demidovich-zad (832426), страница 56
Текст из файла (страница 56)
е. полагаем а = — 0,3, (1 ш — О,З, у — 0,5, Ь га 0,4. Тогда система уравнений (:: х=х — 0,3 (хз 1-уз — 1) — 0,3 (х' — у), у=у — 0,5 (хе+у' — 1)-!.0,4 (хз — у) зквввалентная исходной, имеет вид (7), причем в достаточно малой окрестно- сти точки (хе, у,) условие (8) будет выполнено. Методом проб отделить действительные корни уравнений и с помощью правила пропорцно~альпых частей вычислить их с точностью до 0,01. 3138.
х' — х+1 =О. 3139. х4-,'-0,5х — 1,55= 0. 3140. х' — 4х — 1 =-О. Исходя из графически найденных начальных приближений, способом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительиыс корни уравнении: 3141. ха — 2х — 5=0. 3142. 2х — 3 !пх — 3=0. 3143. 2х=4». 3144. !их= — „. Используя найденные графическим путем начальные приближения, способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений: 3!45.
ха — 5х+0,1 =О. 3146, 4х = сов х. 3147. х' — х — 2=0. (гл. х ппинлиженные Вычисления 9 4. Численное интегрирование функций )з. 4з о р мула тр а не ци й. Для прнближеннога вычисления интеграла з ') 7 (х) з(х з Д(х) — непрерывная на [а, Ь! функция) делим промежуток интегрирования Ь вЂ” а !а, Ь! на и разных частей н выбираем шаг вышслений Iз= —. Пусть л хг=хз+Уз (хе=а, х„=.Ь, а==О, П 2, ..., л) — абсциссы точек деления и го=у(хг) — соответствующие значения подынтегральной функции у=((х). Тогда по формуле трапеций имеем: ~7 (х) г)х га Ь ( — "' а+уз+уз+...
+уз з) з с абсолютной погрешностью Ьз )зз ~ (Ь о) Ь(з' где ма = шах ! 1' (х) ! при а ~ х зс ь. Лля достижения заданной точности а прн вычислении интеграла шаг вычислений Ь определяется нз неравенства Ь (ге (Ь вЂ” )й(,' (г) т. е. Ь должен иметь порядок 1г е. Полученное значение Ь округляется в сторону уменьшения так, чтобы Ь вЂ” а — =и Ь Найти графически начальные приближения и вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений и систем: 3148. х' — Зх-)-1 =О.
3149. х' — 2х'+Зх — 5=0. 3150. х' +ха †2х в = О. 3151, х !п х — 14 =О. 3152. х' + Зх — 0,5 = О. 3153, 4х — 7 Б)и х = О. 3154. х" +2х — 6 =О. 3155 ех+ е-зх 4 0 3155 / х'+у' — 1=0, 3157 ) х'+у — 4=0, х' — у =О. ! у — !ях — 1=0. 3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший положительный корень уравнения (дх=х. 3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнения х 1)тх=1.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ 375 было целым числам, и зто дает нам число делений и. Установив й и п, по формуле (!) вычисляем интеграл, беря значения подынтегральной функции с одним или дзумя запасными десятичными знаками. 2'. Формула Симпсона (параболическая формула). Если л — четное число, та н обозначениях !' спрааедлиза формула Симпсона: ь А ) (х) бх = 3 ((уе+уи)+4(ух+уз+" +уе-г)+2(уз+уз+" ° +уя-зВ (3) е с абсолютной погрешностью Ье 88(Ь вЂ” ") м (4) где Ме=гпах )!Гк (х) ( при и~х~Ь.
Для обеспечеаия заданной точности е при зычисленнн интеграла шаг зычнсленнй Ь определяется из неранеистза А' — (Ь вЂ” и) АГ е ~ е, г80 (б) т. е. шаг И амеет порядок угг е. Число Ь округляется з сторону уменьшения Ь вЂ” и так, чтобы и= — было целым четным числом: Ь Замечание. Так как определение шага иычислений Ь и саязаинаго с ннм числа л из неранеистз (2) и (5), зообпге говоря, затруднительно, то на практике Ь определяют грубов прикидкой.
Затем, получив результат, уднаизают число и, т. е. полоиннат шага. Если аааый результат соацадает с прежним я сохраняемых нами десятичиык знаках, то аычисление заканчивается. В пратианом случае этот прием повторяют и т. д. Для приближенного нл|чнслення абсолютной погрешности м каадратурнай формулы Симпсона (3) можно также использоаать принаии Рунге, согласно которому (е — е( где и и И вЂ” результаты вычислений по формуле (3), соответственно с шагом й н Н=28. 3160.
Под действием переменной силы Р, направленной вдоль оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из положения х =О в положение х=-4. Вычислить приближенно работу А силы Г", если дана таблица значений ее модуля Г": Вычисление провести по формуле трапеций и по формуле Симп- сона. 376 ЛРИБЛИ)КЕН11ЫЕ ВЫЧ!!СЛЕНИЯ 1гл. х 1 3161. Вычислить прцблиокенно ! (Зхо — 4х)дх по формулетрао пеций, полагая л.=10. Вычислить этот интеграл точно и найти аосолезтнук! н относительную погрешности результата. Установн1ь верхнюю границу Л абсолютной погрешности вычисления прч и=!О, используя формулу погрешности, приведенную в !Еноте.
3!62. Вычислить с точностью до 1О ' по формуле Симпсона 1 хох — — ', принимая и=10. Установить верхнюю границу Л абсо- .1 1 ь люгпой погрешности, используя формулу погрешности„приведенную в тексте. Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интегралы: 1 1 3163. 3164. ~ о а 2 3166. ~ —, 3166.
~ х 1е хо!х. о 1 2 2 3167. ~ 'х о!х. 3!68. ~ — о!х. 1 о о 2 3170. ! — о!х. х к а 1 1 !' Соо х 3171. ! — о!х. „! ! -1- х 3172. ~ е-5'о!х. о о 3173. Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеграл Ю ех 1 !,хо' ,, применив подстановку х= —.
Проверить вычисление, 1 ь Г ох применив формулу Симпсона к интегралу ~,,, где Ь выбрано ,! 1-, хо ° ! так, чтобы ~ —, ( — 10 '. Ех 1 1-1 х' 2 ь 3174. Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды а --51пх и осью ОХ, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,0! объем тела вращения. зуу ч1кленное интсгрировлиис $51 3175*.
Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 длину дуги эллипса —,+ о .,— — 1, расположенной в первой координатной четверти. й 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений ! '. М е т о д и о с л е д о в а т е л ь н ы х и р и б л и ж е н и й (м е т о д П ик з р а). Пусть дана дифференциальное уравнение 1-га порядка У'=1(», У) (О пря начальном условии у=уе при х=хе, Решение у (х) уравнения (1), удовлетворя~ошее заданному начальному условию, вообще говоря, может быть представлено в виде у(х)= — Бш у; (х), 1-»» (2) где паследаеишельиые приближения у;(х) определяются па формулам Уе (х) == Ул. у;(х) =уз+) )(х, уг т(х))дх «» (1=0, 1, 2, ...). Если правая часть 1(х, у) определена н непрерывна в окрестности )Е (1 — х»1~ и, (У вЂ” У»1-ы ь) н удовлетворяет в этап окрестности условию Лиишици 1) («, у,) — У (х, у,) 1 ~ 1. 1 у, — у, 1 где а= пи'и (а, — ) М =-гпах(1 (х, у) 1, Я При этом погрешность „(х — х»1" +х и .=1у(х) — у.(х))~МЕ" (и+ 1)1 если только 1» — хе(~)ь (/ — постаянаая), то процесс последовательных приближений (2) заведомо сходится в прамечкутке 1х — хе1~ )ь ПВИВЛИЖЕННЪ|Е ВЫЧИСЛЕНИЯ !Гл.
х Метод последовательных приближений (метод Пикара) с незначительными видоизменениями применим также к нормальным системам диФференциальных уравнений. Что касается дифференциальных уравнений высших порядков, та их можно записывать в виде систем дифференциальных уранненнй. 2'. Метод Р у иге — К ут та. Пусть требуется на данном промежутке хее хн Х найти решение у(х) задачи (1) с заданной степенью точности е. Х вЂ” хе Длн зтога свачала выбираем Л= — (шаг еезчисеенид), деля отрезок (хе, Х) на а равных частей так, чтобы Ле < е.
Точки деления хг определяются по формуле к!=хе+ей (з=б, 1, 2, ..., л). Соответствующие зваченин у!=у(х!) искомой функции по мешоду РунгеКутта последонатсльно вычисляются по формулам У!'+!=У!+Луп Луг= — (Лз! +2йзз+2йзз+Ле!), ! где !==0, 1. 2, "., л Лз! з=((х, у ) Л, Лз =г! ~х!+ —, у!+ — у1Л, ю ( Л Л('! '! 2' ' 2 ( 1г! Лз =У (х;+ —, у;+ — ) Л, 2' 2 ) Ла=((хг+Л, У!+У!о)Л. (3) Метод Рунге — Кутта имеет порядок точности Л'. Грубую оценку погрешности метода Рунге — Кутта на данном промежутке (хе, Х) можно получить, исходя из принципа Рунге: а !Узм — Ут( е 15 у 1(х у а) 7 Г ф(х у з) (4) с заданными начальвымн условиями: у=уз, я=хе при х=хе.
3'. Ме т од Ми л н а. Для решения задачи (!) по лзелзоду,!Лнлна, исходя из начальных данных у=уз при х =хе, находим каким-нибудь способом последовательные значения Уз=у(х!) Уз=У(хе) Уз=У(хз) искомой функции у(х) (например, можно воспользоваться разложением реше. ния у (х) в ряд (гл. 1Х, 3 !6) или найти зтн значения методом последовательных приближений, илн применить метод Рунге — Кутта и т.п.). Приближения у! и уг для следующих значений! у;(1=4, 5, ..., л) последовательно где л=2т, уз и у — результаты вычислений по схеме (3) с шагом Л и ша. гам 2Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
