравнения (1): д, =еа» соз !!х, де=-е»»шп 6», дз — — хеа» соз 0», д,=хе»»з<п рх, ...
, д, <=-хм-'е"»совр», д =хм — 'еа»ширк. 2'. Неоднородное уравнение. Частное решение неоднородного уравнения д<»<-) а,у«"-'+... +а» гд'+а»д=!(х) (3) отыскивается на основе правил 4 12, 2' и 3'. Найти общие решения уравнений: 3045. у»ы — 13у" + 12у' =-О. 3046.
укы — у' =-О. 3047 у + у О 3048 у<ч 2у О 3049. у"' — Зу" -< Зу' †у. 3050. у'ч + 4у= — О. 3051. уч+8у" +1бу.=-О. 3052. уч+у'=О. 3053. у'ч — 2у" + у = О. 3054. у'ч †а =- О, а:Ф: О. 3055 у<ч бу < 9у О 3056. у'ч+ азу" = О, а ~ О. 3057. дч+2у"'+у"=-О. 3058. уч+2у" +у=-О. 3059 у<»>+ и у<»-и+и " у< -з<+ + " у'+у О ! 12 ''' Т 3060 у'ч — 2у"'+у" =-е"'. 3061. у'ч — йу"'+у" =х'. 3662.
угы — у =- х' — 1. 3063. у'ч+ уыо = соз 4х. 3064 дгы +у" хз+! 1 Зхек +у -( у +у хе". 3066. у"'+д' =(йхзес х. 3067. Найти частное решение уравнения у т2у +2у'+у=х, удовлетворяющее начальным условиям у(О) =у'(О) =у" (О) =О, 350 1гл. >х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $ 14. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение вида (ах-! Ь)ну!а>+Аз (ах+Ь)и-зу!«-1>+... +Ан т (ах+ Ь) у'+Ану=) (х], (1) где а, Ь, А,, ..., А„г, А„— постоянные, называется уравнением Эйлера, Для области ах+Ь > О вводим новую независимую переменную!, полагая: ах+Ь=е . ! Тогда -!йу е -ае '1 У (у'=ае-е —, у"=аее-а йг ' (,йгз й / ' у"'=азе зг —,— 3 — +2 — и т.
д. о з йу йу йу й! и) и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными колрфнпиентами. При ах+Ь < О полагаем ах+Ь= — ег. П р им е р 1. Решить ураинение ху" +ху'+у= 1, х > О. Р е ш е н и е. Полагая х = ее, получим: йу г йу й'У ее 'й'У йУ> йх йт' йха (,й!з йг) ' Следовательно, данное уравнение примет вид й'у —,+у =-1, откуда у = С, соз 1+ С, з>п 1+ 1 у = Се сов (1п х) +Се з! и (1п х) + 1. и.ш Для однородного уравнения Эйлера хаум'+А,х" — 'уш-и+... +Ан гху'+А,У=О (2) при х > О решение можно искать в виде (3) Подставляя в (2) у, у', ..., у!«5 определяемые из состношения (3), получше характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель Ь.
Если й — действительный корень 'характеристического уравнения кратности т, то ему соответствуют гл линейно независимык решений у,=хе, У,=ха!пхч Уз=ха (1пх)', ...Ум=.ха((пх)«-Е у,м а=.х«(1п х)н-т соя ф!их), узы =х" (1пх)' -гз)п ф1пх). Если и ш р! — парз комплексных корней кратности т, то ей соответствует 2гл линейно неэависимык решений у,=х«соз ф)их), уз=к«з!и (31п х), уз =х«1п х сов (й1п х), у~ =-х«!и х з>п (й>п х), $ ! 51 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 35! Решая его, находим: йг=йг=2, следовательно, общее решение будет: у = С„хз+ Сгхз ! и х. решить уравнения: 3068.
х' — а+Зх — +д=О. , лгу др дха дх 3069. х'д" — хд' — Зд=О. 3070. хзд" +хд'+ 4д = О. 3071. х'д"' — Зхад" -1-6хд' — 6д = О. 3072. (Зх — '; 2) д" + 7у' = — О. 3073. д" = ф . 3074. д" + ~— + — "., = О. 3076. х'дч — 4хд'+бд=х. 3070. (1 нх)зд" — З(1+х) у'+ 4у=(1+х)'. 3077. Найти частное реиуе»ие уравнения х'д" — хд'+д =- 2х, удовлетворяющее начальным условиям: д=О, д'=1 при х=1. 5 16. Системы дифференциальных уравнений М е т о д и с к л ш ч е н и я. Лля нахождения решсни я, например, нормальнойной системы двух дифференциальных уравнений 1-га порядка, т. е. системы вида ду дг — =7(х, р, г), „— =л(х, у, г), (1) разрешенной относительно производных от искомых функций р и г, днфференннруем по х одно из ннх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
