1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из неоднозначности функцийЛагранжа следует неоднозначность обобщенных импульсов:pi =∂L∂L∂ dF∂F= pi +=+.∂ q̇i∂ q̇i∂ q̇i dt∂qi(10.8)Обсуждение некоторых вопросов, связанных с такой неоднозначностью, можно найти в [3, задачи 4.7–4.9].§ 11. Функция Лагранжа в релятивистском случаеОбобщение формул предыдущего параграфа на релятивистский случайдостигается заменой нерелятивистского лагранжиана (10.4) на релятивистский:2eL(r, v, t) = −mc2 1 − v2 − eϕ + Av.(11.1)ccdemv= eE + [v, B] .dt 1 − (v 2 /c2 )cи эти лагранжианы должны быть физически эквивалентны.Из этого примера видно, что выбор функции Лагранжа неоднозначен.Справедливо следующее общее утверждение: если к функции Лагранжадобавить полную производную по времени от любой функции координати времени F (q, t), то полученное выражение можно также рассматриватькак иную функцию Лагранжа, приводящую к тем же уравнениям движения.Действительно, еслиdF (q, t)L (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +,dt47Уравнения Лагранжа (10.2) с таким лагранжианом совпадают с релятивистскими уравнениями движения1emv2 − eϕ + A v =2ce ∂f∂fe df (r, t)1e+v = L+,= mv2 − eϕ + Av +2cc ∂t∂rc dtL =§ 11.
Функция Лагранжа в релятивистском случае(10.7)(11.2)Обобщенный импульс равенp=mv∂Le= + A.22∂v1 − (v /c ) c(11.3)В нерелятивистском пределе (при v c) из (1) получаем1eL = −mc2 + mv 2 − eϕ + Av,2cчто с точностью до константы −mc2 совпадает с (10.4).(11.4)Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА48t2Лагранжиану (1) соответствует действие S =Ldt, которое легкоt1переписать в явно релятивистски инвариантном виде.
Действительно,(11.5)c 1 − (v2 /c2 )dt = (cdt)2 − (dr)2 = ds,где s — интервал, а слагаемое(cϕ − Av)dt = A0 dx0 − Adr = Aμ dxμ§ 12. Идеальные голономные связи49в виде уравнений Лагранжа (разумеется, несколько обобщенных по сравнению с теми, которые рассматриваются в механике). Эти вопросы лежат запределами нашего курса.Тем не менее, существуют случаи, когда удается определять движение систем, содержащих поля, описывая их небольшим количеством переменных. Пример — электромеханические системы (см.
далее § 18). Функцию Лагранжа, приближенно учитывающую взаимодействие через посредство электрического и магнитного полей частиц, скорости которых малы посравнению со скоростью света, можно найти, например, в [10].(11.6)представляет собой скалярное произведение двух 4-векторов: 4-потенциалаc контравариантными Aμ = (ϕ, A) или ковариантными Aμ = (ϕ, −A) компонентами и dxμ = (cdt, dr). Таким образом, действие есть лоренц-инвариантная величинаB eS=−mcds − Aμ dxμ(11.7)cA(здесь начало и конец интегрирования соответствуют мировым точкамA(ct1 , r1 ) и B(ct2 , r2 )). Если переход (t, r) → (t , r ) есть лоренцево преобразование, то из инвариантности действия следует, что L dt = Ldt. Приэтом L (r , dr /dt , t ) как функция новых переменных имеет точно такойже вид (1), как и L(r, dr/dt, t) как функция старых переменных.Напомним, что уравнения движения системы нескольких частиц можно получить с помощью функции Лагранжа, содержащей энергию взаимодействия (8.2b).
Описать движение нескольких взаимодействующих релятивистских частиц, обобщив подобным же образом функцию (1), релятивистски инвариантным образом невозможно. Дело в том, что при преобразованиях Лоренца время, относящееся к каждой из частиц, окажется своим.Это может привести в составленных таким образом уравнениях движенияк нарушению принципа причинности. Пусть, например, окажется, что «персональное» время частицы B, tB , меньше, чем время, относящееся к частице A, tB < tA . Тогда получится, что сила, действующая на частицу B состороны частицы A в момент tB , определяется положением и скоростью частицы A в более поздний момент tA .
Избежать подобых неприемлемых ситуаций удается, включив в теорию поля̀, обеспечивающие взаимодействиечастиц (например, электромагнитные). Разумеется, поля в физике играюти самостоятельную роль. Уравнения, описывающие изменение со временем полей (например, уравнения Максвелла), также можно представлять§ 12. Функция Лагранжа для систем с идеальнымиголономными связямиВсе рассматриваемые в классической механике объекты (например, материальная точка, твердое тело и т. п.) представляют собой результат идеализации, идеализированным является и их взаимодействие.
Нередко такиеидеализированные взаимодействия можно описать как связи, ограничивающие движение материальных точек и уменьшающие число степеней свободы.Для обширного класса систем с идеальными голономными связями,определение которых будет дано ниже, лагранжев подход оказывается весьма эффективен. Начнем с примера математического маятника переменной длины: грузик массы m подвешен в поле тяжести на нерастяжимомневесомом стержне, длина которого изменяется по заданному закону l(t)(рис. 15).
Мы рассмотрим лишь движение грузика в вертикальной плоскости xy (ось x направлена по силе тяжести, ось y — горизонтальна, началосистемы координат в точке подвеса). Радиус-вектор грузика r удобно задатьв полярных координатах r и ϕ. Условие нерастяжимости стержня означает,чтоr = l(t).(12.1)На грузик действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения стержня (или сила реакции связи) R, направленная вдоль r. Заметим, что нашасистема фактически является одномерной: с учетом условия (1) для ее описания достаточно знать ϕ(t).
Проще всего найти уравнения движения длякоординаты ϕ, используя известное свойство уравнений Лагранжа, а именно возможность записывать эти уравнения в любых обобщенных координатах.Чтобы сделать это, удобно временно «расшифровать» смысл идеализации «нерастяжимый стержень». Разумеется, в действительности стерженьГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА50является просто чрезвычайно жестким, настолько жестким, что величинаего деформации мала по сравнению со всеми другими рассматриваемыми в задаче длинами.
Эта продольная деформация приводит к появлениювполне существенной в задаче силы реакции связи, но во всех других отношениях ею можно пренебречь. Временно откажемся от такой идеализациии введем потенциальную энергию Ũ (q̃), гдеq̃ = r − l(t)— увеличение длины стержня, связанное с его силовой деформацией,а функция Ũ (q̃) очень быстро возрастает с ростом |q̃| (рис.
16). Теперьможно записать уравнения движения как двумерные уравнения Лагранжав полярных координатах ϕ и r. Несколько выразительнее дальнейшее будетвыглядеть, если мы вместо переменной r выберем переменную q̃.Рис. 15. Маятник на стержне переменной длиныРис. 16.
Потенциальная энергия деформации стержня в зависимости отего удлиненияФункция Лагранжа в этих переменных2m ˙2 2˙˙L̃(ϕ, q̃, ϕ̇, q̃, t) =l(t) + q̃ + [l(t) + q̃] ϕ̇ +2+ mg [l(t) + q̃] cos ϕ − Ũ (q̃)приводит к уравнениямd 2(l(t) + q̃) ϕ̇ = −mg [l(t) + q̃] sin ϕ,mdtdŨm l̈(t) + q̃¨ = m [l(t) + q̃] ϕ̇2 + mg cos ϕ −.dq̃(12.2)§ 12. Идеальные голономные связи51Учитывая малость величины q̃, можно в уравнении (3) положить q̃ = 0и q̃˙ = 0. Получается уравнениеmd 2l (t)ϕ̇ = −mgl(t) sin ϕ,dt(12.5)из которого (при заданной зависимости l(t)) может быть найдена зависимость ϕ(t).Уравнение (4) формально определяет q̃(t). Однако мы не будем егоиспользовать, вспомнив, что для «нерастяжимого стержня» q̃(t) = 0, еслиугодно, по определению «нерастяжимого стержня».Наконец, сделаем последний шаг: положим q̃ = 0 и q̃˙ = 0 уже в функции Лагранжа (2) и отбросим слагаемое Ũ, не нужное при записи уравнения(3) для ϕ.
Легко видеть, что такая подстановка не приводит к изменениюуравнения (5). В итоге получим простую функцию Лагранжа для одномерной задачи:m ˙2(12.6)L(ϕ, ϕ̇, t) =l (t) + l2 (t)ϕ̇2 + mgl(t) cos ϕ.2В этом выражении еще дополнительно можно опустить слагаемое ml˙2 (t)/2,не содержащее ϕ и ϕ̇.Итак, рецепт получения лагранжиана для системы со связью найден:следует ввести обобщенные координаты с учетом условий связи, лагранжиан — разность кинетической и потенциальной энергий — следует записывать сразу же с учетом этих условий, а добавочных слагаемых вида Ũ (характеризующих чрезвычайную жесткость связей) не вводить.
Такой способдействий позволяет находить уравнения движения маятника, не интересуясь силами реакции связи.Альтернативный подход к этой задаче связан с так называемым принципом виртуальных перемещений Даламбера. В нашей задаче сила реакциисвязи R обладает тем свойством, что работа этой силы при любом маломсмещении маятника δr, не нарушающем условие (1), равна нулю4 . Действительно, смещение δr направлено по касательной к окружности r = l(t) == const, а сила реакции связи R направлена вдоль r, поэтомуR δr = 0.(12.7)В ньютоновой механике движение грузика определяется уравнением(12.3)(12.4)mr̈ = mg + R,(12.8)4 Подразумевается не смещение при истинном движении маятника, а смещение, не нарушающее условие (1) при фиксированном значении t, т. е. при l(t) = const.52Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКАкоторое совместно с условием (1) позволяет найти как закон движения r(t),так и силу R(t). Найти же уравнения движения для координаты ϕ можно,подставив R из уравнения (8) в уравнение (7),(mr̈ − mg) δr = 0,§ 12. Идеальные голономные связи53ных координат выбрать декартову координату X бруска и угол ϕ отклонения стержня от вертикали.(12.9)и учтя условие связи (1). Предоставляем читателю проверить, что полученное таким образом уравнение движения для координаты ϕ совпадаетс уравнением (5).Перейдем к общему случаю. Мы будем представлять себе далее, чтотела, движение которых мы исследуем, состоят из «материальных точек»,взаимодействующих друг с другом. Например, под абсолютно твердым телом мы понимаем совокупность материальных точек, расстояния междукоторыми остаются постоянными. Подобным же образом движение системы N материальных точек может быть ограничено воздействием какихлибо стержней, поверхностей и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
