demidovich-zad (832426), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Определить, прн каком значснин и батарея даст наибольший ток. 889. Определить, при каком диаметре у круглого отверстия в плотине секундный расход воды (',) будет иметь наибольшее значение, если Я =су)4)1 — у, где й — глубина низшей точки отверстия (й и эмпирический коэффнпиеит с — постоянны). 890. Если х„х„..., х„— результаты равноточных измерений величины х, то ее наивероятнейшим значением является то, при котором сумма квадратов погрешностей а= ~~' (х — хг)' имеет наименьшее значение (г1ринг(ип наименьших квадратов). Доказать, что ваивероятнейшее значение величины х есть среднее арифметическое результатов измерений.
$2. Направление вогнутости. Точки перегиба 1'. В о г н у т о с т ь г р а ф и к а ф у н к ц и и. Говорят, что график лвффереицируемой функции Е-.=/(х) воглувг вниз на интервале (а, Ь) (вогнут вверх на интервале (аг, Ьг)), если при о < х < Ь луга кривой расположена ниже (нлп 88 екстрпмимы ФИНКНии.
пвилоягнния пиОивВОдНОИ (гл. гн соответственно при ат < х < Ьг выше) касательной, проведенной в шобой точке интервала (а, Ь) (или интервала (ан Ь1)) (рис. 29). Достаточыым условием вогнутости вынз (вверх) графика у=/(х) являетсв вйполиеыие на соответствующем иытервале неравенства г'(х) < О (/ (к) > О) Вместо того чтобы сказать, что график вогнут вниз, говорят также, что он направлен вылуквосшью ввврк.
диалогично график, вогыутый вверх, называют также направленным выпуклостью вниз. 2'. Точки перегиба. Точка (хь, г(хе)), в которой изменяется направление вогыутости графика функции, называется точкой перегиба (рис. 29). Для абсцыссы точки перегиба х, графика функции у=у(х) вто ая производная Г(кв)=О или Г(кь) не существует. Точки, в которык /'~~)=О или Г'(х) не существует, называются «ршвичсс«или точками 2-го рода.
Критическая точка 2-го рода ке является збсциссой точки перегиба, если Г (х) сохраняет постояныые знахи в интервалах хе — Ь < х < «ь и «о < к < хе+О, Рнс. 29. Рис. ЗО. где Ь вЂ” некоторое положительное число, причем зги знаки противоположны, и не явлщтся точкой перегиба, если знаки Г (к) в указанных выше интервалах одинаковы. Пример 1.
Определить иытервалы вогвутоств н взьпуклостн, а также точки перегиба кривой Гаусса у=в-х, а Решен ые. Имеем: у' — 2хв-«з у'=(Фхз — 2) в-кв. Приравняв вторую производную у" пулю, находим критические точки 2-го рода 1 1 хг — -- — и к,== г'2 Р'2 Зтн точка разбивают числовую ось — ое < х < + оь ва тря интервала: ! ( — ш, к), П(кы хз) н П1(ха, +оь). Энаки у" соотщтственно будут +, —, + (в зтом можно убедиться, взяв, например, по одной точке в каждом кз указеыных интервалов н подставив соответствующие значения х в у').
1 1 Паттону: 1) хривая вогнута вверх при — оь < х < — — ы — < к < + оь; 1Г2 89 5 з1 дсимптоты 1 1 /~! 1 2) вогнута вниз при — — < х < — . Точки ~= ; — 1 — точки У2 т'2 ч 'г«2 я'е / перегиба (рнс. 30). Заметим, что ввиду симметрии относительно оси 0)« кривой Гаусса исследование знака вогнутостн этой кривой достаточно было производить лишь на полуоси 0<х<+»». Пример 2.
Найти точки перегиба графика функции д =,згхх-)-2. Р е ш е я и е. Имеем: 2 — — 2 р'= — (х+2) э =, (1) У )зг«(х -1-2)» Рнс. 31. точки перегиба графиков Найти интервалы вогнутости и ф)'нкцнй: 891. У=х' — бх'+12х+4, 892. 893. у= —. 1 «+3 894. 895. у = ~~'«4хз — 12х. 896. 897. У=х — з!пх. 898. 699. у=а!с!их — х. 999. у = (х+ 1) ч. хэ У= «1!2 ° у = соя х. у = х' 1п х. у = (1 + хэ) я«. 9 3. Асиыптоты 1». Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по кривой у= !(х) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бесконечности, и прн этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется осимлтотой кривой..
2', Вертикальные а с имптоты. Если существует числоа такое,что 1пп 7(х)= о», «-»а то прямая х=о является асимптотой («ершика«»лая асимптама). 3'. Н а кла ни ме а с им птоты. Если существуют пределы ипт — = йт г(х) х-»+ и !(ш ()(х) — й,х)=йп Очевидно, у" в нуль нигде не обращается. Приравнивая нулю знаменатель дроби в правой части равенства (!), получаем, что у* ие существует при х«» — 2, Так как у > 0 прн х < — 2 и у" < 0 при х > — 2, то ( — 2, О) есть точка перегиба (рис. 3!).
Касательная в этой точке параллельна оси ординат. так как первая производная у' при х= — 2 бесконечна. 90 экстремумы эь нкции. приложения пвоиэводнои !гл. гы то прямая у=э,х+Ьг будет эсимптотой (правая наклонная или, в случае Ьг — — О, правая горизонтальная асиинтста). Если существуют пределы Иш — ==Ьэ У (х) к Ф Иш [1(х) — йьх) ==Ь,.
то прямая у=й,х+Ь,— асимптота (лгвая наклонная илв, в случае йэ=б, левая горизонтальная асинтнота). График функции у=!' (х) (фуикш~я предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной или горнзонтальной) и более одной левой (наклоаной или горизонтальной) асимптоты. Пример 1. Найти асимптоты кривой кь Ухь — 1 ' Р е ш е н и е. Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикальные аснмптоты: х= — 1 я х=1. Ищем наклонные аснмнтоты, При х — ь+ оь получаем: Ьв= Иш — = 1ип =1, у к .~'.ь а " к -~ + а [г' х' — ! хэ — х)г х~ — 1 Ьг= Иш (у-х) = !пп =О к ь+Р к-ь+ а )гхз — 1 следовательно, правой асимптотой является прямая у=х. Аналогично при х — сь имеем: Ьь — — !'пп — = — 1, у „х Ьэ= Иш (у+х) =О.
к -и Таким образом, левая асимптота есть у= — х (рис. 32). Исследование на асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой. П р и м е р 2. Найти асимптоты кривой у=х+1пх, Решение. Тан иаи !пп у = — аь, к + ь то прямая х=б являетси вертнаальной асимпготой (нижней). Исследуем крн. вую только на наклонную правую аснмптоту (так нак х > О), Имеем: й= !пп — =1, у х-~+ а х Ь= 1цп (у — к) = Иш ! и х= ьо.
х-~+ и к-ь+ и Следовательно, наклонной асимптоты нет, 1 4! ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ 91 если кривая задана параметрическими уравнениями х=ф(1); у=ф(г), то сперва исследуют, нет ли таких значений параметра Г, при которых одна нз функций ф(1) илн ф(г) обращается в бесконечаость, а другая остается конечной. При <р (1») =- о», а ф (1») =с кривая имеет горизонтальную аснмптоту у=с. При ф да)=о», а ф(1»)=с крввая имеет вертикальную аснмптату х=-с. Если ф д») =»Р (1») = »з и при том 1!т — = й; фу) о ф(1) 1!щ (ф (1) — йр(1))=б, !а Рис. 32 то кривая имеет наклонную а с имптоту у = йх+ Ь.
Если кривая задана полярным уравпением «=1(ф), то можно найти ее аспмптоты по предыдущему правилу, преобразовав уравнение кривой к пара. метрическому виду по формулам: х — г соз ф =- 1 (ф) соз ф1 у = г з1п ф = ! (ф) з(п 4». КРИВЫХ: 902. у= х' — 4х+ 3 х» 904. у=— х»-! 9 ' 905. у=-3~ х' — 1. 907. у= ух» — 1 909. у = е х'+ 2 911. У=а'. 913. у = 1и (1 + х) . 915, Найти асимптоту $4. Построение графиков функций по характерным точкам При построении графика функции следует, прежде всего, найти область определения этой функции н выяснить поведение функции на границе ес области определения.
Полезно также предварительно отметить некоторыв особенности функции (если они имеются), как-то: симметрия, периодичность, постоянство зйака, монотонность н т. и. Далее, нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции, точка псрегиба, асимптоты н т. д. Найденные элементы позволяют выяснить общий характер графика функции и получить математически правильный эскиз его, Найти асимптоты 901. У = — 2, . 1 х» 903.
д=— х» — 4 ' 906. у= )Гх'~3 ' 908.у=к †г~ х»+9 910. у=— 1 1 — е" 912. у= —. 5!о х х 914. Х=1; у=1+2 агс1и1. гиперболической спирали г= —. ф 92 экствнмкмы Функции. ппиложеннн производной 1гл. гн Пример 1, Построять график функции У= ~з/ хз — 1 Решение. а) Функция существует всюду, кроме точек х=ю 1. Функция — нечетная, позтаму график функции симметричен относительно точки 0(0; О). Это обстоятельство упрощает построение графика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
