demidovich-zad (832426), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Метод Рунге — Кутта применим также для решения системы дифференциальных уравнений 3?9 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОПЛНИЕ находятся по формулам 40 у;=у;,+-(21;,-1( о+21,,), й уг= г-в+ 3 (1(+46- +1(- ), (5) где 1(=1(»( УО) и 1(=1(» у(). Для контроля вычисляем величину 1 ) У( У() 29 (6) Имеео( Еу 1 (у(а~+гдов( ) гй(о(+й(о~) 6 = — (О 3750+2.0 3906+2 0,3926+0,4106) = О 3920; ! 6 й(а( -1 (»о уо) й= ( — О+1 5000) 025=0 3750' ( — ')- й ум~ »о+ уо+ — ') й=( — 0,125+1,5000+0,1875) 0,25=0,3906; (-' '):— й (и ~ »в+ 2 ° Уо+ 2 ~,'Й=( — 0,125+1,5000+0,1953) 0,25=0,3926; (»о+5 Уз+уз ) й=( — 025+1,5000+0,3926) 0,25=0,4!Об; йз =1 дом =1 Если е; не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе десятичного разряда 10-м для у (»), то в качестве у; берем у( и переходим к вычислению следующего значения у;„„повторяя процесс. Если же е; > 1Π— и, то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений.
Величина начального шага приближенно определяется из неравенства й' < 10-н. Для случая решения системы (4) формулы Милна отдельно пишутся для Функций у (») и з (х). Порядок вычислений остается прежним. Г! р и ме р !. Лана дифференниальное уравнение у* =у — » с начальным услоьием у(0)=1,5. Вычислить с точностью до 0,01 значение решения этого урзансаия при значении аргумента»=1,5. Вычисления провести по комбинироаавпому методу Рунге — Кутта и Милна. Р ею ение.
Выбнраеи начальный шаг вычислений й из условия йв < 0,01, Избегая сложной записи й, остановимся на 6=-0,25. Тогда весь участок ин. тегрнрования от»=0 до»=1„5 разобьем на шесть равных частей, длиной 0,25, с поиощью точек х; (1=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие значения решения у и производной у' обозначим через у( н у(. Первые три значения у (не считая начального) вычислим по методу Рунге — Кутта (по фюрнулам (3)); остальные трн значения — уа, уз, уо — по мшоду Милна (по формулам (5)). Значение уо будет, очевидно, ответом задачи. Вычисления проведем с двумя аапасными знаками по определенной схеме, состоящей нз двух последовательных таблиц ! и 2. В конце таблицы 2 мы получаем ответ.
Вычисление значения у!. Здесь 1(» У)= »+У. »о=О„уа=1,5, 5=0,25, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 1гл. х Таблица 1 ВЫЧНСаЕНИЕ Уа, Уз, Уа ПО МстОДУ РУНГŠ— КУтта. ) (х, у) =- — х+ у; 5=0,25 значение г а<в 1 ат =1(хг ат) 1.6426 1,8251 2,0593 2,3602 0 3926 0,4331 0,4850 0,5518 1, 5703 1,7323 1,9402 2,2073 0.4106 0,4562 0,5148 0,5900 0,3920 0,4323 0,484! 0,5506 1,8920 2,3243 2,8084 3,3590 В ы ч и с л е н н е з н а ч е н и я У4.
Имеем 1 (х и) = — х+у Ь =. 0 25, ха — — 11 у,= 1,5ООО, у, — 1,8920, у, =- 2,3243, У,.=2,8084; Уо= 1,оооо уг = 1,6420 уз=- 1,8243 уз= 2 0584. Применяя формулы (5), находим: 45 уа= уч+ — (2ут — уз+2уз)= 3 4 0,25 1,5000+ ' (2 1,6420 — 1,8243+2 2,0584) =3,3588; 3 Уч=((ха уа)= — 1+3,3588=2,3588; Уч=У +3 (У1+4уз+Уз)=23243+ 3 (23588+4 20584+1,8243)= 335901 0,25 /у,-т.~ 138538 — зд5ВО/ 29 29 следовательно, пересмотр шага вычислений не требуется.
уг=уе+буа=!,5000+0,3920=1,8920 (первые три знака в атом приблннгенном числе гарантированы). Аналогично вычисляются значения уе и уа. Результаты вычислений приведены в таблице !. 38! численное интеГРНРОВлиие Получаем ус =ус=-3,3590 (первые три знака в этом приблиясенин гарантированы). диалогично производим вычисления значений уо и уа. Результзты зычно. лений даны в таблице 2. Таким образом, окончательно змеем: у (1,5) =. 4,74.
4'. Метал Д да ч с а. Для решения задачи (1) по методу Лдамса, исходя из начальных данных у(хо) --уа мы находим кассии-нибудь способом слгдусощие три значения искомой функции у (х); У!=у (хс) = — У (ха, 71! Уз= У (хо) =у (хо+23) Уз=У (хз) =У (ха+371) (эти три значения можно получить, например, с помощью разложения у (х) в стеленной ряд (гл !Х, й !6), или найти ик методом послсдонательных приближений (и.
1'), или прйменяя метод Рунге — Уутта (п. 2') и т. п.). С помощью чисел хо, х,, хо, хо и уо, у„у„уз мы вычисляем величины уо, 41, о„с)з, гДе зо-— -йуа — 37 (хо, уо), — йу =67(ха, уо), дг=.ггус — -з) (х,, у,), с)з=- луз = !с! (хз уз) Составляем, далее, глоблийу конечных разностей величины 4: Тая, используя числа сг„йд„йодс, Лод„расположенные в таблице раз. ностей по диагонали, мы с помощью формулы (7), полагая а ней п=3, зычно.
лаем 1 5, 3 1!Уа зз+ бзо+ ~.~ 41+ 3 сса' 2 12 6 Месиод Адамса заклсочается в продолокевпи таблицы разностей с помощью 4(юрмулы Адамса ! 5, 3 з 2 Ув '+Г2 " +3 (7) чнсленнов интегрированна 383 Найдя значение Луз, мы вычисляем Ул = Уз+ ЛУз Зная же кл п уа, мы вычисляем 44 г(4 У!) вносим ум Ьд, и чл в таблицу разностей и пополняем затем ее конечными разностнми Ьда, Л'уа, Лапы расположенныын вместе с д! по новой два~опали, параллельнон прежнеи. Затем, используя числа новой диагонали, мы с помощью формулы !7), полагая в ией л =4, вычисляем Лу,, дз и д, н полу ием следующую диагональ: да, Лам Л'-'дз, Лада.
С помощью эгон диагонали мы пычпсляем значение дэ искомого решения д(х) в т. д. Формула Адамса (7) для вычисления Лд исходит из предположения, что трстьи коиечныс разности Л'"д являютси постоянными. В соответствии с этим величина /! начального шага вычислений определяется из неравенслвз ЬЛ с !О™ (если мы желаем получнГь значение у(х) с точностью до !О-м), В этом смыш!е формула Адамса (7) эквивалентна формулам Л!илна 13) н формулал! Рунге — Кутта !3). Оценка погрешности для метода Адамса сложна и практически бесполезна, так как в общем случае даст сильно завышенные результаты !сц., например, Л. К. Коллатц, "!нсленные методы решений дифференциальных уравнений, гл.
1, 4.8 — 4.9). На правтнке следят за ходом третьих конечных разностен, выбирая шаг 6 столь малым, чтобы соседние разности Ь"д! и Ладьвт отличались межДУ собой не более чем на олнУ-Две единицы заДанно!о разряда (не считая запасных знаков). Для повышения точности результата формула Адамса может быть наполнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины Ф Прн этом возрастает число первых значений функции д, нужных нам для начального заполнения таблицы. Формулы Адамса повышешюй точности мы ис буден здесь приводить.
!! р н ме р У Вычислить при х= 1,5 с тшнюгтыо ло О,О! по комбиниро. ванному методу Рунге — Кутта н Адамса зваченис решения дифференциального уравнения д' =. д — х с начальным условием д(0) —.- 1,5 !см. пример !). Р е ш с иве. 1!спользусм значения у„да, д„полученные нами при решении примера !. Г!х вычисление приведено в таблице 1. Г!оследующие значения дм да, да мы вычвсляем по метолу Адамса (см. таблицы 3 и 4).
Значение да =.4,74 будет ответом задачи. Для случая решенвя системы (4) формула Адамса 17) и схема вычислений, показанная в тзблшге 3, применяются отдельно для обеих функций д,х) н а !л). Найти трн последовательных прнблнження решений указанных ниже диФференциальных уравнений н систем: 3176. у'=к'+у'! у(О).— — О. 3177. у'=к-!-у+г, г' — — у — г; у(0)=1, г(0)= — 2.
3!78. у"= — у; у(О)=0, у'(О)= — 1. Методом Рунге — Кутта, полагая шаг 8 — -- 0,2, вычислить приближенно для указанных промежутков решення данных дифференциальных уравнений н систем: 3!79. у'=у — к; у(0) = 1,5 (О х(1). 3180. у'=- У вЂ” у'; у(1)=1 (! (х(2). 3!81. у'=г+1, г'=у — х; у(0)=1, г(0)=1 (0<х(1). 884 ПРИБЛИЖЕН!!ЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Основная таблица для вычисления ут, у„у, ио методу Адамса. )(х, у)= —,к+у; )т---0,25 (Курсивом обозначены входные данные) дте, дл! ег=л,гл дг! л! 0 0 ~ 1,5000 ~$ЩЩЩЩ~ 1,5000 0,3750 ! 0,0355 (,8920 ~ ЩЩ Щф ~ 1,6420 ~ 0,4105 ~ 0,0456 0,0129 0,0037 ! ~ 0,25 2,3243 ~ ЩЩ!$ЩЩ ~ !,8243 ~ 0,4561 ~ 0,0585 ~ 0,0!66 / 0,0047 2 0,50 2,8084 ~ 0,5504 ~ 2,0584 ~ 0,5146 ~ 0,0751 / 0,0213 3 ! 0,75 ! 2,3588 ~ 0,5897 ~ 0,0964 ~ 6 1,50 (4,7394~ Ответ ~ 4 74 Таблица 4 Вспомогательная таблица длв вычисления по методу Адамса.
т 3 т 2 ~т '+Г2 ' т+ 8 4 ~ 1,00 ~ 3,3588 ~ 0,6356 5 ~ 1,25 3,9944 ~ 0,7450 7444 ! 0,6861 1гл. х Таблица 3 0,010! ~ 0,0028 ба) приБлиженное Вычисление кОэФФициентОВ ФУРье 385 Применяя комбинированный метод Рунге †Кут и или Рунге †Кут и Адамса, вычислить с точностью значения решений указанных ииже дифференциальных иий и систем при указанных значениях аргумента: 3182. у' =х+у; у= 1 при х=О.
Вычислить у при 3183. у' =х'-(-у; у= ! при х= О. Вычислить у при 3184. у' = 2у — 3; у=- 1 при Х=О. Вычислить у при 1 у = — х+2у+г, 3185. г'=х-(-2у+Зг, у=2, г= — 2 при х=О. Вычислить 1/ и г при х=0,5. 4 у =- — Зу — г, 3188. ' 1 г'=у — г; у=2, г= — ! при х=О. Вычислить у и г при х=0,5.
3187. у" =2 — у; у=2, у'= — 1 при х=О. Вычислить у при х= !. 3188. уу" ' !.=. 0; у=.), у'=-0 прп х=1. Вычислить у при х.—. ),5. 3189. —,+ — СОЭ2/=О; х=О, х'=1 при /=О. Найти х (и) и х' (и). Милна до 0,01 уравне- х==0,5. х =- 1. х= 0,5. й 8, Приближенное вычисление коэФфициентов Фурье Ув Уь Ув Ув У4 У5 Ув Уьь Уы Ув Ув У- Суммы (2) Разности (б) ив "Ь "В ИЗ иь иЬ иь ОЬ Ь'В РЗ Сь ОЬ и, и, ив ив иь иЬ Иь о, ь'в рв 05 44 Суммы Разности Суммы Разности а,оввз ть тз Зв 55 55 54 (в 15 (в )(озффициенты Фурье а„, Ь„(л=О, 1, 2, 3) функции у=/(х) прибив иьеино могут быть определенй по формулам: 6Ь5 =-О,ба, — , '0,86ба,+аз, бав=0,866(ть 0 тв), баз=о,— а„ бов = за+ зь+ аз+ зз ба 5 = ( в+ 0 8661 ь + 0 6(в.
бав = зв — зв+ 0,6 (з, — ьв), баз=(в — (в 13 Под ред. Б. П. демидовича С х е м а ! 2 о р д и н а т. Пусть У„= / (х„) (о =-- О, 1, ..., 1?) — значении ик бун цин у.=/(х) в равиоотстолщнх точках х„= —, отрезка [О, 2п), причем ь' Уь- -Уы. Составим таблицы: (гл. х принли)кннные вычисления 0,866= — ш 1 — —— Уз 2 10 30' Имеем; /(х) ш +,д (пасов пх+Ьяашах) па 2 и=! Р е ш е н и е. Составляем таблицы: 38 38 12 4 14 4 — 18 32 8 — 24 — 27 — 23 ЗВ 70 20 — 20 — 13 — 19 — 18 6 4 28 41 27 38 70 20 — 20 — !8 — !9 — 13 6 4 28 27 41 20 5! 7 — 20 о 33 45 28 56 89 33 — 21 — 37 По формулам (1) имеем: аа=9,7; Ь, = 13,9; от=24,9; Ьа = — — 8,4; и,= Ю,З; Ьа = 0,8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
