demidovich-zad (832426), страница 18
Текст из файла (страница 18)
гт 130 ипапрндплнииын интнгрлл Пример 2. Найти Решение. Имеем: 1 з)гз х сйз х бх= "с)гз х б (зЬ х) = " (1 + зпз х) о (зп х) = з!г х+ — +С. 3 Найти интегралы 1391 1393 1395 1397, 1399 1401" 9 9. Применение тригонометрических н гиперболических подстановок для нахождения интегралов вида ) Гс (х, $гсхз+ Ьх+ с) ох, где )т — рациональная функция Преобразув квадратный трехчлен ахз+Ьх+с в сумму или разность квад- ратоа, сводим интеграл (1] к одному из интегралов следующих типов: 1) ) К (г, Г гиз — гз) г(г; 2) ~ )1 (г„ )г' шз + гз) бг! 3) ) Я (г, )~г~ — шз) бг.
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок: ц г=та!и Г или г=т!!гг, 2) г=-т121 или г=шз)гг, а) г=тзесг или г=глсйг. Пример 1 Найти ах =П (х+ 1) з Уха+ 2х+ 2 Решение. Имеем: х'+2х+2=(х+1)'+1. ) з)гзхг(х. ~ аЬзхс)!хг(х, ) 1)гехг(х. ох зпз х+ спз х ' 1392, ~ сЬзхг(х. 1394. ~ зУхсйзхг(х. ) зьзх сиз„ 1398. ) с()тзхг(х. ' ~2знх+Зспх 1402. ИитЕГПЛЛЫ Вндх (Л]х,]' к*.~а тл]Ла д д] Положим к+1=!и Ц тогда ох=кеса]ог и ох кеса]Л] ("сод] 1= = — лг= (х-1;Ц'У(х-1-Цд+! 2 ]за]десг 1 Ухд-]-2.с+2 =- — +с=-, .
- +с. а]п г х-'г] Пример 2. Найти гпхтгг ~ Решение. Имеем: ]чд 3 хд+х+1= х+ — ) + —. 2) Полагая х+ — = — д'пг и л]х= — сй (г]1, Уз Уз 2 2 2 получим: Л=~ ~ — ай!- — ) — сй 1 —,сЫ о] ] /Уз 1~ Уз Уз =~~ г г) г — — Д дЬ ( сйд 1 п( — — ~ сзд] о! зУз ' 3 1 8.,] 8,) ЗУЗ сйа( З ~1 1 8 * 3 812 = †.
— — — ~~ —.8(сйг+ — ()+С. 2 Так как аЫ==] х+ — ), сЫка —. Ух'+х+1 1=!п ~х+ — + Ух'+х+1)+1п —, 2 -);з то окончательно имеем: л= — (хд-(-х+ ц д — — ~х+ — ) Уха+к-(-!— ! ! г ! д 3 — — 1п ](х+ — + Уха+к+1)+С~ 3 Г 1 !6 ~ 2 Найти интегралы 1403.
~ УЗ вЂ” 2х — х'л(х. ' 3 У'3+х 1407. ~ ]гх' — 4](х. 1404. ~ У2+ х* с(х. 1400. ~ $' х' — '2х+ 2 ](х. 1400. ~ $' хд -(-хс(х. !32 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1Гл. ГУ 1410. ~ (хз+ х+ !) ' дх. 1412. (хз — 2к+5) з 1414. (1 — ') Г'Т+ к 14зз. (З*.— б* — 7з . 1411. з — з ГФ:ЪСз 1413. (1+хз) У"~ хз ' 1416. ) хзсоззЗхз(х. 1418. ~ езхз(пзхз(х. 1420. ) хе" совках. 1422. *1 з'Р" Хк+Т ' 1424.
~ )п' (х+ )/Г+ х') з(х 1426. ) з!пхз)1хз(х. й 11, Применение формул приведения Вывести формулы приведения для интегралов: 1427. ах=4) (хз з „, 'найтн 1з и 1з. 1428. 1„=')з)п" хт(х; найти 14 и 1з. 1429. 1„=~ —,„„; найти 1з и 14. 1430. 7з ) х" е-к Г(х; найти 1зз. 5 12. Интегрирование разных функций 1431. — ° г — 3 2хз — 4х+9 ' 1432. ) , 2 +2 4(».
1433. [ Их. 1434. ) ,) хз+х-)— к(кз+5) ' 2 1436 ,) х к (х+2)з(х+3)з' ',) (х+!)з (кз+1) ' 1437. (хз+ 2)з' ',) хз — 2кз+1' 6 1О. Интегрирование различных трансцендентных функций Найти интегралы: 1416. ) (хз+1)зез" з(х. 1417. ) хз)пхсоз2хдх. 1419. ) ехз)пхз!НЗхзЬ. 1421.
) 1426. ) х агссоз (5х — 2) з(х. 4 «2! интегпивовлние влзных «вхнкцин 1439. хв 1443. «(х. 1445. + «(х )Г(4хв — 2х+ !)в 1447. ~ «(х. 1449. 1«! — 2х' — х' 145!в. (х'+ 4х) 1' 4 — х* 1453. ~ )««х — 4хв «(х. 1455. ) х'!«"Хв+ 2х + 2 «(х. 1457. х фТ вЂ” х' 1459. ~ ' 8х.
1«!+х' 1461. сов х ввпв х ' )«' сов« х (2+ 4) 1469 !) 2 ! д 1471. Ни х сип 2х ' У(евх+4(ах+ ! 1475. ~ —, 1477. ') х'е"'«(х. ,) (! — 2 1' х) 1442, )l х'+х+! И44 «з, хв+ з — „тв ' 1446. ~ у'е — х+ )«е — в 1448 ((+х'))«! — х«' 1450. ~, «(х. (хв+ !) в 1452. ~ $' х' — 9«(х. 1454. х )«хв+ х -'г 1 1456. х' в'х' — ! 1460. ~ сов' х «(х. 1462 ~ (+ 1 с«2Х ««х в(пвх 1464.
~ совсс'5х«(х. 1468. ~е«н( — — х)в«п ( — +х~«(х. 1468. 2в(пх+Зсовх — 5 ' 1470. ех сОвв х+2 Яп хсовх+2в«п х 1472. «(х (2+сов х) (3+сов х) ' 1474 1«а'+ в«п' ах 1476. ) хв!Пвх«(х. 1478. ~ хевх «(х. ГЛАВА Ч ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ $1. Определенный интеграл кан предел суммы 1'. Инте г р а л ь на я сумма. Пусть функция 1(х) определена на отрезке а~а~ Ь и а=хе < хг <... < х„— --Ь вЂ” произвольное разбиение этого отрезка на л частей (рис.
37). Сумма айда л-1 Б = Х1(ьг)бхг. П) «=о где хге $;~хг+,, Ах«=а«+1 — хл 1=0, 1,2, ...,(л — 1), называется интегральной суамоа функции 1(х) на (а, Ь)„Геометрически За представляет собой алгебраическую сумму площадей соответ«твующнх прямоугольников (см. рис, 37). 2 . Определен ны й и и те грал. Предел суммы Лв при условии, что число разбиений и стремится к бесконечности, а наибольшая из разностей Ахг — к нулю, называется определенным алшггралол фуакции у 1(х) в пределах от х=а до х=Ь, т.
е. а — ! Ь пш ~Р 1(аг) бхг= ~1(х)ах гаазах -ь аг-Э (2) Если функция 1(х) непрерывна на (а, Ь), то она иитегрируема аа 1а, Ь), т. е. предел (2) существует и не зависат от способа разбиения промежутка интегрирования (а, Ь) на частичные отрезки и от Рис. 37. выбора точек 31 на этих отреаках. Геометрически определенный интеграл (2) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию аАВЬ, в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, — со знаком минус (см.
рис. 37). Определения интегральной суммы и определенного интеграла естественно обобщаютсн на случай отрезка (а, Ь), где а > Ь, !гл. и ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ П р им е р 1. Составить интегральную сумму Зи длк функции 1(к) = 1+х иа отрезке (1, 1О), деля этот отрезок на и равных частей и выбираи точки е! совпадающими с левыми концами частичных отрезков (хг, хг+!).
Чему равен Нш Зла и.+ л Р е шеи не. Здесь Ьхг= — = — н 5!=ха=хи+!Ьхг=!+ —. Отсюда 10 — ! 9 9! л я ' ' и п' 1(ь!)=1+1+ — =2+ —. Следовательно (рис. 38), 9!' 9! и и и-! л-! Зл = ~~, 1(з!) йх! = ~~~, ~2+ — „~ — = — и+ —, (О-!-1+... +я — 1) = ид 9гй 9 18 81 г=з ! О 81л(л — 1) 81( 1 ~ 1 81 =!8+ — =18+ — (1- — 1! =58 — — —, 1!ш 3.=58 —. 1 и-и л Пример 2.
Найти площадь криволинейного треугольника, ограничен. ного дугой параболы у=ха, осью ОХ и вертикалью х=а (а > О). Рис. 39. Риси 38. а Решение. Разобьем основание а на п равных частей Ьх= —. Выбирая я' значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь: у!=О; уе — — ( — ~; уз= ~2 ( — )1; ...; у„= ~(л — 1) — 1 ° Площади вписанных прямоугольников вычисляются умножением каждого уа а на основание Ьх= — (рис. 39).
Суммируя, получим площадь ступенчатой л фигуры Зи= — ( — 1) (1+2э+Зз+ ..+(а — 1)з), и !и! з 21 ВЫг!ИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРЛЛОВ Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел ~ аз= » (»+ !) (2»+ !) 6 а=! находим: оа (» — 1)» (2» — 1) 8»= ! б»а отсюда, переходи к пределу, получим: аз (» — П»(2» — 1) аа )нп ~» » Ф»>Ф 6»а 3 Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм. Ь т 1501. ) 2(х, 1502.
$ (О, + и()г(1, а о О, и и — постоянны, ! ге 1503. ~ х' г(х. 1504. ~ 2" г(х. -2 о 1505*. ~ ха (х. ! 1506*. Найти площадь криволинейной трапеции, ограничеииой гиперболой 1 0=в осью ОХ и двумя ордииатами: х=а и х=Ь (О( а < Ь). 1507*. Найти 1(х) = ~ згп(й. й 2. Вычислеиие определенных интегралов с помощью неопределенных 1». Определенный интеграл с переменным верхним и р е де л о и. если функция г(!) непрерывна на отрезке (о, ь), то функция Р (х) = ~ ! (!)г(! есть первообразная для функции ! (2), т.
е. Е' (х) =1(х) при а ~ х ~ Ь. (гл. и ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ хе. Формула Ньютона — Лейбница. Если г'(х)=1(х), то ь (З)(х) !Тх=РРО ~ =Р(ь) — У (а). а з Пример 1. Найти интеграл ~ ххах. -1 3 хз (з Зз ( цз Решение. ) хааа= — ~ = — — — =48 —, 5(! 5 5 б' -1 1508, Пусть Найти: ц —; г)-. гг! !г! ба' бь Найти производные следующих функций: .х е 1509. Р(х)=) !ПМ (х>О).
1510. Г(х)=))'1-(-111(1. Ф 1 х ха Ух 1511. г'(х) = )е-г*г(1. 1512. 1 = ) соз(12)Й (х>О). х ! 1513. Найти точки экстремума функции у= ) — с(1 в области х > О. з!и Г о Применяя формулу Ньютона — Лейбница, найти интегралы: ! — 1 хз ' -2 х 1517. ~ соз1й.
1514. ( — ". ' й! !+х 1510. ~ а!г(1. Первообразная г" (х) вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла ) ! (х) !(х = г (х) +С. ВЪ|ЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРЛЛОВ 139 1522 ) О/2х+ Р/х) пх о а 1524. 1)/х — 211х. г -з -2 1 1528. ') + 1 з 1532. ) Еес' а |Ь, 153!. ~,,~, 212. а С помощью определенных интегралон найти пределы сумм: 1519" *. 1пп 1 — + — + +— * |2+1 о+2 ''' и+ох с- ° ш !|2+ ! Вычислить интегралы: 2 о 1521. ~ (хз — 2х+ 3) сгх. 1 1523. ) , ~ 113. 1 -з т 1525.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
