demidovich-zad (832426), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Устанавливаем, что д() дР дй д() дР дй — = — =3, — = — =2г, — = — =О дх ду ' ду дг ' дг дх я, следовательно, (Зхз+Зу — 1) дх+(ге+За) ду-~-(Зуг-)- !) дг=до= — дх+ — ду -! — дг, ди ди ди дх ду дг где и — искомаи функция. Имеем: ди — =Зх'+Зу — 1 дх В значит, и= ~ (Зхе+Зу — 1) да= ха+Зху — х+~р(у, г), С другой стороны, — = Зх+ — = ге+ Зх, ди др ду ду — = — =2уг+1, ди д~р дг дг откуда — = г' и -х=2уг+ 1. Задача сводитси к отысканию функции двух дф дг переменных р(у, г), частные производные которой известны и выполнено условие полного дифференциала. Находим йл р(у, г).= ~ г~ду=угз+ф(г), — = 2уг+ ф' (г) = 2уг+ 1, дч! ф'(г)=1, ф(г)=а+С, ! э! инте гуиуовлнин полны к диефвеенциалов 20! т. е, е(у, г)=уха+а+С.
Окончательно получим: и = ха+ Злу — х+ уг'+ г+ С, Убедившись, что данные ниже выражения являются полными дифференциалами некоторых функций, найти эти функции. 1926. у Йх + х Йу. !927. (соэх+Зхгу)бх+(хг — уг)г(у. !928 (х+2у) да+у ду (х+у)' 1930. — г(х — —, ду. 1931. г(х+ г(у. ~хапуг хг+уг 1932. Определить постоянные а и 6 так, чтобы выражение (ахг+ 2ху+ у') дх — (хг -)- 2ху + Ьу') ду (х +у*) было полным дифференциалом некоторой функции г, и парти последнюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными дифференциалами некоторых функций, найти эти функции. 1933. (2х+ у+г) Ых+(х+2у+г) ну+(х+у+2г) Иг. ! 934. (Зх'+ 2у'+ Зг) г(х+ (4ху+ 28 — г) г(у+ (Зх — у — 2) Нг. 1938. (2хуг — Зу'г+8ху'+2) ох+ + (х'г — бхуг+ 8хау+ 1) бу+ (х'у — Зху'+ 3) пг. '"'(-' —:)""+И--')" (-' —.") 193? хдх+уду+гдг у"х +угтгт 1938*. Даны проекции силы на оси координат: Х= ., 1'= —,, у ).х (х+у)г ' (х+у)' ' где Х вЂ” постоянная величина.
Каков должен быть коэффициент )ь, чтобы сила имела потенциал? 1939. Какому условию должна удовлетворять функция ?(х, у), чтобы выражение ?(х, у) (дх+ду) было полным дифференциалом? 1940. Найти функцию и, если г(и=1(ху) (у Их — х Ну). 202 1гл. т! Функции нескольких пегемниных 5 9. Днфференцнрованне неявных функцнй 1'.
Случай одной нева выси май переменной. Бслн уравнение /(х, у)=0, где 1(х, у) — диффереицируемая функция переменных х и у, определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функцак при условии, что (г(х, у) ю О, может быть найдеыа по формуле (!) Производные высших порядков находзтси последовательыым дифференцирова ыием формулы (!) ду дэу П р амер 1.
Найти — н —, если дх дхз' (х'+ у')' — 3 (х'+ у') + 1 = О. Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через 1(х, у), найдем частные производные /г(х, у)=З(хе+уз)з 2х — 3 2х=бх [(хе+уз)е — 1), )г(х, у)=3(ха+уз)з 2у — 3.2у=бу [(хе+уз)з — !], Отсюда, оряменяя формулу (1), получим: ду )г" (х, у) бх [(хе+уз)г — 1] х дх 1'„(х у) ° бу [(хе+у )з — 1] у ' Чтобы найти вторую производную, проднфференцируем по х вайцеыыую первую производную, учитывая при этом, что у есть функция ж дзу д / х'( бх ~, у/ уз+ха 2ч. Случай нескольких независимых переменных. Аналогично, если уравяение Р(х, у, г)=0, где Р(х, у, г) — дифференцируемая функция переменных х, у и г, определяет г как функцию неаависимых перемекных х и у и Г,(х, у, г) Ф О, то частные производные этой неявно зюыныой фуккцни могут быть найдены по формулам: дг Гг(х, у, г) дг Ра(х, у, г) ')х Рг (х, у г) ду Рг(х, у, г) Другой способ нахождения производных функции г следующий: дифференцируя уравнение г (х, у, г)=0, получим: дг" дг" ду — бх+ — ду+ — дг = О.
дх ду дг дг дг Отсюда можно определить дг, а следовательно, — и —. дх ду' дг дг Пример 2. Найти — и —, если дх ду ' хз — 2уе+Зге — ух+У=О. ДИФФЕРЕНЦИРОВЛНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯ 203 Решение. 1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через Р (х, у, г), найдем частные производны Рх(х, у, *)=2х, Р„(х, у, г)= — 4у — г+1, Ра(», у, г)=бг — у. Применив фориулы (2), получим: дг Ра(х, у, г) 2.т дг Ри(х, у, г) 1 — 4и — г де Р,'(х, у, г) бг — у' ду Р,'(к, у, г) бг — у 2-й способ.
Дифференцируя данное уравнение, получим: 2х дх — 4у ду + бг дг — у дг — г ду+ ду = О. Отсюда определяем дг, т. е, полный дифференцяал неявной функции; 2хдха-(1 — 4У--г) с(У с(г= ' у — бг дг дг Сравнивая с формулой с(г= — дх+ — ду, тндим, что дх ду дг 2х дг 1 — 4у — г дх у — бг ' ду у — бг За.. Система не я в н ы х фун к ци й. Если система двух уравнений Р (х, у, и, и) — — О, б (к, у, и, о) = О дР ду ди де дб дб ди ди В (Г, б) В (и, и) то дифференциалы этих функций (а следовательно, ик частные производные) могут быть найдены из системы уравнений — дк+ — ду+ — ди+ — до=О, дР дР дР дР дх ду ди ди дб дб дб дб — дх+ — Ыу+ — дь + — до =О, дк, ду ди ди (3) П р и м е р 3.
Уравнения и+и =х+у, ли+ уи= ! ди ди ди ди определяют и и и как функции от х и у; найти — , — , — и — , дх ' ду ' дх ду ' Ре шеи не. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения но х, получи|и ди до — + — =1, дх дк ди дс и-|-х — +у — =О, дх дх определяет и и и как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан 204 (ГЛ. У7 .ФУИКНИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЕМЕННЫД отсюда ди и+у до и+х дх х — у' дх « — у ду х — у 2-й с погод. Дифференцированием находим два уравнение, связывающие днфференцналм всех четырех перемениыл: Ни+Но=дх+Ну, х Ни+ и Нх+у Но+пир =О.
Решив эту систему относительно дифференциалов Ни и Но, получим: (и+ у) Нх+(о+ у) Ну (и+ а) Нх-+ (о+7) Ну х — у — .ау ди и+у ди о+у дх х — у до и+х дх х — у' . 4'. П э р а и е т р и ч е с к о е а яд а н и е ф у н к ц и н. Если диффереицируемаа функция г от переменных х я у эадапа параметрически уравнениями х=х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о) дх дх ди до ду ду ди оо В (», у) В (и, о) то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений дх дх Нх= — Ни+ — Но ди <Ъ Ну = — Ни+ — е ду ду ди до дг, дг Нг= — Ни+ — Но ди до дг производные — =Р а дх Зная дифференциал Нг=ндх+оду, находим частные дг — =Ф ду П р н м е р 4.
Функции г аргументов х и у эадана х=и+о~ у=и +ее г=иг+ьа уравнеииямя (и Ф о). дг дг Найти — н — . дх ду Аналогичным образом найдем: ди о-(- у ду х — у' ду х — у' до о+х ду х — у' ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕИВИЫХ ФУНКЦИЙ 205 Ре шеи не. 1-й способ. Днфференцнроааннем находим трн ураянеяня, саязыавющие дифференциалы всех пятн переменных: с ах=-аи->-ао, ау =-= 2и ам+ 2о ао, аг =. 3 из а и + !!огас. 5!з парных дауа ураанений определим аи н йп ди= 2о дх — ау ау — 2и ах — до= 2(о — и) * 2(о — и) Подстапнм а третье уравнение найденные выражения ди н ао! д =3 айнах ду 3 гау 2 (о — и) 2 (о — и) био (и — о) ах -1-3 (ог — и') ау 2 (г — и) — Зиоах+ — (и+о) ау.
3 2 Ого юда дг дг 3 — = — Зио, — = — (и+о), дх 2-3 с п о сод. Из третьего данного уравнения можно найти: дг г ди до дг г ди до — =Лиг — +Зог —: — ==Зиг — +Зоз — . дх дх дх ' до дд ду ' Из первой системы найдем: ди о дг и дх о — и' дх и — о Из второй системы найдем; ди ! до ао 2(и — о) ' ду '2(о — и) ди до ди' до Подставляя выражения —, —, —, — а формул> (3), получим: дх ' дх ' ду ' ду дг о е и — =Зиг — +Зое — = — Зио, дх о — и' и — о дг 1 „г 1 3 — =Зи' + Зог ° — = — (и+о).
ду 2(и — о)+ 2(о — и) 2 !941. Пусть у есть функция к, определяемая уравнением хз уе — + —,=1. аг Ьг Проднфференцируем первые даа уравнения ди до 1= — + —, ах ах ' 0=2и — "+2о — ', дх дх' сначала по х, затем по у: ди до 0= — + —, ад ау ' ди до 1 =2и — +2о —.
ду ду ' 206 ~гл. и ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ еу агу агу Найти — — п —. ах ' дхг дхг ' 1942. Пусть у есть функция, определяемая уравнением х'+у'+2аху=О (а) 1). д'у Показать, что — „,=0 и объяснить полученный результат. 1943. Найти — „„, если у=1+у". еу 1944. Найти — „и „вЂ”,, если у=х+1пу. Еу д'у 1946. Найти ® и (д„г), если х' — 2ху+ ух+ х+у — 2 =О. Пользуясь полученными результатами, приближенна изобразить график данной кривой в окрестности точки х=1. 1946. Функция у определяется уравнением 1п Д х'+ у' = а агс(6 у (а чь 0).
Найти — и —. ду агу дх дхг ' 1947. Найти — „и — „„,, если ду агу 1+ху — 1п(е'г+е "г) = О. 1948. Функция г переменных х и у задана уравнением х'+ 2у'+ г' — Зхуг — 2у+ 3 = О. дг дг Найти — и —. дх ду ' 1949. Найти — и — если дг дг дх ду ' х соз у + у соз г+ г соз х = 1, 1960. Функция г задана уравнением х'+ у' — г' — ху = О. Найти — и — для системы значений х= — 1, у=О, г=1. дг дг дх ду дг дг д'г д'г дгг хг уг гг 1961. Найти — — — — — если -+ — + — = 1. дх ' ду ' дхг' дхду' дуг' аг аг ег 1962. г'(х, у, г)=0. Показать, что — ° — ° — „= — 1.
дх ду де 267 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 1953. г=у(х, у), где у есть функция х, определяемая уравнением ф(х, у) =О. Найти дг 1954. Найти аг и а'г, если х- + у'-+ г' =- а*. 1955. Пусть г есть функция переменных х н у, определяемая уравнением 2х'+ 2уг+ г' — 8хг — г+ 8 — — О.
Найти дг и а'г для системы значений х=2, у=О, г=1. 1956. Найти аг н й'г, если !пг==х+у+г — 1. Чему равны производные 1-го и 2-го порядков функции гу 1957. Пусть функция г определяется уравнением х'+уз+ г'= ср(ах+ Ьу+сг), где ~р — произвольная дифференцируемая функция и а, Ь, с — постоянные. Показать, что дг дг (су — Ьг):+ (аг — сх) — = Ьх — ау. дк ду 1958. Показать, что функция г, определяемая уравнением г" (х — аг, у — Ьг) =О, где г — произвольная дифференцируемая функция своих аргументов, удовлетворяет уравнению дг дг а — +Ь вЂ” ==1. дк ду 1959. г" ( —, — ) =О.
Показать, что х — +у — =г. /х ух дг дг (г' г) дг ду 1960. Показать, что функция г, определяемая уравнением у = х9 (г) + ф (г), удовлетвор яет уравнению хуг=а, х+у+г=Ь. Найти с(у, йг, сйд, Нег. 1961. Функции темой уравнений дг деу дег — — — при дх ~ ах~ ' дг2 1962. Функции темой уравнений у и г независимой переменной х заданы сисх'+у"- — г'=О, х'+2д'+Зг'=4. Найти —, ду дх х=1, у=О, г=1. у и г независимой переменной х заданы сис- еункции нескольких ппвимннных [гл. ч т ' 1963.'Функции и и о независимых переменных х и.у заданы неявно системой уравнений и =х+у, по=у.
Вычислить ди ди даи дти дти до до дто дтв дто дх' ду' дх ' дхду' дух' дх ' ду ' дха ' дхду' дув — — — — — — — — — — при х =О у= 1. Ф 1964. Функции и и о независимых переменных х и у заданы неявно системой уравнений и + о = х, и — уо = О. Найти т(и, т(о, ~ви, т(ао. 1965.
Функции и и о переменных х и у заданы неявно системой уравнений х=ф(и, о), у=ф(и, о). ди ди до до Найти дх' ду' дх' ду' да дх 1966. а) Найти — и —, если х=исово, у=ив1по, г=со. дх ду ' да дх б) Найти д„и д, если х=и+о, у=и — о, г=ио. в) Найти т(г, если х=е'+е, у=е'-', г=ио. 1967. г=г" (г, тр), где г н ф — функции переменных х и у, определяемые системой уравнений х=гсов<р, у=гв1п~р.
Найти — — и —. дх' дх х ду' дх дх 1968. Рассматривая г как функцию х и у, найти — и —, если дх ду ' х=асовфсовф, у=да(пфсовтр, г=св(птй. 6 10. Замена переменных Прн аамене переменных в дифференпнальных выражениях входящие в нив пронаводные следует выравить иерее производные по новым переменным, испольауя пеоавила дифференпнрования сложных функпнй. 1. Замена переменных в выражеиинх, содержащих обы к и овеян не производные. Пример Ц Преобразовать уравнение дау Иу ат хт — +2к — + — у=о, дха дх ха полагая я=в З 1а1 209 эдыена Гепеменных Р е ш е н и е. Выразим производные ст у па х через производные от у пс 1.
Имеем: г1у бу бу ~й и1, бу ах йх 1 йт * ~й и (ду~ ~'У б (~~у~! бг ~~~ ! ( У 2 у ~ а бхз бх ! дх.т бх ! б! б1з 1 б! б1а ' — — — =- (21 — +1' — ~! 1- 1а! =21 — + 1' —. ~Н Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и аамеияя 1 л через —, получим: — ° П (2 — +1 — ) +2 ° — ~ — П вЂ” ) +аз!ау=Π— +азу==0. азу бП П р и м е р 2, Преобразовать уравнение врнняв у за аргумент, а х за фуняпию. Р е ш е н н е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
