demidovich-zad (832426), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В более общем случае, если 1(к, у) — непрерывна и в двойном интеграле ) ~ 1(х, у) г(х((у (з) 246 (гл. Ри КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ требуется от переменных к. у перейти к переменным и, о, связанным с х, у ыепрерывнымн и днфференцируемыми соотношениями х=»р(и, и), у= ф(н, и), устанавлывающями взаимнооднозначное н в обе стороны непрерывное соответствие мен»ду точкамы области о плоскости ХО)' и точками некоторой области о' плоскости (('О'$', ы при атом якобаак О(х, у) Ю(и, и) сохраняет постоянный знак в области 8, то справедлива формула $ $ 1 (х, у)»(х»(у = $ $ Г" 1»р (и, и), ф(н, и)1 !» ! бп»(и, (5) (5') Пределы нового интеграла определяются зо общим правилам на основа.
яии вида области 5'. Пример !. Перейдя к полярным координатам, вычислить ~ ~ у'! !— хз — узбгбу, (5) где область Я вЂ” круг рзднуса )»= ! с центром в начале коордынат (рис. 92). Решение. Полагая х=гсоз»р, у=ге(пф, получаем: !»~Р-~'~-! и' — » ~ зт-Гт-Н так как в области 3 координата г пря любом ф изменяется ат О до ), а и изменяется от О до 2и, то 2»! 2 ) г~ — *' —, ю*з=~~з ( г~- ю = . 3 (5) о Перейти к полярным координатам г, »р и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах: ! ! 2 к 2160. ~ ((х ) ( (х, у)»(у.
2161. ~ »(х ~ ! ()к хз -(- у')»(у. о о о о 2162.'~ ~ ((х, у)»(х»(у, где 5 — треугольник, ограниченный (5) прямыми у=х, у= — х, у=1. ! ! 2!63, ~ »(х) ~ ®»»у. 2164. ) ) 1(х, у)((х((у, где область 8 ограничена лемнискатой (5) (х'+ у')' = п'(х' — у'). $21 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 2!9 2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл ) ~ у ((х ((у, (З) диаметра а с центром в точке С ( †; О) (2 ' где Я вЂ” полукруг (рнс. 93).
2!66. Переходя интеграл к полярным координатам, вычислить двойной )) (х'+у')(!х((у, (5) на область, ограниченную окружностью распространенный х'+ у' = 2ах. 2167. Переходя интеграл к полярным координатам, вычислите двойной !1у ' — с — Г~ о. где область интегрирования Я вЂ полукр радиуса а с центром а начале координат, лежащий выше оси ОХ.
Рис. 93. Рис. 92. 2168. Вычислить двойной интеграл от функции ~(г, (р) =г по области, ограниченной кардиоидой г = а (1+ соз (р) и окружностью г=а. (Имеется в виду область, не содержащая полюса.) 2169. Переходя к полярным координатам, вычислить ) ((х ) 'Р' х'+у'((у. о о 2170, Переходя к полярным координатам, вычислить ~ ~ 'Г' ао — х' — уо((х((у, (3) 250 (гл. нп култныв и кпиволинв)(ныв интвголлы где область 3 ограничена лепестком лемнискаты (х*+ у')' = иа (х* — у') (х~ О). 2171*.
Вычислить двойной интеграл распространенный на область 5, ограниченную эллипсом ха уа —, + —, = 1, переходя к обоби(енным полярным координитам г и (р по формулам: — гсоз(р, з '= — гз)п(р. х и а 2172"*. Преобразовать с Ва ) ((х 1 1(х, у)((у о оа (0((е<(1 и с>0), введя новые переменные и=х+у, ио= — у. 2173".
Выполнить замену переменных и = х+у, о = х — у в интеграле 3 1 ) Их ) 1(х, у)((у. о о 2174о*. Вычислить двойной интеграл (з! где Я вЂ облас, ограниченная кривой Указанне. Пронзвеетн замену переменных х=агеоа~р, у=ьага(п(р, 2 3. Площади фигур )'. Площадь в и рямоугольн ых кое рдннатах. Площадь лазской обласщи 5 равна пл, 8=)) а.е((у. (5) 251 1 г) ПЛОШАДИ ФИГУР Если область определена неравенствами аапх~Ь, ф(х)а,уам)р(х), то ь ф(а) пл.
Я= ~ )(х ( )(у. а а(х) п. 5= ~~ Ьрб =~ Ьр ~ Г((Г, (э) а )(а) 2!75. Построить интегралами: г «аг области, площади которых выражаются б) ) с(у ) ((х. О а-у а) ) ((х ) ((у; Вычислить эти площади и изменить порядок интегрирования. 2176. Построить области, площади которых выражаются интегралами: а (!асов а) а (аг аа а г а) ) йр ~ г ((Г; б) ) с((р ) г ((Г.
а о а а Вычислить этн площади. 2177. Вычислить площадь, ограниченную прямыми х = у, х==2у, х+у=п, х+Зу=а(а>0)*). 2178. Вычислить площадь, лежащую иад осью ОХ и ограниченную этой осью, параболой у'=4ах и прямой х+У=За. 2179*. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом (у — х)'+ х' = 1. 2180. Найти площадь, ограниченную параболами у'= 10х+25 и уа=- — бх+9. 2181.
Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями х*+уа=2х, х'+ух= 4х, у=х, у=0. 2182. Найти площадь, ограниченную прямой Гсоэ(р=1 и окружностью Г=2. (Имеется в виду область, не содержащая полюса.) 2185. Найти площадь, ограниченную кривыми Г=-а(1+созф) и Г=асозф (п>0). ') См. сиосиу на стр. !50. 2'. Плошадь в полярных координатах.
Если область о а полярных координатах т иф определена неравенствами с(а ф~р. 1(ф) Г~ а-„Г" (ф), та В и (и) 252 кРАтные и кпиволииийяыи интйгвллы 1гл. ти 2184. Найти площадь, ограниченную линией 2185е. Найти плошадь, ограниченную эллипсом (х — 2у+ 3)а+ (Зх+ 4у — 1)' = 100. 2188. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами парабол х'=:ау, х'=Ьу, уа=ссх, уь=))х (О < а < Ь, 0 < а < ф). Укаааиие, Ввести иовые перемекиые и и в, полагая ха=иу, уе=ох. 2187. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами кривых уай=ах, у'=Ьх, ху=а, ху=)) (0<а<Ь, 0<а<))). Указав ие. Ввести новые перемеииые и и п, полагая »у=и, ух=ох.
ф 4. Объемы тел Обеем У цялиндраида, ограиичеииого сверху иепрерывиой поверхиостью »=1(х, у), снизу плоскостью »=0 и с бокса прямой цилиидрической поверхиастью, вырезывающей иа плоскости ХОг область 5 (рис. 94), рааеи У = ~~ /(». у)д»ду. 1»1 2!88. Выразить при помощи двойного интеграла объем пирамиды с вершинами 0 (О; 0; 0), А (1; 0; 0), В (1; 1; 0) и С (О; 0; 1) (рис. 95), Расставить пределы интегрировании. Рис. 94. Рис.
95. В задачах 2189 †21 нарисовать тела, объемы которых выражаются данными повторными интегралами: $4! оаьемы тел ! 4-к г г к 2189. ~ 4(х ~ (1 — х — у) 4(у. 2!90. ~ 4!х ~ (4 — х — д) 4(у. о о о о У 4-к 2191. ~ 4(х ~ (! — х) 4(У. 2192.
) 4!х ) (4 — х — У) 4(д. о о о 2193. Нарисовать тело, объем которого выражается интегрэ- У'к* ЛОМ ~ 4!Х ~ Г'аг — Х' — угг(у, И ИЗ ГЕОМЕтрИЧЕСКИХ СООбражс. о о ний найти величину этого интеграла. 2194. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим па. раболондом г=2хг+у'+1, плоскостью х+у=! и коорди44ат ными плоскостями. 2195. Тело ограничено гиперболическим параболоидом г=-х' — у' и плоскостями д=О, г=О, х=1.
Вычислить его объем. 2!96. Тело ограничено цилиндром х*+г'=а' и плоскостя. мн у=О, г=О, д=х. Вычислить его объект. Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями: 2197. аг=у', х'+у'=г', г=О. 2198. у='У/ х, у=2У' х, х+г=8, г=О. 2199. г=х'+у', у=х', у=1, г=0. 2200. х+у+г=а, Зх+у=а, — х+у=а, у=О, г=О.
3 кг аг+к*=' у= х у=бг г=". 2202. х*+у'=2ах, г=ах, г=))х(а > )1). В задачах 2203 — 2211 использовать полярные и обобщенные полярные координаты. 2203. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром хг +у' =- а' и гиперболоидом х'+у' — г' =- — а'. 2204. Вычислить объем тела, ограниченного конусом 2 (х'+ у*) — г' = О и гиперболоидом х'+ у' — г' = — а".
2206. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2аг=х'+у', х'+д' — г*=а', г=О. 2206. Определить объем эллипсоида к' о' кг — г+ — + — = 1. аг Ьг сг 2207. Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2аг =- х' +у* и сферой х' +у' + г' = За'". (Подразумевается область, лежащая внутри параболоида.) 2208. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХО); цилиндром х' +уг = 2ах и конусом х' +у'= г'.
2209. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХО)к. ПОВЕрХНОСтЬЮ г=аг — 4к*'УЧ И цИЛИНдрОМ Хг+уг=)444. КРАТНЫЕ И КРИЕОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1Гл. Рг! 2210. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ, лз уз лз Ьл х параболоидом г= †, + ьт и цилиндром †, + †, =2 в . а' Ь аз ЬВ а 2211. В каком отношении гиперболоид х'+у' — г'=а'делит объем шара х'+у'+аз(Зазг 2212». Найти объем тела, ограниченного поверхностями г=х+у, ху=1, ху=2, у=х, у=2с, г=0 (х>0, у>0).
$ б. Площади поверхностей Плонутдь и гладкой однозначной понерхностн В=1(л, у], нмекнцей сноса проекцией нн плоскость ХОГ' область о, равна 2213. Найти площадь части плоскости — + — + — 1, заклюх у н ченной между координатными плоскостями. 2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х'+ук = = )сз(г)~0), содержащейся между плоскостями г=тх и г=пх(т)Л,Р О). 221б».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
