1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Основным пособием для семинаров по данному курсу является«Сборник задач по классической механике» Коткина и Сербо [3], в котором студенты и преподаватели могут найти не только постановку задач, нои их решения.(iv) Содержание книги несколько (но не слишком!) расширено по сравнению с тем, что читалось на лекциях.(v) Для вдумчивых студентов есть дополнения, расширяющие и проясняющие основной текст.Нумерация формул содержит две цифры. Например, (3.7) означаетформулу (7) из § 3. Ссылки на формулы из данного параграфа даются в сокращенном виде без указания номера параграфа.В заключение заметим, что есть много хороших книг по аналитической механике, начиная с «Механики» Ландау и Лифшица (первый том курса теоретической физики) [1] и «Классической механики» Голдстейна [2].Из числа написанных позже книг упомянем курс механики Кембриджскогоуниверситета — D.
Tong «Classical Dynamics» (доступна по адресу в Интернете http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/).§ 1. Одномерное движение в потенциальном поле. Период колебаний9возможность вместо уравнения второго порядка (1) использовать уравнениепервого порядка (2) и найти в квадратурах закон движения x(t).Действительно, по начальным данным находим константуГЛАВА IНЬЮТОНОВА МЕХАНИКА.ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ. РАССЕЯНИЕE = 1 mv02 + U (x0 ),2после чего в уравнении первого порядкаdx = ± 2 [E − U (x)]mdt(для ẋ ≷ 0)(1.3)переменные разделяются и ответ в квадратурах имеет видВ дальнейшем предполагаются хорошо известными из курса общейфизики такие понятия, как инерциальная система отсчета, материальнаяточка или частица, масса, сила, потенциальная энергия и законы Ньютона.t=±m2xx0§ 1. Одномерное движение в потенциальном поле. ПериодколебанийПусть в некоторой инерциальной системе отсчета частица массы mдвижется вдоль оси x в потенциальном поле U (x, t).
Хорошо известно, чтоуравнение движения (уравнение Ньютона)mẍ = Fx (x, t) = −∂U (x, t)∂x(1.1)с начальными условиями x(t0 ) = x0 , ẋ(t0 ) = v0 имеет единственное решение x(t). Если потенциальная энергия не зависит от t, т. е. U = U (x), топри движении в таком поле сохраняется энергияE=1mẋ2 + U (x) = const,2(1.2)что можно проверить прямым дифференцированием по времениdU(x)dE = mẍ +ẋ = 0.dtdxЭнергия представляет собой пример интеграла движения, т.
е. такойфункции координат и скоростей, которая сохраняется при движении системы. Для одномерного движения наличие такого интеграла движения даетdx+ t0 .E − U (x)(1.4)Точки xi , в которых U (xi ) = E, определяют границы области движения частицы. В этих точках скорость vi = 0, но ускорение ai = −U (xi )/mможет быть отлично от нуля.Рассмотрим пример потенциальной энергии c локальным максимумом Um (рис.
1). Поскольку кинетическая энергия T = E − U (x) > 0,то при энергии E < Um движение возможно лишь в двух областях: в интервале x1 x x2 и на полупрямой x x3 . Ускорения a1,2,3 = 0, причемa1,3 > 0, a2 < 0, поэтому вблизи точек x1,2,3 движение оказывается приближенно равноускоренным и эти точки являются точками поворота. В областиx1 x x2 частица совершает колебания (движение финитное) с периодом√.2m dxE − U (x)x2T =(1.5)x1В области x x3 частица уходит на бесконечность, ее движение инфинитно.Особый случай — движение частицы с энергией, равной величине локального максимума, E = Um .
В этом случае в точке локального максимума xm сила Fx (xm ) = −U (xm )/m = 0, т. е. не только скорость, нои ускорение частицы обращаются в нуль. Пусть, например, U (xm ) = 0, ноU (xm ) = 0. В этом случае вблизи точки xm потенциальная энергия имеетвидU (x) = Um + 1 U (xm ) (x − xm )2 + . . . ,U (xm ) < 0,210Глава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА§ 2. Движение в центральном поле11ки x. Точнее, вероятность dw обнаружить частицу в интервале (x, x + dx)можно определить как отношение времени ее пребывания на этом интервале dt к полупериоду ее движения: dw = 2 dt/T .
Найти плотность вероятности dw(x)/dx для движения частицы в осцилляторном поле U (x) == mω 2 x2 /2 с амплитудой a.§ 2. Движение в центральном полеРис. 1. Границы движения в потенциальном полеи решение уравнения (4), соответствующее приближению к точке xm , таковоU (xm )−λ(t−t0 ), λ= − m ,x(t) = xm − (xm − x0 ) eт. е. x(t) → xm лишь при t → ∞. Таким образом, в рассматриваемом случае приближение частицы к точке xm слева или справа будет происходитьбесконечно долго. Отсюда, в частности, следует, что период колебаний (5)обращается в бесконечность, когда энергия E → Um .Задачи1.1. Описать качественно характер движения частицы массы m в поле(при x > 0)2 a 2U (x) = V a2 1 − xxпри различных значениях энергии частицы.1.2.
Найти закон движения частицы в поле U (x) = −Ax4 , если ееэнергия равна нулю. В начальный момент частица находится в точке x(0) == a. Рассмотреть случаи ẋ(0) > 0 и ẋ(0) < 0.Тот же вопрос для поля U (x) = −kx2 .1.3. При длительном наблюдении финитного движения частицы можноговорить о распределении вероятностей обнаружить частицу вблизи точ-Потенциальная энергия центрального поля зависит лишь от модулярадиус-вектора U (r) ≡ U (r). Движение частицы в центральном поле — этои движение планеты в Солнечной системе, и движение электрона в атоме.К тому же это один из немногих примеров задач, решаемых в квадратурах при произвольной зависимости U (r).
Разумеется, уравнения движениячастицы можно интегрировать численно. Однако определение закона движения «в лоб» на длительное время в сколько-нибудь сложных условиях —задача, превосходящая возможности даже мощных компьютеров.Большое число учебных задач можно найти в [3], § 2. Обратим внимание на простые и точно решаемые задачи 2.3 и 2.5 и на интереснуюзадачу 2.36, несколько выходящую за рамки необходимого минимума.2.1. Радиальное движениеПри движении частицы в центральном поле сила1F = − ∂U = − dU rr∂rdrнаправлена по радиус-вектору или против него и потому сохраняется нетолько энергия1E = mv2 + U (r),(2.1)2но и момент импульсаM = m[r, v],(2.2)так какdM = [r, F] = 0.dt1 Производныепо вектору определяются следующим образом:∂≡∂r∂∂∂.,,∂x ∂y ∂zГлава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА12Из уравнения (2) следует, что орбита частицы находится в плоскости,перпендикулярной постоянному вектору M; пусть это будет xy-плоскость.Вводя полярные координаты r и ϕ в этой плоскости (рис.
2), получаем1 2 1mṙ + m (rϕ̇)2 + U (r),22E=M = (0, 0, M ),M = mr2 ϕ̇.(2.3)(2.4)§ 2. Движение в центральном поле13Это уравнение вполне аналогично уравнению (1.4) для одномерногодвижения. Поэтому для радиального движения r(t) можно повторить всето, что было сказано для зависимости x(t) в § 1 с заменой потенциальной энергии U (x) на эффективную потенциальную энергию Uэф (r). Такточки ri , в которых Uэф (ri ) = E, определяют границы области движениячастицы по радиусу. В этих точках радиальная скорость ṙi = 0, но радиальное ускорение r̈i = −Uэф(ri )/m обычно отлично от нуля. При этом точки riявляются точками поворота для движения частицы по радиусу.
Пусть, например, зависимость Uэф от r имеет такой же вид, как и зависимость U от xна рис. 1. В этом случае при энергии E < Um движение возможно лишьв двух областях: финитное движение в интервале r1 r r2 и инфинитноедвижение в области r r3 . Для финитного движения период радиальныхколебаний равен (ср. (1.5))√Tr = 2m dr.E − Uэф (r)r2Рис. 2. Компоненты скорости в полярных координатахИспользуя (4), исключим ϕ̇ из (3):E=2.2. Траектории1 2mṙ + Uэф (r),2Для вывода уравнения траектории используем (4) в формеM2Uэф (r) = U (r) +.(2.5)2mr2Таким образом, радиальное движение сведено к одномерному движениюв поле с эффективной потенциальной энергией Uэф (r), включающей центробежную энергию M 2 /(2mr2 ) (ср.
(1.2)). Из (5) находимdr = ± 2 [E − U (r)] (для ṙ ≷ 0)эфmdtилиdt = ±mdr,2E − Uэф (r)откуда и получаем зависимость t(r):t=±m2rr0dr+ t0 .E − Uэф (r)(2.7)r1(2.6)2dt = mr dϕ.MЗатем исключим dt из (6) и найдем уравнение траектории:Mϕ = ±√2mrr0r2dr+ ϕ0 .E − Uэф (r)(2.8)Следует учесть, что угловая скорость ϕ̇ = M/(mr2 ) имеет один и тотже знак для всей траектории и отлична от нуля в точках поворота радиального движения ri . Поэтому траектория в этих точках проходит по касательной к окружности радиуса ri .Примерный вид траекторий финитного движения показан на рис.
3 дляслучая, когда за время одного оборота Tϕ совершается чуть менее одногорадиального колебания (Tϕ < Tr ), и на рис. 4 для случая, когда за одиноборот совершается несколько радиальных колебаний (Tϕ > 4Tr ).Закону сохранения момента импульса (2), (4) можно придать наглядный геометрический смысл, используя понятие секториальной скорости.Глава I.
НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА14§ 3. Задача Кеплера15Здесь α = Gm mС для движения планеты массы m в гравитационном полеСолнца (mС — масса Солнца, G — гравитационная постоянная) или α = e2для движения электрона в электрическом поле протона (атом водорода)2.3.1. ТраекторииЭффективная потенциальная энергия для данного поляРис. 3.
Траектория финитногодвижения при Tϕ < TrUэф (r) = −Рис. 4. Траектория финитногодвижения при Tϕ > 4TrM2α+r2mr2(3.2)изображена на рис. 5. Из него видно, что:Пусть за время dt частица сместится из точки r на расстояние dr = v dt.Радиус-вектор частицы за это время повернется на угол dϕ и «заметет»элементарный сектор, образованный радиус-вектором r, радиус-векторомr+ dr и элементом траектории частицы. Площадь этого сектора равна dS == r2 dϕ/2. Секториальной скоростью называется величинаdS = 1 r2 ϕ̇,2dt(2.9)равная площади, заметаемой радиус-вектором частицы в единицу времени.Секториальная скорость связана с моментом импульса соотношениемM = 2m dS ,dt(2.10)поэтому сохранение момента импульса означает, что секториальная скорость в центральном поле является постоянной величиной.Задача2.1.
Частица падает в центр поля U (r) = −αr−n с конечного расстояния (n 2). Будет ли число оборотов вокруг центра, сделанных при этомчастицей, конечным? Будет ли конечным время падения? Найти уравнениетраектории для малых r.§ 3. Задача КеплераРассмотрим движение частицы в потенциальном полеαU (r) = − .r(3.1a)M2Рис. 5. Эффективная потенциальная энергия Uэф (r) = − αr + 2mr 2если E 0, то частица, приходящая из бесконечности, будет отраженав точке r1 и снова уйдет на бесконечность;если E < 0, то частица испытывает радиальные колебания в ограниченной области rmin r rmax ;если E = −mα2 /(2M 2 ), то частица движется по окружности радиусаr0 = M 2 /(mα).Траектория движения определяется из уравнения (2.8):drM+ const.(3.3)ϕ=±r22mα M 2− 22mE +rr2 На самом деле, движение электрона в атоме определяется не классической, а квантовоймеханикой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
