demidovich-zad (832426), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4 5! МЕТОД ПОДСТАНОВКИ П р ив«е р о. Найти Ухал — 1, хь с!1 Р е ш е и и е. Полагаем х =-1И б Следовательно, ох = —. Саьа ! 1«схе — ! ( )г 1яь Г г !. СГ (' «се !со«51 Щ хе „! 165 ! сова Г,) ьше Г соьь ! с! ( 5!п"! соь 1 ( о! ' ( со51 „япь1 сов Г „! яоаг сов!,) сов! ',) япь Г Г '-- ь„Г,! 1 = — !в ! ! г -1- ьес ! ( — — +с .= ! и ( 1и ! + 1' 1-; — 1 ""' г ~— ьйь! ' — +С= !п ) х+ )г х'-1- ! ) — +С. 1г! — Ссь! 1 хе 4! !я 1 Х 1191. Применяя указанные подстановки, найти интегралы: а) ', х= —; с!х ! х)l хе — 2 б) ~,с ',, х= — 1п1; в) ~ х(5х' — 3)' с(х, 5х' — 3=1; 1'хп-1 д) ~ й,, 1= з!их. У1, 5!ПьХ Применяя падходяп1ие подстановки, найти интегралы: 1192.
~ х (2х+ 5)" с(х. 1193. ( с(х. .! 1+ г~х 1194. 1195. х1' 2х —,! ,) Уе":! 1196 1" (агсяп х! ,) 1п 4х х ' 1198. ( — — с(х. 1ф е" +1 1' со5 х 1200". Г .! х 1' ! -1-хь Применяя тригонометрические подстановки, найти интегралы: 1201. ! 1202. 1205. ~ " с(х, 1206*. ! х х')с 4 — хь 112 !гл. !у неопвндвлвннын интеграл 1207. ~ Р'1 — х' г(х. 1208. Вычислить интеграл с помощью подстановки х= а)нен 1209. Найти 1 $' а'+хе!(х, применяя гиперболическую подстановку х=-аа)!1. Решение. Имеем: ггае+х'= г'а'+ат~ейт(=асЫ и ах=асЫЖ. Отсюда 1/ае+хтах= ( асЫ асЫа! = ае ~ снего!= ае~ , г сп 2(+1 2 а(= ач (1 ач 2 (2 — — еь2!+! +С= — (еЫсЫ+!)+С Твк квк ~/ ат 1 хв вЫ = —, СЫ= —— а' а х+ Г' а'+ хч е! = сЫ+ зЫ=— а то окончательна получаем: и'а'+ хеах= — 1/ат-).хт+ — 1п (х+ г"а'+ хт)+Си ав где Се=С в !п а †нов произвольная постоянная.
2 1210. Найти ~ )~хе — ае полагая х=ас)11. 9 3. Интегрирование по частям Формуле интегрирования по честям. Если и=в(х) и о= ф (х) — дифференцируемые функции, то и по = ив — ~ о аи. Л р и и е р 1. Найти ~ х 1и хая. Пз ! а1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ г(х хз Полагая и=!пх; г)о=хг(х, имеем ни= —; о=- —. Отсюда х * 2 хе Р х'Ых хз х' х1п хек = — !их — ! — — = — !их — — +С. 2 л 2 х 2 4 е" соз х бх. Имеем е" соз х е(х = ) е" б (ми х) = е" Ып х — ~ е» в)п х ех = = е" Мпх+) е" й(соз х) — е" ып х+е" сов х — ) е* соз хе(х.
Следовательно, е» соз х ах= ел ып х+ее соз х — ~ е" саз хах, откуда ех е ' соз х ох =- — (ып х+ сов х)+С. 2 Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы: 1211. ~ )пхс(х, 1213. ~ агса!и хе(х. 1215. ) хсозЗх!(х. 1217. ) х 2 хг(х. 121ЯЯ ) (хз 2х+ 5)е-хе(х 1221, ~ хи!и хсов хе(х. 1223. ~ х' ! и х ((х.
1225. ) —, !(х. 1212. ~ агс!ах((х. 1214. ~ хв!пхс(х. 1216. ) — "„Е(х. 1218е*. ) х'е*' е(х. 1220*.! х'е ' с(х. 1222*. ) (Хз + 5х+ 6) сов 2х с(х 1224. ~ !пзхдх. 1226. ! =((х. ,! г'х Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять йюрмулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с помопгью интегрирования по частям получают уравнение, из которого опреде. ляется искомый интеграл.
Пример 2. Найти 114 (гл. гт НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1228. ) хагсайп хг(х. 1232. ) е" гйп х г(х. 1234. ) Еах з!п Ьхг(х. 9 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный тредчлен 1'. Интегралы вида ), бх. Основной прием вычисле- тх+ л ах'+ Ьх -,— с ния †приведен квадратного трехчлена к виду; ахз+Ьх+с=а (х+Ь)з+й где й и 1 — постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее всего нз квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользоваться подстановкой 2ах+Ь=П Если а=о, то, приводя квадратный трехчлен к виду (!), получаем таблич- ные интегралы 111 илн !Ч (см. $ 1, 2', таблицу простейших интегралов).
1227. ) хагс1дхг(х. 1229. ) !П(х+~/1-)-хз)с(х. 1233. 13" созхйх. 1235. $ з!п()пх)г(х. Применяя различные методы, 1235. ~ х'е " г(х. 1238. ~ (х' — 2х+ 3) )п х г(х. 1242. ) х'агс1и Зхс(х. 1244. ) (агсз!п х)'с(х. 1246. 1 г(х ) )~1 — х ' а (х'+1)з 1252е*. )$'а' — х'г(х. 1254е. ( ,) г' 9 — хз найти интегралы: 1237. ~ е с!х. 1239. ~ х 1п — г(х. 1 — х !+х 1241 ~ 1и (! и х) г( х 1243. ~ х (а ге(д х)' г!х. 1245. ) " г)х х 1247.
) х!дз2хг(х. 1249. ) созе()пх)г(х. ) (Хз ае з. 1253*. ) У А+х'дх. 4 41 иитнгпллы, содвпжлщик кплдплтнып тппхчлпн 1)5 Пример 1. е Х 2 ах 1Г бх. 2хе — 5х-1-7 2 ~ ( е 5 25)+(7 25) 4/ 16 2 4х — 5 == агс1п +С. Р' 31 у' 3! Если т ~ О, то из числителя выделяется производная 2ах+Ь квадратного трехчленз — !2ах+Ь)+(л — ) 2 ( т, Г тЬД глх+и 2а ' 1 2а ) ах = йх= ах'+ох+с ах' —, Ьх -)- с = — 1п) ах'+Ьх+с)+(л — — 7! 1 2а Ч 2а ) ~ ахе-~-Ьх+с' и таким образом, мы приходим к интегралу, разобрзнному выше. Пример 2. а 1 ! х — 1 ) 2 )' — (2х — 1) —— 2 1 ах = ! —, ах = — !и ! хе — х — 1 !— (-Ч 2ргб ! гх — !+р'5 2)(!)е5 2 2/ 4 е р тх+и 2.
Интегралы вида йх. Методывычисленийанало- 3 у' ах'+Ьх+с гичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к таблич. ному внтегрзлу Ч, если а > О, и Ч1, если а < О. Пример 3. ( бх ! ах ф'2+Зх — 2хз Рг2~ з/"25 У 3 !з Р' 2 5 Пример 4. "+'~" Ухе-)-2х+ 2 2,) Ргхе+ 2х+ 2,) ~'~а+ 1)'+ 1 = р'"хз+2х+2+2!и !а+1+ у'хз+2х+2)+С. НЕ неонриднлиннын ннтигрлл !гл. нг 3. Интегралы вида ~ Ф .с ср 1 ( *;- ) -'~~*+ ной подстановки 1 — =! ах+а вги интегралы приводятся к интегралам вида 2е.
Пример 5, Найти г)х (х+ Ц Р х'+! Р е щ е и и е. Полагаем х+1= — ° 1 отсюда Имеем." Ах ! г ~т'"!' 2+ 1' '* — с+2~+С= 1 1 ~1 — х+ У 2(х'+1) ~ - С Найти интегралы: 1255 ~ х'~-2х+ 5 ' 1~56. ~„—, 1253. хэ — ух+ 13 ' 4'. Интегралы вида ~ угахэ+Ьх+сАх. Путем выделения нз квад- ратного трехчлева полного квадрата данный интеграл сводится к одному нэ следующих двух основных интегралов (см. №№ 1252 и 1253): — х — а', х 1) ~ )го' — хэдх = — Уа' — х'+ — агса)п — +С, 2 2 а (а > О), 2) ~ ргхэ+А Ах= — р хе+А+ — 1п! х+ )ух'-1-А)+С, 2 2 Пример 6.
~ )/! — 2х — хэдх= ~ )Г2 — (1-1-х)э г) (! +х) = 1+х .г 1+х = — и 1 — 2х — ха+асса!и =-~-С. 2 Р"2 1 51 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 117 9 5. Интегрирование рациональных функций 1'. Метод неопределенных коэффициентов.
Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби Р (х) Я (х) ' (1) где Р(х) и 6(х) — целые многочлены, причем степень числителя Р(х) ниже степени знаменателя !7 (х). Если О (х) =(х — о)а... (х — !)А, где о, ..., ! — раэличные действительные корни многочлена !7 (х) н а, ..., Х— натуральные числа (кратиости корней), то справедливо разложение дроби (1) на простейшие дроби: — =— — +, +".+ Р (х) Аг Аэ Аа + + — + !7 (х) х — о (х — а)э (х — о)а ' ' ' х — ! + — '.+ "+ — ' ° (2) ( — !)* '" (х — !)А ' Дли вычисления неопределенных коэффициентов А„Аэ, ..., ЕА обе части тождества (2) приводят к целому виду, а эатем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной х (пер в ый способ).
Можно также 1268. ~„,'", . 1265. 4(х. Ухэ — 4к+ 5 1267. г(х. Г бхэ — 2к+ 1 1269. к )'кэ+к — 1 1271. (к+ 1) )Г хэ-Г 2к 1273. ~ 1 х — хаг(х. 1275. ) хь — 4хэ+а 1277. Р' 1+ел+ еал 1279 1и хйх . ° „*1'т:и т — "~ 1262. Г' 2+За — 2х* 1264. )' хэ+ рк+ д 1266. ( с(х.
,) г'1 — к — х' !268. ~ 1279. „(х — !) г' х' — 2 1ггг. (У*тх2 ч-5~ . 12г4. ($2 — * — *'Ш. 1276, . г(х. И па х — 6 ып х+ 12 1278. Ыпхйх Ггсоээ х+4 сов к-1-1 !)8 1ГЛ. 1Ч неопределенный интеГРАл определять вти коэффициенты, налагая в равенстве (2), илн ему вквивалеитном, х равным падхаляше подобранным числам (второй способ). П р и м е р 1.
Найти хйх (х — 1) (к+ 1)в Решение. Илгеем1 х А В, В (х — 1) (х+ 1)' х — 1+х+ 1+(х+ 1)в ' Отсюда х = А (к+ 1)'+ В1 (х — 1) (к+ 1) + В, (х — 1). (з) а) Первый способ определения коэффициентов, Перепишем тождества (3) н виде х = (А + В,) хв-(- (2А -,'- Вв) х+ (А — Вх — Вв), Приравняв ковффициеиты при одинаковых степеиял х, получим: О= А+В11 1=2А+Вх; О=А — В,— Ва. Отсюда ! .
1 1 А= — ' Вх= — — ! Вв= —. 4" 4 2' б) Вшорой способ определения навффиииентов. Полагая х=! н тождестае (3), будем иметь: 1 1=А 4, т. е. А=-. 4' Полагая х= — 1, получим: 1 — ! = — В,.2, т. е. Вв= —, $ Далее, полагая х=0, будем иметь: О= А — Вх — Вв ! т. е. В, = А — В, = — —. 4' Следовательно, 1 = — !п) х — 1) — !п ) я+1( — +С 4 4 2(х+ 1) 1 1 !х — 1! =.— — + — 1п ~ — !+С, 2 (х+ 1) 4 ) х+! ~ Пример 2.
Найти йх кв — 2хх+ х интегриРОВАние РАционАлъных Функиий 119 Решение. Имеем: 1 1 А В С хе — 2«е.1- х х (х — 1)' х х — 1+ (х — 1)' ! = А (х — 1)а+Вх (х — 1)+Сх, (4) При решении этого примера рекомендуется комбинирозать два способа определения коэффициентов.
Применяя второй способ, полагаем х4 й в тождестве (4); получим 1=А. Затем, полагая х=1, получил> 1=-С. Далее, при. меняя первый способ, приравияем в тождестве (4) коэффициенты при хз. Будем иметь: 0= А+В, т. е. В= — 1, Таким образом, А=!, В= — 1 н С=1. Следовательно, р >(х р г(х р >(х 1 )=~ — — Л! — + ~ —.,=!п[х[ — 1п[х — 1[ — +С. .) х .)« †)(« †)е= х — 1 Если многочлен 9 (х) имеет комплексные корни а ~ (Ь кратности й, то в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида М>«+АГ> Мех+А>а х'+ рх + Ч+ ' ' '+ (х' + рх-1- 4) з ' (5) где х'+ рх+ д= [х — (а+(Ь)) [х — (а — >Ь)) н Мп А>т, ..., Ме, А>е — неопределенные коэффициенты, определяемые способами, указанными выше.
При А=1 дробь (5) интегрируется непосредственно; при д > 1 применяется меп>од пони>сенна, причем предвари. тельно квадратный трекчлен хе+ рхы-ф рекомендуется представить в виде ) ( ) р >з У р1 Р «+ — ) +~4 — — ) и сделать подстановку «+ — =г. 2) т 4) 2 Пример 3. Найти х+1 (хз+4х+ 5)е Решение. Так как х'+ 4х+ 5 = (х+ 2) е+ 1, то, полагая х+2=«, получим: 1 г — ! (' г>(г р(!+з') — з', 3(хе+1)е ' 3(хе+!)а 3 (з+!)е = — — — агс1 а з — — + — агс1 5 з+ С = 2(за+1) 2(за+1) 2 з+! 1 х+3 1 = — — — аго!5 а+ С =в 2 (зз+!) 2 2(ха+4 +5) 2 — агс1и («+2)+ С. 120 (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
