demidovich-zad (832426), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Т е о р е и а 1. Площадь поверхности, полученной от вращения дуги плоской кривой вокруг некоторой аси, лежащей в одной плоскости с кривой н ее не пересекающей, равна проиэведению длины дуги на длину окружности, опнсывземой центром тяжести дуги кривой. Теореме 2. Объем тела, полученного прн вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей, рзвен произведению плащзди этой фигуры из длину окружности, описываемой центром тяжести фигуры.
1727. Найти статические моменты относительно осей координат отрезка прямой линии — + — =1, а а заключенного между осями координат. 1728. Найти статические моменты прямоугольника со сторонами а и Ь относительно его сторон. 1729, Найти статические моменты относительно осей ОХ и 01' и координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми: х+у=а, х> 0 н у=О.
1730. Найти статические моменты относительно осей ОХ и Ог' и координаты центра тяжести дуги астроиды Хз!>+уз/з О>1з лежащей е первом квадранте. 1731. Найти статический момент окружности г = 2а з10 ~р относительно полярной оси. 1ЕВ Сгл. ч ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ !732. Найти координаты центра тяжести дуги цепной лиани у=асп— х а от х= — а до х=а. 1733. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стягивающей угол 2а. 1734. Найти координаты центра тяжести дуги первой арки циклонды х=а(С вЂ” з!пС); у=а(! — созС) (О < С » (2н).
1735. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченх~ ух ной эллипсом —,+ —,=1 и осями координат ОХ и 01' (х)0, у а0). 1736. Йайтн координаты центра тяжести фигуры, ограниченной крнвымн у=х', у=$гх. 1737. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды х=а(С вЂ” э!ПС), у=а(1 — созС) и осью ОХ. 1736**. Найти центр тяжести полусферы радиуса а с центром в начале координат, расположенной над плоскостью ХО1'.
1739**. Найти центр тяжести однородного прямого кругового конуса с радиусом основания г н высотой Ь. 1740**. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а с центром в начале координат, расположенного над плоскостью ХО)'. 1741. Найти момент инерции окружности радиуса а относительно ее диаметра.
1742. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а н Ь относительно его сторон. 1743. Найти момент инерции прямого параболического сегмента с основанием 2Ь и высотой Ь относительно его оси симметрии. х~ у~ 1744. Найти моменты инерции площади эллипса —,+ —,= 1 а' относительно его главных осей. 1745*". Найти полярный момент инерции кругового кольца с радиусами )7, и Я,()г, ( К,), т. е. момент инерции относительно осн, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его плоскости.
1 12! приложения ннтв"РАЛОВ к Решению Физических 3АдАч 1б9 1746"*. Найти момент инерции однородного прямого кругового конуса с радиусом основания тс и высотой Н относительно его оси. 1747**. Найти момент инерции однородного шара радиуса а и массы М относительно его диаметра. 1748. Найти поверхность и объем тора, получающегося от вращения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в плоскости круга и отстоящей от центра его на расстоянии [4([4) а).
1749. а) Определить положение центра тяжести дуги астроиды хт/а+уз?а=алла, лежащен в первой четверти. б) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми у*=2рх и х*=2ру. 1750. а)* Найти центр тяжести полукруга, пользуясь теоремой Гульдена. б)аа Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тяжести треугольника отстоит от его основания на одну треть высоты. 9 12. Приложения определенных интегралов к решению физических задач (4.
Путь, пройденный точкой, Если точка движется по неко. торой кривой и абсолютная величина скорости ее и=((!) есть известная функция времени б то пума, пройденный точкой за промежуток времени [тд, ),1, равен 14 а = ~ )(!) бб Пример !. Скорость точки равна и=о,(лт м(сек. Найти путь а, пройденный точкой эа промежуток времени Т= !О сок, протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток? Решение. Имеем: 1О )4 1!а а= О,!(44(=0,! — / =250 м 4)в о а ис = — — 25 ласок.
со= т= А=- ~ 7(х) бх. боту нужно затратить, чтобы растянуть пружину тягл!пает ее на ! см? Пример 2. Какую на 6 см, если сила ! кр Р !бота силы. Если переменная сила Х=-)(х) действуетв направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [х„хт) равна х, 1гл.
ч опнндвлнннын ннтип ал Р е ш е н и е. Согласно закону Гука сила Х яГ, раствтнвающаи пружину ва х и, равна Х=зх, где З вЂ” коэффициент пропорциональности. Полагаа х=О 01 м и Х=1кГ, получим 3=100 и, следовательно,,Х=100х. Отсюда искомая работа есть о,ее А ') 100хбх=50хз~ ' =0,18 кГм. ~ о.ое )о о йе. Кянетическэя энергия. Кинетическая энергией материальной точки, имеющей массу ш и обладающей скоростью э, иаэываетсн выражение иое К=— 2 Кинешиеескал энергия системы я материальных тачек с массами шт, вез, ..., т„, обладающих соответственно скоростяыи он из, .... и„, равна (1) с=г Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом разбивают на элементарные частицы (нграющне роль материальяых точек), а затеи, Рис.
60. Рнс. 61. суммяруя кинетические эиергни этих частиц, в пределе вместо суммы (1) получают интеграл. Пример 3. Найти кинетическую энергию однородного кругового цн. лнндра плотности 6 с радиусом основания К и высотой й, вращающегося е угловой скоростью ы вокруг своей осн. Р е шеи не.
За злементарную массу бш принимаем массу полого цилиндра высоты й, с внутренним радиусом г и толщиной стенок бг (рис. 60). Имеезс Ыш=йнг йббг. Так как линейная скорость массы бш равна и=ла, то злементарнан кинств ческая энергия есть ооз бш бК= — = нг'югйб бг. 2 $1з) пРиложения интеГРАлоа к Решению Физических зАдАч 171 Отсюда я пыебРей К= е)б~г Лг= 4 о 4'. Да в лен ив ж и д к ости.
Для вычисления силы давления жидкости яспользуют закон Паскаля, согласие которому сила давления жидкости на площадку 5 с глубиной погружения А равна где т — удельный вес жидкости. Пример 4. Найти силу давления, испытываемую полукругом радиуса г, погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рнс.
61). Решение. Разбиваем площадь полукруга иа элементы — полоски, параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента (если отбросить б. и, высшего порядка), находящегося на расстоянии А от поверхности, равна оЯ = 2к оа = 2 1' г' — Ае ой. Сила давления,.испытываемая этим элементом, равна ЛР = уа 35 = 2ул )Ггг' — >и ПА, где у — удельный вес воды, равный единице. Отсюда вся сила давлеикя есть э 2 —,1г 2 Р= 2 ~ 6 У гз — Аэе(А= — — (ге — Лэ) з = га, 3 )а 3 о 1751. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью о„ без учета сопротивления воздуха, дается формулой оа иуг где 1 — протекшее время и я — ускорение силы тяжести.
На каком расстоянии начального положения будет находиться тело через 1 сек от момента бросания? 1752. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью о„ с учетом сопротивления ноздуха, дается формулой ое '1 о=с.(и ( — ~~ 1+ агс1й — '~~, где 1 — протекшее время, и — ускорение силы тяжести и с — по- стоянная. Найти высоту поднятия тела.
'172 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1гл. ч 1753. Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг начала координат, причем скорость ее дается формулой о=в,созга!, где 1 — время и о„е — постоянные. Найти закон колебаний точки, если при 1=0 она имела абсциссу к=О. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости точки эа период колебаний? 1754. Скорость движения точки о = 1е-ь'" мосек. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
1755. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая, что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьшения ее веса растет по закону 1 = —, (а — И ) 0), найти скорость ракеты в любой момент времени 1, если начальная скорость ее равна нулю. Найти также высоту, достигнутую ракетой к моменту времени ! = 1,. 1756".
Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус основания ?? н высоту гт. 1757. Вычислить рабату, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз, радиус основания которого равен ?? и высота Н. 1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду иэ полусферического котла, имеющего радиус ?? = 1О м. 1759. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму цилиндра с горизонтальной осью,.если удельный вес масла 7, длина цистерны Н и радиус основания ??.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
