demidovich-zad (832426), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти производную вектор-функцию от функции а(г) = =а(()аз(1), где а(1) — скалярная функция, а аз(1) — единич- ный вектор, в случаях, когда вектор а (() изменяется: 1) только по длине, 2) только по направлению, 3) по длине и по направ- лению (общий случай).
Выяснить геометрический смысл полу- ченных результатов. 2081. Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функ- ции по скалярному аргументу, вывести формулу для дифферен- цирования смешанного произведения трех вектор-функций а, Ь и е. ВЕКТОР. ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 233 т ~н 2082. Найти производную по параметру 1 объема параллелепипеда, построенного на трех векторах: а= 2+А,?'+1'Ь; Ь = 20 —,7+ РЬ' с = — Ю+ 1',7'+Ь. 2083. Уравнение движения Р = 37 соя у+ 4/з)п 1 ° где ~ — время. Определить траекторию движения, векторы скорости и ускорения движения, Построить траекторию движения и и л векторы скорости и ускорения для моментов 1 = О 2 = — и 1 э А 2 2084.
Уравнение движения г = 21 соз |+ 2? яп 1+ ЗЫ. Определить траекторию движения, векторы скорости и ускорения движения. Чему равны величины скорости и ускорения движения и каковы их направления для моментов 1 = 0 и 1 = †? 2 ' 2085. Уравнение движения г=?Созасоз м1+уз!п асов ГР2+Ьяп ГВ1, где и и оэ — постоянные н ~ — Время. Определить траекторию движения, векторы скорости н ускорения движения и их величины.
2086. Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления воздуха) ЯГ' Р=пА1 — 2 Ь, где п,1О,„, о,у, о„) — начальная скорость. Найти скорость н ускорение в любон момент времени. 2087. Доказать, что если точка движется по параболе АР у = —, я=О таким образом, что проекция скорости на ось ОХ I лх остается постоянной ~ — = сова)), то и ускорение остается по- ~ЛГ стоянным. 2088. Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемого в балку, описывает винтовую линию х=асоз0, у=аз1п0, 2=80, 234 екнкции ннскольких пврымынных (гл.
ч~ $19. Естественный трехгранник пространственной кривой Во всякой неособой точке М(х, у, г) простракственной кривой можно построить естественный трехгранник (тривдр), состоящий взаимыо перпендикулярных плоскостей (рис. 84): 1) соиринасаюи(сйсл плоскост» ММ,Мь — содержащей векторы дьг , я —; д(ь г=г (1) яэ трех 2) нормальной плоскости ММьМв — перпендикулярной к вектору — и йг дГ 3) слрлммыкчвй плоскости ММьМь — перпендикулярной к двум первым плоскостям. В пересечении получаются три прямые: 1) насавывьнал ММ,; 2) евавнаа нормаль ММ,; 3) бинормавь ММь, определяемые соответственно векторамн: йг 1) Т= — (вектор касатевь. дс ной); йг аьг 2) В= — Х вЂ” (вектор би- Ж йгь нормали)1 3) К=В Х Т (вектор славной нормали) .
Соответствующие единичные векторы Т В . К еатллытаым (т( ' ) В) ' ) и) т= —: р= —; ч=— могут быть вычислеыы по формулам йт — — ч= —; р=тХ ч. !-."! ' Рнс. 84 Если Х, У, 2 — текущие координаты точки касательной, то уравневив касательной в точке М (х, у, в) имеют внд Х вЂ” х г — у Я вЂ” а Т„ Т„ Т и бу где Т„= —, Ти — — —, Т,=- —; на условыя перпепдикулярностя првмой и йг' бг йг' где 0 — угол поворота винта, а — радиус винта, а Ь вЂ” высота подъема при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки. 2009.
Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а, вращающегося с постоянной угловой скоростью ю так, что его центр при этом движется прямолинейно с постоянной скоростью пь. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ $!9! плоскости получаем уравнение нормальной плоскости Т„(Х вЂ” )+Т„()г у)+Т,(г — )=О. (2) Заменяя е уравнениях (!) и (2) Т„, Та, Т, на В», Вг, В, и АГ„, Д'и, М„получим уравнения бинормали н главной нормали и, соответственно, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости.
Пример 1, Найти основные единичные векторы т, и н !) кривок =С у=!э, х=(э в точке 1=1. Написать уравнения касательной, главной нормали и бннормалн в этой точке. Решение, Имеем: Р=ГЮ+Р/-';. Гэй — =!+21,/+3!эй. бг иу оэг — э 2Г'+ бтй. о'Гэ Отсюда при 1=1 получим: т=~~ =!+г~+зй! В= — Х вЂ” = 1 2 3 =6! — 6/+2й; !Р Р Руд 31~ ~! м=вх т~ б — б 2~= — 22! — !у+!ай. 1 2 3 Следовательно, !+2У+3» р 31 — ЗУ+й — П! — 3,У +Рй У14 )'!0 ~2бб гак как при 1=1 имеем х=1, у=!, х=1, то х — 1 у †! а — 1 1 2 3 — уравнения касательной, х — 1 у — 1 а — 1 3 — 3 1 — уравнения бинормали и х — 1 « — 1 а †! — уравнения главной нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхвостей У (х, у, х! = О, 0 (х, у, а) = О, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1ГЛ. У1 230 в ее точке М (1; 1; — 2). Р е шеи не. Дифференцируя систему (3), считая х неэависнмой перси«иной, будем нметас х ох+ у оу+ г ох = О, ух+«(у+«(г=о «(хг+ пуе+ у угу+ «(гг+ г бег = О, Угу+ «( = О. Полагая х = 1, у = 1, г = — 2, получим: оу = — бх; 2 агу = — — бхг; 3 ох=о; 2 Й~г= — «(» .
3 Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяетси вектор«ми (бх, — «(х, О) н (О, — — «(ха, — охг) 2 2 нли (1, — 1, О) н (Π— 1, 1). Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости «сть ,у й( В= 1 — 10= — 1 — г — й Π— 1 1 и, следовательно, ее уравнение — 1 (х — 1) — (у — 1) — (с+2)=О, т. е. х + у + г = О, что и должно быть, так как наша крнвая расположена в втой плоскости. 2090. Найти основные единичные векторы т, я, (0 кривой х=-1 — сон(, у=а(п(, г=1 в точке (= —.
2 209(. Найти единичные векторы касательной и главной нормали конической спирали г = е'(! соя (+,/е(п (+й) бг агг то вместо векторов — н — можно брать векторы «(г («(х, «(у, бг) и «(1 ага о«г(бгх, «(гу, «(гг), причем одну на переменных х, у, г можно считать н«зависимой и полагать ее второй дифференциал равным нулю. П р н и е р 2, Написать уравнение соприкасающейся плоскости окружности ха+уг+ге=6, х+у+г=о (Э) 237 ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ 1 ! Э1 в произвольной точке. Определить углы, составляемые этими прямыми с осью ОУ. 2092. Найти основные единичные векторы т, ч, (1 кривой у=х', г=2х в точке х =2.
2093. Для винтовой линии у=аз)п1, г=Ы х=асоз1, написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного трехгранника в произвольной точке линии. Определить направляющие косинусы касательной и главной нормали. 2094. Написать уравнения плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой х'+у'+ г' =6, х' — у'+ г' = 4 в ее точке М(1; 1; 2). 2095.
Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и соприкасающейся плоскости кривой х=1, у=1', г=1з в точке М(2; 4; 8). 2090. Составить уравнения касательной, главной нормали и бинормали н произвольной точке кривой Г4 1В С2 Х= 4 У= —. 3 ' 2 Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет параллельна плоскости х+Зу+2г — 10=0. 2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали кривой 12 х=-1, у= — С г=— 2 в точке 1=2. Вычислить направляющие косинусы бинормали в этой точке. 2098.
Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к следующим кривым: а) х=)тсоз'1, у=)та!п1соз1, г=)гз)п1 при 1= —; 4 ° б) г.=х'+у"-, х =-у в точке (1; 1; 2); в) х'+уг+гэ=25, х+г =5 в точке (2; 2~ 3; 3). э))99, Яййуй уравнение нормальной плоскости к кривой г=-х' — у', у= х в начале координат. 2100. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой х=е' у=е-', г=ТЗГ 2 в точке 1=0. 238 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ, У! 2101. Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым: а) х*+у'+г' =9, х' — у' =3 в точке (2; 1; 2); б) х'= 4у, х'=24г в точке (6; 9; 9); в) хе+ге =аз, уз+ге=де в любой точке кривой (х„у„г,).
2102. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали н бинормали к кривой у'=х х'=г и точке (1; 1; 1). 2103. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к конической винтовой линии х=(соя1, у=1з!П1, г=Ы в начале координат. Найти единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали в начале координат. $ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой 1е Крнвн.зна.
Под кривизной кривой в точке М поынмаегсп чясло К= — '= )(ш — 3 ч й аь-ье Ьз где Ф вЂ” угол поворота касательной (уаол санжноони) на участке кривой Ма(, Ьз — длнна дуги етого участка кривой. )1 называется радиусов нриаиэны. Если кривая задана уравненяем г=г(з), где з — длнва дуги, то Длп случая общего параметрнческого задаыня крввой нмеем: г (1 ~дг~э йе. К р у ч е н и е.
Под кручением (второй кривизной) кривой в точке М понымается число Т== — Вш 1 6 а. оаз' где й — угол поворота бннормалн (узза счзгкности Фяорозо рада) на участке кривой Мг(. Велнчныа р называется радиусом кручении нлн радиусам опорой кривизны. Если г=г(з), то Аг бег бег где зыак мвнус берется в том случае, когда векторы — н ч вмеют однвакоф дз вое направленые„н зван плюс-в протввоположном случае. $ те! кривизна и кручинив прострлнственнои кривой 239 Если г=г(Е), где 3 — произвольный параметр, то ~1г наг ааг ! а'Е ата ата (2) пример 1.
Найти кривизну и кручение винтовой линии г=(асозЕ+Еав!пЕ+йЬЕ (а ) О). Решен ие. Имеем — = — Еа з(п ! +уа соз Е+ йЬ, аг ЕЕЕ наг аЕа — = — Еа созт — уа з(пЕ, ааг ата — = — Еа з!п Š— ла соз Е. Отсюда й~ — Х вЂ”,= — аз!пЕ асов! Ь =ЕаЬв!пŠ— уаЬсовЕ+ай йЕ и — а соз Š— а а(п Е 0 — аз!пЕ асов! Ь вЂ” — — = — асов! — аз(пЕ 0 =атЬ. ,ЕЕ лта ата аз!пŠ— а созЕ 0 Следовательно, ма основании формул (!) н (2) получим: ! а Ьгаа+Ь' а )1 (аа ( Ьа)Ч. а'+Ь* 1 ааЬ Ь р а'(а*+Ь') а'+Ьз т.
е. для винтовой линии кривизна и кручение постоянны. 3'. Формулы Френа ат ч ат т Р ой и — = — — +.— аа Ет аа Ет р аа р 2104, Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна нулю, то линия †прям. 2105. Доказать, что если кручение во всех точках кривой равно нулю, то кривая †плоск.
2106. Показать, что кривая х= 1+31+2(а, у=2 — 21+5(з, а=1 — Еа — плоская; найти плоскость, в которой она лежит, Функпии нескольких пеРеменных 1гл. ю 2107. Вычислить кривизну линна: а) х=соз|, у=з1п1, г=спт при 1=0; б) х' — у'+г'=1, у' — 2х+г=0 в точке (1; 1; 1). 2108. Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых: а) х=е'соз1, у=-е'з(п1, г=е' б) х=асЫ, у=азот, г=а1 (гиперболическая винтовая линия). 2109.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
