demidovich-zad (832426), страница 25
Текст из файла (страница 25)
з) г= (х*+у' — а')(2а' — х* — у*) (а) О); 1793. Найти области существования следующих функций трех аргументов: а) и=ф'х+ф у+~" г; б) и=-!п(хуг); в) и = агсз!и х+агсз!п у+агсз!п г; г) и = У1 — х' — у' — г'. 1794. Построить линии уровня данных функций и выяснить характер изображаемых этими функциями поверхностей: а) г=х+у; г) г=$'ху; ж) г= — „",; б) г=х'+у', д) г=(1+х-г у)', з) г=-=; 1' х в) г=х' — у', е) г=1 — !х~ — !у~; и) г=-— 2х хх-!»~ 1795. Найти линии уровня следующих функций: а) г=!п(х'+у); Г) г= «(у — их); б)-г=агсз!пху; д) г=-«(»).
в) г=«(ф'х*~у'); 1гл. ы Функция нескольких переменных 1796. Найти поверхности уровня функций трех независимых переменных: а)и=х+у+г, б) и=ха+уз+ге, в) и=ха+уз — хэ, й 9, Непрерывность' 1'. П р е де л ф у н к ц и и. Число А называется нределаи Фуннииа х=г (х, у) прн стремленна точки Р' (х, у) к точке Р (а, Ь), если для любого е > 0 существует такое 6 > О, что прн О < р < й, где Р= )'(х — а)'+(у — Ь)' — расстоянке между тачками Р и Р', имеет место неравенство Ц (х, у) — А ! < в. В этом случае цишуп ИшУ(х, у)=А. к-нв у а 2ч.
Непрерывность н точки разрыва, Функция а=у(х,у) называется непрерывной в точке Р (а, Ь), если Пш / (х, у! = 1(а, Ь). уэа Функция, иепрерывнаи во всек точках некоторой областя, называетси непрерывной в этой области. Нарушение условий непрерывности для функции 1(х, у) может происходить как в отдельных точках (иэокираваннак точка разрыва). так н в точках, образующих одну нли несколько линий (линии разрыва), а иногда и более сложные геометрические образы.
Пр имер !. Найти точки разрыва функции ку+1 х' — у' Р е ш е н и е. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но к' — у=о или у =х' — уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу у=кэ. 1797*. Найти следующие пределы функций: а) 11п1(ха+де)з!и —; в) 1пп — У; д) 1нп— к О ху к о ох+У у о у-нз у о 6) !пп г) 11щ ! 1+ У ~1; е) !пп —, х'+у*' к ы~ Х/ к о х'+У' у и у уно 1799. Исследовать на непрерывность Функцию )/! — х* — у' прн ха+ран 1, 9 прн х'+у' > 1'. 181 чдстнын ппоизводныв й з! 1799.
Найти точки разрыва следу(о!них функций: 1 а) 2=1п1/'ха+уз! в) г=— 1 — хв — у* ' 1 1 б) г= (х — у)' ' Г) 2 = сов —. «у' 1800". Показать, что функция 2ху г = х'+у' —, при ха+уз-ей, О прях=у=О непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельности, но не является непрерывной в точке (О, О) по совокупности этих переменных.
9 3. Частные производные 1'. Определение частных производных. Если г=/1«, у) та, полагая, например, у постоянной, получаем производную дг . 1(х+Лх, у) — 1(х у) — 11гп = 6 (х у). дх ! з Ьх которая называется чпсшной производной функция г по переменной х. Аналогично определяется и обозначается частная производная фунхции г по переменной у. Очевидно, чта для нахождения частных производных можно пользоваться сбычнымн формулами дифференцировании. П р имер 1. Найти частные производные функнни х г=1п (а —.
у Р е шеи не. Рассматривая у как постоянную величину, получим: дг 1 1 1 2 дх х х у . 2х' 1я — саз — у з!п у у у Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметь: дг 1 ( 2« ду х х 1, уа! . 2«' (я — сазе — ув а! ив у у у П р имер 2. Найти частные производные функции трех аргументов и =. х'у'г+ 2х — Зу+ г+ 5.
ди Р е ш е н не. — =Зхзуйг-1. 2, ' дх ди — = 2хзуг — 3, ду хауз ! 1 ди дг 182 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬНИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. У! у(йк, йу)майе)(х, у), Целая рациональная функция будет однородной,.еслн все члены ее одного н тога же измерения. Для однородной днфференцнруемой функцнн намеренна м справедливо соотношенне (теорема Эйлера): ху'(х, у)+И„'(х, у)=я/(х, у). Найти частные производные функций: 1801.
г=х'+у' — Заку. 1802. г= — у, к+у 1803. г=У. 1804, г =$"х' — у'. х 1806. г= 1806. г=1п(х+)г хе-( уз). 1' хз-г уз 1807, г=агс(и — ". 1808. г=хз. к' 1809. г=е 1811. г=1пз1п=. х+о Уу' 1813. и = г*в. 1814. Найти у„'(2; 1) и Д(2; 1), если 7(х, у)= )Гху+ — ". 1815, Найти у;(1; 2; О), уа(1; 2; О), /;(1; 2; О), если у(х, у, г) = 1п(ху+ г). Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (№№ 1816 — 1819): .1816.
1(х, у)=Ах'+2Вху+Су'. 1817, г=— 1818. 1(х у) = к'+ у' ' ' ' уз/ха+ уз ' 18!9. ) (х, у) = 1п У . 1820. Найти — ~ — ~, где г=)/хе+уз+ге. д l('1 дк~г7' 1810. г = агсз!и '1 "-ч:-Уе к +у 18! 2. и = (ху)*. дк дх дг дф 1821. Вычислить д, если х=гсоз9 и у=гз!п9. ду ду 1622. Показать что х †+у в 2 если дз дз Ф дх ду г= 1п(х'+ху+у').
2'. Теорема Э зле р а. Функцня Г(х, у) вазмзается однородной функцней нзмерення я. если для любого действительного множителя й нмеет место равенство 183 ал1 ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 1823. Показать, что х — +у — =:ху+г, если дх да а г=ху+хе'. 1824. Показать, что — + — + — =О, если ди дм ди и = (х — у) (у — г) (г — х). 1825.
Показать, чта — + — + — =1, если ди ди да дх ду да х — у и=х+ —. у — 3 1828. Найти г=г(х, у), если дх х ду ха+ у" 1827. Найти г=г(х, у), зная, что д'=а+" и г(х, у)=юпу при дх х х=1. 1828. Через точку М(1; 2; 6) поверхности г=2х'+у' проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям ХОЯ н )'02. Определить, какие углы образуют с осями координат касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке М. 1829. Площадь трапеции с основаниями а, Ь и высотой й равна 1 дд дд дд Я= — (а+Ь)Ь. Найти —, — „, д„и, пользуясь чертежом, выяснить их геометрический смысл.
1830", Показать, что функция 'лху йх, у) = "*+у" —,, если ха+у»~О, О, если х=у=О, имеет частные производные /'(х, у) и )а'(х, у) в точке (О; О), хата и разрывиа в этой точке. Построить геометрический образ этой функции вблизи точки (О; О). 2 4. Полный дифференциал функции 1». Полное н р н р а ще н не фун к ц ни. Полним аринам(лаием фтннцнн а=1(х, у) называетеа разность Ьх=Ь/(х, у)=1(х+Ьх, у+Ьу) — 1(х, у).
184 (гл. вг шункцнн нпсколькнх ниивмпнных 2'. П о л н ы й д и ф ф е р е н ц н а л ф у н к ц и и. Полным дифференциалам функции г=/ (х, у) называется главная часть полного приращеиияЬг, лннейнав относительна приращений аргументов Ьх и Ьу. Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции есть бесконечно малан высшего порядка по сравнению с р= УЬха+Ьуз. Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемай.
Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с вх приращениями, т. е. йх=Ьх и йу=йу. Полный дифференциал функции г=?" (х, у) вычисляется па формуле дг дг йг = — йх+ — Иу. дх ду Аналогична, полный дифференциал функции трех аргументов и=?(х, у, г) вычисляется по формуле ди ди ди Ии= — йх+ — йу+ — йг. дх ду дг Пример 1. Для функции 1(х, у) =ха+яр — уз найти полное приращение и полный дифференциал. Решен ие.
1(х+Ьх, у+Ьу) =(х+Ьх)т+(х+Ьх) (у+Ьу) — (у+Ау)', Ь? (х, у) =((х-1-Ьх)е+(х+Ьх) (у+Ау) — (у+Ьу)') — (х'+ху — у') =2х Ьх+Ьхе+х.Ьу+у.дх-(-Ьх Ьу — 2у.Ьу — Ьу*= = ((2х+ у) Ьх+ (х — 2у) Ьу) +(Ьхе+Ьх.бу — Ьуа). Здесь выражение й?=(2х+у)Ьх+(х — 2у)Ьу есть полный дифференциал функции, а (Ьх'+Ьх Ьу — Ьу') есть бесконечно малая высшего пор~щка па сравнению с бесконечно малой р= )г Ьхг+Ьуг. П ример 2.
Найти полный дифференциал фуикцив( ,= Ух+уз. дг х дг у Решение. — = дх )' хг+ уз ду ух'+ уз х у хйх+уйу р' ха+ уе рг ха+ уе у хе+ у~ 3'. Применение полного дифференциала функции к и р и 6 ли жен н ым выч ислен ням. При достаточна малых (Ьх( н (Ьу(, 1=1тахъ гну 1 югу ции г=1'(х, у) имеет место приближенное равенство Ьг ш йг или дг дг Ьг = — Ьх+ — Ьу. дх ду Пример 3. Высота конуса ?1=30 см, радиус основания Я=10 см. Как изменвтся объем конуса, если увеличить Н на 3 мм и уменьшить Ф иа 1 мм? полныи дифференциал функции 185 1 Решение. Объем конуса равен К= — п)?гтт.
Изменение объема заме. 3 ' ним приближенна дифференциалом ЛР ш б)т=- — ц (арт)! а)т.!.)?г аН) = ! 3 = — ц ( — 2.10 30.0,1-! 100 0,3) = — 10ц ж — 31,4 смг, ! 3 Пр имер 4. Вычислить приближенна 1,02з'". Р е ш е н и е, Рассмотрим функцию г — х".
Р1скамае число можно считать нарзщенным значением этой функции прп х= 1, у —.- 3, Лх.=о 02, Лу=О 01, Первоначальное значение функции г=-1з= 1, Лг ж бг — ухн ' Лх Рх" )и х Лу=з !.О 02+1,1п 1.0 01=.0 Об. Следовательно, 1,02а'е' — 1 я О,об.—. 1,00. 1831. Для функции 1(х, у) =х'у найти полное приращение и полный дифференциал в точке (1; 2); сравнить их, если: а) Лх=1, Лу=2; б) .Лх =-0,1, Ау=0,2. 1832. Показать, что для функций и и и нескольких (например, двух) переменных справедливы обычные правила дифференцирования: а) и(и+и) = — йи+с(п; б) !((ип) — --пи!! +и!(о; в) с(~ — ) = Найти полные дифференциалы следующих функций: 1833. г =х'+у* — Зху. !834. г=х'ун х' — уг 1835. г = —.
1836. г =-з!пгх+ соз'у. тг! рг 1837. г =- ух". 1838. г =! и (х'+ у'). 1839. 1 (х, у) = )п ( ! + — ) . 1840. г = асс!д ~ + агс !н — . и / х У 1841. г= )п(и — ". х ' 1842. Найти с(1(1; 1), если 1(х, у) = —,. 1843. и=дуг. 1844. и ==$'х'+у*-',-г*. х!г ху 1845. и = (ху+ — у! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
