demidovich-zad (832426), страница 50
Текст из файла (страница 50)
2935. уу" + у" — у'" 1п у = О. Найти решения, удовлетворягощие указанным условиям: у"у'=1; у =1, у' =-! при х=- —, уу" +у"=-1; у.=1, у'=-1 при х=0. ху"=)/ 1-~у"; у=О при х= 1; у.=1 при х=е'. у" (1+1пх)+ — у'=-2+!пх; у= — —, у'=1 при х=1. ! ! у" =- — ( 1 4 1и — ); у = —, у' =: 1 при х = 1. х(, х)' 2' у" — у" +у'(у — 1) =-0; у=2, у' =2 при х=-О. Зу у" =у+у" +1; у= — 2; у'=-0 при х=О.
д'+у" — 2уу" =О; у=1, у'=1 при х=О. уу'+у" +уу" =0; у =1 при х =-0 и у=О при х= — ! . 2у'+(д" — 6х).у"=0; у=О, у'=2 при х=2. 2936. 2937. 2938. 2939. 2940. 2941. 2942. 2943. 2944. 2945. 2912. у" = —— 2аз ' 29!4, ху" +у'=О. 2916. уд" + д" = О. 2918. у'(1+у") =ау'. 2920. уу"=у'у'+у". 2922. у" = — —,. Р ! ~а! дифеарвнциальныв Уравнения высших порядков 34! 2946. д'д' + дд" — д" =- 0; д = 1, д' = 2 при х = О. 2947.
2дд" — Зд" = 4д'; д=1, д' =-0 при х.=--О. 2948. 2дд" +д' — д" =О; у =-1, д' —.:1 при х=-О. !, 1 2949. д" =-д' — д; д=- — —, д'= — при х=1. 4 ' 2 2950. д" + — еа' д' — 2дд" = О; д =-- 1, д' с- е при х = — —, а 2е ' 2951. 1+дд" +д" =-0; д=О, д'=-1 прп х== 1. 2952. (1+ дд') д" = (1+ д") д'; д —.. 1, д' = 1 прп х = О. 2953. (х+1)д +хд"=д'; д= — 2, д'= 4 прн х =1.
Решить уравнения: 2954. д' = хд"' + д"'. 2955. д'=хд" +д" — д"'. 2956. д"" = 4д". 2957. дд'д" = д" + д"'. Выделить интегральную кривую, прохадяпг)ю через точку (О; 0) и касающуюся в ней прямой д+х=-О. 2958. Найти кривые постоянного радиуса кривизны. 2959. Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорционален кубу длины нормали.
2960. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен длине нормали. 296!. Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше длины нормали. 2962. Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на ось 01' постоянна. 2963. Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая, что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь. 2964*. Найти положение равновесия гибхой нерастяжимой нити, укрепленной концами в двух точках н имеющей постоянную нагрузку д (включая вес нити) на единицу длины.
2965. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен а, а коэффициент трения р. У к а а а н и е. Сила трения раана рЛ', тле л1 — сила реакции пласкости. 2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно считать пропорциональной квадрату скорости.
Найти закон движения, если начальная скорость равна нулю. 2967*. Моторная лодка весом 300 кГ движется прямолинейно с начальной скоростью 66 м/сея. Сопротивление воды пропорционально скорости и равно 10 кГ при скорости 1 ле7сек. Через сколько времени скорость будет равна 8 ле/секй 342 (гл. 1х ДИФФЕРЕНЦИЛЛЬНЫЕ УРЛВНЕНИЯ $11. Линейные дифференциальные уравнения !л.
О д н о р о д н ы е у р а в н е н и я. Функции у, = ~р, (х), ул = <рз (х)... ° ..., ул= — Чл(х) называются линейно зависимыми на (и, Ь), если существуют постоянные Сз, С,, ..., Сл не все равные нулю, такие, чта Су,-(СУ,-!-...+Саул=-О прн а < х < Ь; в противном случае данные функции называются линейно лсэаэисилчыми.
Общее решение однородного лилсйлага диФференциального уравнения у'" ~ -'; Р, (х) ул -"+... + Р л (х) у = О (1) с непрерывными коэффициентами Рг(х) (1=1, 2, ..., л) чиеет вид У = Сшз ф Сзуз+ ° ° ° +Слул где уы у„..., ул — линейно независимые решения уравнения (!) (фулдазчен.
тальная система решений). 2'. Неад нор одн ые уран пения. Общее решение неадкараднаго линейного дифференциального уравнения 4'л! + Р г (х) у~л - г1-г ... 4 Р, (х) у = 7 (х) (2) с непрерывными коэффициентами Р;(х) и правой частью /(х) имеет вид у=у +1', где у„— общее решение соответствующего однороднога уравнения (1) и ив частное решение данного неоднородного уравнения (2). Если известна фундаментальная система решений ут, уз, ..., Ул аднород- нога уравнения (1), то общее решение соответствующего неоднородйого урав- нения (2) может быть найдено по формуле У=Ст(х) у,+С, (х) у,+...
+Си(х) у„ где функции ст(х) (1=1, 2, ..., и) определяются из системы уравнений С; (х) у;+Сз (х) уз +... +Си (х) ул — — = О, (3) ст (х) у!л т'+ с (х) узт ~1+ ° ° + сл (х) ул" г'=-1' (х) ) (лютой еариации произвольных постоянных). П р н м е р. Решить уравнение ху" +у'=х', х > О. (4) Решен не. Решая однородное уравнение ху'+ у'.= О, получим: У=Сз 1п х+С,. Следовательно, можно принять уз=!п х и у,=) и решение уравнения (4) искать в виде У=Сз (х)!и х+Сз (х). 343 $11! линвнныв ирявнвння Составляя сястему (3) и учитывая, что приведенный вид уравнения (4) есть у'+ — =х, получим о х Ст (х) 1п х+ Сз (х) .! = О, ! Сз (х) — + Се (х) . О = х.
х Отстала хз хз ' х' Сз (х)= — +А и С, (х) = — —,!п х+ — +В 3 3 9 и, следовательно, х' у= — +А1п х+ В, 9 где А н  — пронавольные постоянные. 2968. Исследовать на линейную зависимость следующие системы функций: а) х, х+1; д) х, хь, х'1 б) х', — 2х'1 е) е"', е", е" в) О, 1, х; Ж) 5!П Х, С05 Х, г) х, х+1, х+2; 3) 5(пзх, соз'х, 1. 2969.
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, зная его фундаментальную систему решений: а) У,=51пх, у,=созх; б) у,=е', уз=хе" в) у,=х, у,=х'; г) у,=-е', уз=паз(пх, у,г нхсозх. 2970. Зная фуйдаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения Ут — Хз Уз =-" . Уз ="' найти его частное решение у, удовлетворяющее начальным условиям У1„т=О, у'1„т= — 1, у" 1„,=2. 2971*. Решить уравнение у" + — 'у'+У=О, з!и х зная его частное решение у,=— 2972. Решить уравнение х' (! и х — 1) у" — ху'+ у = О, зная его частное решение у,=х.
344 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл. !х Методом вариации произвольных постоянных решить неоднородные линейные уравнения." 2973. х'у" — ху' =- Зх'. 2974*. х'у" +ху' — у=хе. 2975. ума+у' = — вес х. 9 !2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами 1'. Од нор одное у р а анен не.
Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами р и д без правой части имеет вид У.-р РУ'+ УУ = О. (1) Есин Ьг и й,— корни характеристичешсого уравнения р (Ь) — = Ь'+ РЬ+ д = О, (2) то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующая трех видов: !) У=-С,ее *+С,ги *, если Ьт и й, вещественны и Ьт ш Ье! 2) У=ее" (Ст-! 'С,х), если Ь, й.йз! 3) и=еах(Сг соври+Сиз!о()х), если Ьд==-а-1 Р! н Йя — — сс — (1! (Р ш О). 2'. Неоднородное у р а ни ение.
Общее решение линейного неодвородно1о днфферснциального уравнения у" '- Ру'-с уу=7(х) (3) мокше записать в виде суммы У=Уз+1 где у„— общее решенке соответствующего уравнения (1) беэ правой части, апреле. яечое по формулам !) — 3), н г — частное решение данного уравнения (3). Фун~ ция )' может быть найдена методом неопределенных коэффицненшоэ в с.тедуюпшх простейших случаях: 1 )(х)=с'"Р,(х), где Р„(х) — многочлен степени п. Если о не является корнем характсристнчесиого уравнения (2), т. е.
е(о) юО, то полагают )г.=-еихфи(х), где !7и(х) — многсчлен степени и с веопрсделенными коэффициентами. Гслн о есть кор нь характеристического уравнения (2), т. е, Ф(а)=-0, то У- х "гчсфн (х), где г — кратность корня и (г=! или с==2). 2, /(х) =еи" (Р„(х) сов Ьх-с-!7м (х) гйп эх). Если ф (о х Ь!) ш О, то полагают 'г'=е'" (Зл (х) сов эх+ Тм (х) в!п Ьх), где Лд ( ) и Тм (х) — многочлены степени ~Ъ'=--шах (и, ш).
Если жс <р (о -' Ы) =О, то У' =-хгеах (5; (х) соз Ьх+ ТЛ (х) гпп эх), где г — кратность корней о + Ь! (для уравнений 2-го порядка г= 1), В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации ирои молиных постоянных (см. 4 ! 1). !! р имер !. Найти общее решение уравнения 2у" — у' — у=-ххе'". Р с ш е н н е Характеристическое уравнение 2йз — Ь вЂ” 1=.
0 имеет корни йт= 1 н Ьз=- — —. Общее решение соответствующего однородного уравне- 2 ' $ ! 21 ЛИНЕИНЫЕ УРАННЕНИЯ 2.ГО ПОРЯДКА ния (первый вид) уа=Сте»+Сэе 2 . Правая часть заданного уравнения /(х) =-4хеэ» = ел" Р„(х), Следовательно, У=-еэ» (Ах+ В), так как л =- ! и г==О. Дифференцируя У два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим: 2еа» (4АХ+ 4В+4А) — е'» (2Ах+ 2В+ А) — еэ" (Ах+В) . 4хе'", Сокращая на еэ" и приравнивая друг другу коэффициенты прв первых степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем 5А =4 4 28 н 7А+5В=О, откуда А= — и В=- — —. 5 25' /4 281 Таким образом, У =еэ" ~ — х — — 7!, а общее решение данного уравнения 'х5 257' есть ! Г4 28У у=С е" +С е -' + 11» ~ — х — — 11.
1 2 'х 5 251' ' П р и ме р 2. Найти общее решение уравнения у' — 2у'+у ==хе", Решение, Характеристическое уравнение йа — 2й Г1=.0 имеет деу. кратный корень й.=!. Правая часть уравнения имеет вид 1(х) =хе"; здесь а ! и л=-!. Частное решение У=-х'с" (Ах.';-В), так как а совпадает с дгукратным корнем й= ! и, следовательно, г==2.
Дифференцируя У два раза, подставляя в уравнение и приравнивая коэф! фнциенты, получим А — —.—, В=О. Следовательно, общее решевпе данного 6 ' уравнения запишется в виде 1 у = (С, + Сэх) е" + — х'е". 6 П р имер 3. Найти общее решение уравнения у Ьу.=ха)их. Р вше н не. Характеристическое уравнение йэ-: 1 —. О сиест корни й, =! н йэ. — й Общее решение соответствующего однородного уравнения будет (см.
3), где 11.=0 и 5=1)! ул == Сг саз «+ Сэ э)п х. Правая часть вида 1 (х) — еа» (Р (х) соэ ьх ! !7 л (х) з(п ьх! где а»=0, Ь=1, Р„(х) =-О, !7,» (х) =-х. Ей соответствует частное решение У =х ЦАх+ В) соз х+(Сх-(-В) з!и х) (здесь 81=1, а=О, Ь= 1, г==1), Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем коэф- фициенты в обеих частях равенства прп сов х, хсоз х, шп х и хил х. В резуль- тате получается четыре уравнении2А+2Р=-О, 4С=.О, — 2В-,' 2С=-О,— 4А =- 1, из которых и определя!атея А= — 1,'ы В=О, С=О, В=э!и Поэтому У = Х Х = — — саз х+ — з!и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
