1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Именно, пусть бесконечно малое преобразованиевремени и координат имеет видt → t + εct ,qi → qi + εci ,i = 1, 2, . . . , s,(14.3)где ε — бесконечно малый параметр, а ct и ci — некие постоянные величины, и пусть при этом преобразовании функция Лагранжа системы неизменяется (с точностью до слагаемых порядка ε включительно):s∂L∂L c = 0.δL = ε(14.4)ct +i∂t∂qii=1Тогда величинаEct −spi ci = const,(14.5)i=1т. е. является интегралом движения. Для доказательства подставим в (4)соотношения (13.2), (13.5) и немедленно получимsd −Ec + p c = 0,ti idti=1(14.1)59откуда следует сохранение величины (5).Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА6014.3. Теорема НётерДо сих пор мы ограничивались инвариантностью функции Лагранжаотносительно преобразования (3), в которых ct и ci — некоторые постоянные. Оказывается, можно получить и более общее утверждение, когдав преобразовании (3) вместо постоянных ct и ci будут фигурировать произвольные функции координат и времени. Только в этом случае требованиенеизменности предъявляется не к функции Лагранжа, а к действию. Такимобобщением является следующая теорема Эммы Нётер.Пусть бесконечно малое преобразование времени и координат имеетвидt → t = t + εh(q, t),qi → qi = qi + εfi (q, t),i = 1, 2, . . .
, s,(14.6)где ε — бесконечно малый параметр, и пусть при этом преобразовании виддействия не меняется (с точностью до слагаемых порядка ε включительно)5t2 t2 dq dqL q, , t dt = L q , , t dt .dtdt(14.7)t1t1Тогда величинаEh −spi fi = const,(14.8)i=1т. е. является интегралом движения. Простое доказательство этой теоремыбудет дано в § 39.3.Полученным соотношениям можно придать еще и такой, иногда болееудобный в приложениях, вид. Обозначимεh(q, t) = δt,εfi (q, t) = δqi .Пусть при преобразованииt → t + δt,qi → qi + δqi ,i = 1, 2, . . . , s,(14.9)действие не изменяет своего вида в указанном выше смысле. Тогда величинаsEδt −pi δqi = const.(14.10)i=15 Подчеркнем,что в левой и правой сторонах равенства (7) стоит одна и та же функция L,но от разных аргументов.§ 14.
Симметрия и интегралы движения. Теорема Нётер61Теорема Нётер представляет собой, в сущности, единый вывод различных законов сохранения при наличии определенной симметрии системы. Важность ее возрастает в связи с тем, что подобная же теорема имеетместо и в теории поля (см. [7, 8]).Для иллюстрации применения теоремы Нётер рассмотрим движениечастицы в поле диполя. В этом случае функция Лагранжа равна1armv2 − U (r), U (r) = 3 ,(14.11)2rгде постоянный вектор a равен произведению электрического дипольногомомента на заряд частицы.
Эта функция Лагранжа явным образом не зависит от времени и не изменяется при повороте вокруг вектора a, поэтомупри движении в этом поле сохраняются энергия E = 12 mv2 + U (r) и проекция момента импульса на направление диполя m[r, v]a. Однако эта системаобладает еще и дополнительной симметрией.Легко убедиться, что для лагранжиана (11) соотношение (7) выполняется при преобразовании подобияL(r, v) =r → r = λr,t → t = λ2 t,(14.12)где λ — произвольное число, так как1drdtv= L(r, v) 2 = L(r, v) .L r , = L λr,dtλλdtТеорема Нётер позволяет найти еще один интеграл движения, связанныйс симметрией относительно преобразования подобия. В качестве λ возьмемλ = 1 + ε, тогдаδr = εr, δt = 2εtи из (10) следует2Et − mvr = const ≡ C1 .(14.13)Используя этот интеграл движения, легко найти зависимость r(t).
Действительно,2C1 = 2Et − mṙ r = 2Et − m dr ,2 dtоткуда получаем2 (Et2 − C t) + C ,r(t) = m12где C1,2 — постоянные, определяемые начальными условиями.При получении интеграла движения (13) существенным был не конкретный вид потенциальной энергии (11), а лишь тот факт, что U (λr) == U (r)/λ2 . Поэтому тот же самый интеграл движения (13) имеет местоГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА62и для частицы в центральном поле U (r) = β/r2 , и при движении в полемагнитного монополя (см. [3, задача 4.20]) и т. д.Надо сознаться, что приведенная здесь формулировка теоремы Нётерпредставляет собой вариант, адаптированный для задач классической механики. Оригинальная теорема Нётер относится к непрерывным системам.Следует также упомянуть, что механические системы, обладающие той илииной симметрией, скорее представляют собой исключение, чем правило.В этом смысле установление факта симметрии является нередко достаточносложной и творческой задачей.
Напротив, отыскание интегралов движенияс помощью теоремы Нётер после установление симметрии системы является простой стандартной процедурой. Ряд таких физически интересныхпримеров рассмотрен в [1, § 48].В заключение напомним, что при добавлении к функции Лагранжаполной производной от функции координат и времени уравнения Лагранжане изменяются. В связи с этим справедлива несколько более общая теорема:если при преобразованиях (6) вид функции Лагранжа изменяется не более,чем на полную производную от функции координат и времениt2 t2 dF (q , t )dqdq L q, , t dt =(14.7a)L q , , t + εdt ,dtdtdtt1t1то интегралом движения является величинаsEh −pi fi − F = const.§ 15.
Фундаментальные законы сохранения для замкнутой системы частиц63относительно какого-либо семейства преобразований уже найдена, но в нейничего не говорится о том, как такого рода инвариантность можно находить. В ряде случаев такая инвариантность оказывается связанной с оченьобщими предположениями о свойствах реального мира.Из курса общей физики известны законы сохранения полного импульса, момента импульса и энергии замкнутой системы частиц. Их доказательство основано на втором и третьем законах Ньютона и предположении, чтосилы парного взаимодействия между частицами зависят лишь от разностиих радиус-векторов.В лагранжевом подходе теорема Нётер дает возможность установитьфундаментальную связь этих законов сохранения с основными свойствамипространства и времени, такими как однородность и изотропия пространства и однородность времени.Предположение об однородности пространства означает, что движение замкнутой системы N частиц из данных начальных условий не зависитот того, в каком месте пространства находится данная система.
Отсюдаследует, что функция Лагранжа системы L(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t) не изменяется при переносе всех частиц системы на один и тот же вектор ε, т. е.при преобразовании(15.1)ra → ra + ε, t → t.При этомδra = ε,(14.8a)i=1Задачии из (14.10) следуетδt = 0,paε = const,a14.1. Найти интегралы движения для частицы, движущейся в поле бегущей волны U (r, t) = U (r − Vt), где V — постоянный вектор.14.2. Найти интегралы движения для частицы в однородном постоянном магнитном поле B, если векторный потенциал задан в виде:а) Ax = Az = 0, Ay = xB,б) A = 1 [B, r].2§ 15. Фундаментальные законы сохранениядля замкнутой системы частицТеорема Нётер дает возможность получать интегралы движения, если инвариантность функции Лагранжа (в более общем случае — действия)а из произвольности вектора ε получаем закон сохранения полного импульсазамкнутой системы частиц:Npa = const.(15.2)a=1Аналогично, предположение об изотропии пространства означает,что относительное движение замкнутой системы частиц не изменяется прилюбом повороте этой системы как целого в пространстве, а потому при таком повороте функция Лагранжа не изменится.
Повернем систему на угол εвокруг произвольной оси, заданной единичным вектором n. При этомra → ra + δra ,δra = ε[n, ra ],δt = 0,(15.3)Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА64§ 16. Преобразования Галилея65§ 16. Преобразования Галилеяи из (14.10) следуетpa δra = εaПусть оси координат в системе отсчета K (x , y , z ) параллельны осямв инерциальной системе K(x, y, z) (которую мы считаем неподвижной),а начало отсчета системы K движется: RO = R(t) (рис.
22). Координатыотносительно подвижной системы K вводятся соотношением r = R(t) ++ r . Для определенности выберем R(0) = 0.pa [n, ra ] = const,aилиεn[ra , pa ] = const.aОтсюда в силу произвольности направления n получаем закон сохраненияполного момента импульса замкнутой системы частиц:M=N[ra , pa ] = const.(15.4)a=1Наконец, однородность времени предполагает, что движение замкнутой системы частиц не зависит от того, с какого момента времени начнетсяэто движение (при условии, что начальное состояние системы каждый развыбирается одинаковым).
Отсюда следует, что функция Лагранжа системыне изменяется при преобразованииra → ra ,t → t + ε.(15.5)При этомδra = 0,δt = ε,и из (14.10) следует закон сохранения энергии замкнутой системы частиц:E=Na=1pa va − L =3NРис. 22. Две системы отсчета — неподвижная K(x, y, z) и движущаяся поступательно K (x , y , z )Если скорость V = Ṙ постоянна, то система K также является инерциальной, а координаты и скорости частицы изменяются согласно преобразованиям Галилея:r = r + Vt ,pi q̇i − L = const.t = t ,v = v + V.(16.1)(15.6)i=1Особую ценность лагранжеву подходу придает еще и то обстоятельство, что аналогичные выводы можно провести и в теории поля при описании систем с бесконечным числом степеней свободы. В теории поля вначале строятся лагранжианы, подчиненные требованиям инвариантности относительно сдвигов и поворотов и независящие от времени. Такой выборне только позволяет вычислить энергию, импульс и момент импульса поля,но фактически дать их определения.Интегралы движения, отвечающие преобразованиям Галилея и Лоренца, обсуждаются в [2, § 14; 3, задача 4.14].Пусть функция Лагранжа частицы в системе K равнаL(r, v) = 1 mv2 − U (r),2(16.2)тогда обобщенный импульс и энергия этой частицы таковы:p = ∂L = mv,∂vE = pv − L = 1 mv2 + U (r).2(16.3)При переходе к системе K можно предложить два различных способа получения функции Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
