timofeev_tmm (831923), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Создание виброзащитных устройств, позволяющих эффективно решатьпоставленные перед ними задачи при ограниченных массовых и геометрических характеристиках, является сложнойтехнической задачей, решение которой оказывается возможной только при всестороннем учете характера возмущений и особенностей динамики создаваемых систем. Всеэто привело к возникновению и развитию большого самостоятельного раздела динамики машин — теории виброзащитных систем.Уменьшение интенсивности колебаний объекта можетбыть достигнуто разными способами.1.
Уменьшением уровней механических воздействий,возбуждаемых источником (такой способ виброзащитыназывается снижением виброактивности источника). Дляэтого осуществляют уровновешивание рычажных механизмов и балансировку роторов, о чем мы говорили на предыдущих лекциях.2. Изменением конструкции объекта, при которомзаданные механические воздействия будут вызывать менее интенсивные колебания объекта или отдельных егочастей (этот метод называется внутренней виброзащитойобъекта).3.
Присоединением к объекту дополнительной динамической системы, изменяющей характер его колебаний. Такаясистема называется динамическим гасителем колебаний,а метод защиты, основанный на ее применении, — динамическим гашением колебаний.4. Установкой между объектом и источником колебанийдополнительной системы, изменяющей характер его колебаний. Этот метод виброзащиты называется виброизоляцией, а устройства, устанавливаемые между источникоми объектом, — виброизоляторами (виброизолирующимиустройствами).Действие виброизоляции сводится к ослаблению связеймежду источником и объектом; при этом уменьшаются динамические воздействия, передаваемые объекту.Ослабление связей обычно сопровождается возникновением некоторых нежелательных явлений:• увеличением статических смещений объекта относительно источника;• увеличением амплитуд относительных колебаний принизкочастотных воздействиях.Поэтому применение виброизоляции как метода виброзащиты в большинстве случаев связано с нахождениемкомпромиссного решения, удовлетворяющего всей совокупности требований.Давайте рассмотрим случай виброизоляции с помощьюупругих амортизаторов.170Ëåêöèÿ 12Îñíîâíûå ìåòîäû âèáðîçàùèòû.
ÂèáðîèçîëÿöèÿПринципиальная схема виброзащитной системы представлена на рисунке 12.1.F171F = F0 (sin ωt + ϕ)F(t)Htmxc(x)T&ε(x, x)Рис. 12.20В более сложных случаях воздействие на массу m можетбыть описано конечной (или бесконечной) суммой гармонических компонентов. ТогдаРис. 12.1Случай силового возбужденияNМежду основанием и амортизируемым объектом устанавливается упругий амортизатор (или упругие амортизаторы).К амортизируемому объекту приложена внешняя сила(F(t)).
Ставится задача снизить динамические силы, передаваемые на основание, за счет введения в систему упругихамортизаторов.Поведение системы описывается следующим дифференциальным уравнениемmx&& = F (t ) + R( x , x& ),(12.1)где m — масса амортизированного объекта; х — обобщеннаякоордината; F(t) — внешняя сила, приложенная к объекту;R( x , x& ) — сила, приложенная к массе со стороны упругогоамортизатора.Простейшим примером таких воздействий может служить гармоническая вынуждающая сила F = F0(sin ωt + ϕ),где F0 — амплитуда колебаний; ω — круговая частота (рад/с);2πωt — фаза колебания; T =— период колебаний, с;ω1ω— частота колебаний, Гц (рис.
12.2).f= =T 2πF (t ) = ∑ Fi (sin ωi t + ϕ1 ).i =1Такое вибрационное воздействие принято называть полигармоническим. Существует множество различных видовударных воздействий, но о них из-за краткости курса мыговорить не будем, а рекомендуем обратиться к учебнику[1] 1987 года издания, параграфы 10.1—10.9. Ограничимсярассмотрением случая, когда на массу m действует гармоническая вынуждающая сила, описываемая уравнениемF = F0 cos ωt.(12.2)Этапы решения задач виброзащитыРешение задач виброзащиты машин и механизмов включает следующие этапы:• построение модели объекта;• формирование критериев качества;• изучение реакции объекта на заданное внешнее воздействие;• сравнение по заданному критерию результирующихпоказателей с допустимыми величинами.Простейшие задачи виброизоляции возникают в том случае, когда совокупность сил в реальном упругом амортизаторе172173Ëåêöèÿ 12Îñíîâíûå ìåòîäû âèáðîçàùèòû.
Âèáðîèçîëÿöèÿможет быть с достаточной точностью описана как линейнаяфункция координаты x и скорости x& :Отношение амплитудного значения силы R0 к амплитудному значению внешней силы F0 называется коэффиRциентом виброизоляции K = 0 .RF0R( x , x& ) = −cx − εx& .(12.3)Коэффициент с принято называть жесткостью амортизатора, а ε — коэффициент вязкого трения (демпфирования).С учетом (12.3) уравнение (12.1) примет видmx&& + εx& + cx = F0 cos ωt.Обозначим(12.4)cε= ω02 ;= 2n и перепишем (12.4) следуmmющим образом:x&& + 2nx& + ω0 x =2F0mcos ωt .(12.5)Ограничимся анализом работы виброзащитной системыв установившемся режиме. В этом случае решение уравнения (12.5) может быть представлено в видеx = A cos (ωt − γ),(12.6)где А — амплитуда колебаний массы m; γ — сдвиг фаз между колебаниями массы m и внешней силой F(t).
При этомамплитуда колебанийA=F0m (ω0 − ω ) + 4n ω22222;(12.7)и сдвиг фаз колебаний массы m1 и силы F(t)tg γ =2nω.ω0 − ω 22Оценку качества виброизоляции целесообразно проводить, сопоставляя амплитудное значение силы R0, развиваемой в амортизаторе и, следовательно, передаваемой наоснование, с амплитудным значением внешней силы F0.Амплитудное значение силы, развиваемой в упругомамортизаторе, определяется по формулеR0 =F0 c 2 + ε 2 ω2=m (ω02 − ω2 ) 2 + 4n 2 ω2KR =R0F0=F0 ω04 + 4ω2 n 2m (ω02 − ω2 ) 2 + 4n 2 ω2ω04 + 4ω2 n 2(ω02 − ω2 ) 2 + 4n 2 ω2;(12.8).Используя понятие относительного коэффициента заn, можно привести выражение KR к виду,тухания ν =ω0удобному для анализа:⎛ ω1 + 4ν ⎜⎜ω⎝ 02KR =⎛ ⎛⎜ ⎜ ω⎜1 − ⎜ ω⎜ ⎝ 0⎝⎞⎟⎟⎠22⎞⎟⎟⎠2⎞⎛⎟2⎜ ω4+ν⎟⎜ω⎟⎝ 0⎠⎞⎟⎟⎠2.(12.9)Из анализа выражения (12.9) видно, что коэффициентвиброизоляции KR явным образом зависит от соотношениячастот (вынужденной и собственной).
Для различных соот2⎛⎞nпостроены графикиношений ⎜ ω ⎟ (расстройка) и ν =ω0⎜ω ⎟⎝ 0⎠(см. рис. 12.3).Условие эффективности виброзащиты KR < 1: при любомωзначении ν в диапазоне> 2 , причем чем меньше ν, темω0она эффективнее. На основании этого можно сделать вывод:виброизоляция эффективна для уменьшения вредного влияния вибраций в широком частном диапазоне.174Ëåêöèÿ 12Îñíîâíûå ìåòîäû âèáðîçàùèòû. Âèáðîèçîëÿöèÿвыше предположений, данная задача сводится к анализудинамической схемы, представленной на рис.
12.1.Дифференциальное уравнение, описывающее колебаниемассы m, может быть записано в видеKR54mx&& + ε( x& − s&) + c( x − s ) = 0,ν=0где S(t) — перемещение основания М.Данное уравнение можно представить в видеmx&& + εx& + cx = εs& + cs = F (t ).3ν = 0,22ν = 0,51017512 234ω/ω0(12.10)Если S(t)представляет собой монохроматические колебания, то член F(t), стоящий в правой части уравнения(12.10), приобретает смысл гармонической возмущающейсилы. Очевидно, что анализ уравнения (12.10) аналогиченанализу уравнения (12.4), проведенному ранее. Совпадаюти вытекающие из этого анализа рекомендации.Динамическое гашение колебанийРис. 12.3Кинематическое возбуждение m << MЕсли перед проектировщиком ставится задача защиты объекта, находящегося на вибрирующем основании(рис.
12.4), то в простейшем случае, с учетом сделанныхOmДинамический гаситель, присоединяемый к объекту,формирует дополнительные динамические воздействия,прикладываемые к объекту в точках присоединения гасителя. Динамическое гашение осуществляется при таком выборе параметров гасителя, при котором эти дополнительныевоздействия частично уравновешивают (компенсируют)динамические воздействия, возбуждаемые источником.Схема простейшего динамического виброгасителя представлена на рис. 12.5.На массу m1, упруго соединенную с основанием, действует приложенная сила F(t).
Эту силу будем в дальнейшем полагать монохроматической.F = F0 cos ωt.xc(x)&ε(x, x)S(t)MРис. 12.4Задача ставится следующим образом: выяснить возможность снижения амплитуды колебаний массы m1 за счет введения дополнительной массы m2, упруго соединенной с массой m1.С целью упрощения задачи полагаем, что система недиссипативна, т.е. рассеяния энергии в упругих связях не происходит.Дифференциальные уравнения, описывающие движениямасс m1 и m2, могут быть записаны в видеm 1 x&&1+ с 1 x& 1+ c 2 ( x 1− x 2 ) = F0 cos ωt ;m 2 x&& 2 + с 2 ( x 1− x 2 ) = 0.(12.11)176Ëåêöèÿ 12Îñíîâíûå ìåòîäû âèáðîçàùèòû. ÂèáðîèçîëÿöèÿПодставляя (12.14) в первое уравнение системы (12.11),получимm 1 x&&1+ (с 1 + c 2 (1 − θ)) x 1 = F0 cos ωt .(12.15)F = F0 cos ωtm2177x2Решение системы линейных дифференциальных уравнений может быть сведено к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка вида(12.15).Нетрудно получитьc2m1A=F(t)F0с1+c2(1 − θ) −m1 ω2=F0 (c2 − m2 ω2)(с1 +c2− m1 ω2)(c2 − m2 ω2 ) − c 22.
(12.16)Знаменатель дроби может обращаться в нуль при изменении параметров системы, т.е.x1(с1 + с2 − m1ω2) (c2 − m2ω2) − c22 = 0.Данное уравнение является частным уравнением системы.Это уравнение имеет два корня ω1 и ω2, являющихся частотами собственных колебаний системы. В нуль может обращатьсяи числитель дроби в правой части соотношения (12.16), т.е.c1c2 − m2ω2 = 0.Рис. 12.5Поскольку система недиссипативна, то колебания отдельных масс либо совпадают по фазе с внешней возмущающей силой, либо находятся с ней в противофазе (сдвиг180°).Частное решение системы (12.11) может быть представлено в видеx1 = A cos ωt,x2 = θ A cos ωt,(12.12)где θ — коэффициент распределения амплитуд колебаний.Величину θ определяем, подставив соотношение (12.12)во второе уравнение (12.11):θ=с2с2 − m 2 ω2.(12.13)θA =Для искомого периодического решения системы (12.11)справедливо равенствоx2 = θ x1.(12.17)cОбозначим эту частоту через ωA.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
