1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Дополнение А).Рассмотрим сначала одномерный случай. Пусть имеется некоторыйкласс функций ỹ(x) таких2 , что все они проходят через точки A(x1 , y1 )и B(x2 , y2 ), т. е. ỹ(x1 ) = y1 , ỹ(x2 ) = y2 . Среди этих функций надо найтитакую функцию y(x), при подстановке которой в интегралx2J=f (y, y , x) dx,y =dy,dxx1где f (y, y , x) — заданная функция трех переменных, он принимает экстремальное значение.Согласно вариационному исчислению, искомая функция y(x) находится как решение дифференциального уравнения:(8.8a)d ∂f∂f= 0.−dx ∂y ∂y(8.8b)Это уравнение называется уравнением Эйлера данной вариационной задачи.Величина∂fd ∂fδJ≡−δy(x)∂ydx ∂y Легко проверить, что обобщенные импульсы pr , pθ и pϕ связаны с импульсом p = mv и моментом импульса M = [r, p] соотношениямиpr = (p)r = p · rr ,§ 9.
Принцип наименьшего действия= M2 . (8.9)называется вариационной производной от J по y(x), а вариацией (точнее,первой вариацией) J называется величина δJ, определенная соотношениемx2δJ ≡Задача8.1. Записать компоненты вектора ускорения частицы в сферическойсистеме координат.1 Если начало системы координат поместить в центре глобуса заданного радиуса r с северным полюсом, лежащим на оси z, то полярный угол θ отсчитывается вдоль меридиана к югу,а азимутальный угол ϕ — вдоль широты к востоку.
Обозначим через er , eθ и eϕ взаимноортогональные единичные векторы вдоль радиус-вектора, вдоль меридиана и вдоль широты,тогда r = er r, dr = er dr + eθ rdθ + eϕ r sin θdϕ, компоненты скорости dr/dt равны vr == ṙ, vθ = r θ̇, vϕ = r ϕ̇ sin θ, а v2 = ṙ 2 + r 2 θ̇ 2 + r 2 ϕ̇2 sin2 θ.(9.1)δJδy (x) dx.δy(x)x1Аналогично ставится и решается задача определения экстремума интегралаx2J = f (y1 , . .
. , ys ; y1 , . . . , ys ; x) dx,(9.2)x12 Подразумевается,что функции ỹ(x) являются достаточно гладкими.Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА42зависящего от многих неизвестных функций yi (x) (при этом предполагается, что эти функции независимы). Необходимое условие экстремума (1)должно выполняться по отношению к каждой из этих функций:d ∂f∂f−= 0,dx ∂yi∂yii = 1, 2, . . . , s.(9.3)Очевидно сходство уравнений Лагранжа (8.6a), (8.6b) с уравнениями Эйлера (1), (3). Это дает возможность сформулировать следующийпринцип для задач механики — принцип наименьшего действия (принципГамильтона). Сформулируем его сразу для произвольных криволинейных координат, хотя из обнаруженного сходства уравнений его справедливость доказана пока только в декартовых координатах.
Пусть система частиц в момент времени t1 находится в точке A с координатами(1) (1)(1)q1 , q2 , . . . , qs , а в момент времени t2 — в точке B с координатами(2) (2)(2)q1 , q2 , . . . , qs . Движение системы частиц между этими точками происходит по такому закону qi (t), чтобы интегралt2S=L (q1 (t), . . . , qs (t), q̇1 (t), . . . , q̇s (t), t) dt(9.4)t1принял экстремальное значение, т. е.
чтобы вариация S обращалась в нуль:s t2 d ∂L∂LδS =−δqi dt = 0.∂qidt ∂ q̇ii=1(9.5)t1Величина S называется действием. При этом предполагается, что вариациикоординат независимы и удовлетворяют условиямδqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0,i = 1, 2, . . . , s.В силу независимости вариаций координат δqi из принципа Гамильтона (5)получаются уравнения (8.6b). Таким образом, уравнения Эйлера, к которымприводит эта вариационная задача, и есть уравнения Лагранжа механической системы.Сформулированный принцип позволяет сразу обнаружить ковариантность уравнений Лагранжа относительно преобразования координат.
Действительно, преобразование координат сводится к замене переменных в интеграле действия (4). Само же значение интеграла при этом не изменяется§ 9. Принцип наименьшего действия43и уравнения для координат, определяющие экстремальное значение интеграла, не изменяют своего вида.Принцип Гамильтона можно положить в основу механики вместо уравнений Ньютона. Ценность такого подхода заключается в том, в частности,что аналогичные вариационные принципы можно сформулировать и в других разделах теоретической физики — электродинамике, квантовой механике, теории элементарных частиц и т. д. Простой пример применения подобного подхода к электромеханическим системам рассмотрен в § 18.Тот факт, что движение частицы задается дифференциальными уравнениями (уравнениями Ньютона), означает, что по известным значениям координат и скорости частицы в некоторый момент t определяются значениякоординат и скорости в близкий момент t + δt.
Такая ситуация является длянас привычной и представляется естественной. Кстати, именно таким образом можно находить закон движения частицы численно. Вариационныйже принцип утверждает, что частица движется так, будто бы она испробовала все возможные законы движения и выбрала в определенном смыслепредпочтительный. Такое «стремление к определенной цели» (которая ещекогда-то будет достигнута и притом не очень-то понятна) представляетсяне только непривычным, но и удивительным.
Конечно, можно было бы думать, что совпадение уравнений движения с уравнениями Эйлера вариационной задачи — просто случайность. Так и оказалось бы, если ограничитьсярамками классической механики. Однако мы увидим в дальнейшем, что вариационный принцип связан с волновыми свойствами частиц (изучаемымив полной мере в квантовой механике).9.2. Преобразование функции Лагранжа при преобразованиикоординат и времениУравнения движения сохраняют форму уравнений Лагранжа такжеи в том случае, если осуществляется преобразование и координат, и времени.
Но в этом случае преобразование функции Лагранжа не сводитсяк замене переменных и равенство (8.5), вообще говоря, не выполняется.Рассмотрим такое преобразование qi , t → qi , t , чтоqi = qi (q1 , . . . , qs , t ),t = t(q1 , . . . , qs , t ),i = 1, 2, . . . , s.(9.6)Приведем примеры преобразования времени: в качестве t можно вводитьотносительности нередко в каче«местное время» t = t − λx; в теориистве t используют интервал t = (ct)2 − r2 , что позволяет провести вывод и получить уравнения движения в явно релятивистски ковариантномГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА44виде.
С математической точки зрения, можно забыть о физическом смысле переменной t и трактовать преобразование (6) как замену переменныхв (s + 1)-мерном пространстве.При такой замене интеграл действия преобразуется следующим образом:t2t2dt(9.7)S = Ldt = L dt .dtt1t1Поэтому новую функцию Лагранжа L естественно определить следующим соотношением:dt(9.8a)L = L ,dtтогда действие примет вид, аналогичный исходному3:t2S=t1 dqL q , , t dt .dt(9.9)При этом сохранится ковариантность уравнений Лагранжа относительнопреобразований (6), а именно если в старых переменных уравнения Лагранжа имели вид (8.6b), то в новых переменных и для нового лагранжианасохранится тот же вид уравнений:d∂L∂L=,dt ∂(dqi /dt )∂qii = 1, 2, .
. . , s.(9.10)Отметим, наконец, что уравнения Лагранжа сохраняют свой вид, если умножить функцию Лагранжа на постоянный множитель. Взяв в качестве функции Лагранжа не L = T − U , а L = λL (T — кинетическаяэнергия, U — потенциальная, λ = const), мы получим те же уравнениядвижения, только умноженные на λ, что несущественно с точки зрения интегрирования этих уравнений.3Вболее подробной записи соотношение (8a) гласит (ср. (8.5)):Lгдеq ,dq ,tdt= L q(q , t ),dq, t(q , t )dt ∂qi dqkdqidqi (q , t )∂qidqi = dt ,=+,dtdtdtdt∂t∂qk dtk·dt,dt(9.8b) ∂t ∂qkdt(q , t )∂t= +.dt∂t∂qk dtk§ 10. Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле45В связи с этим необходимо сделать следующее замечание.
Если двесистемы движутся независимо друг от друга, то можно формально объединить их в одну систему, состоящую из независимых частей. При этом ихфункции Лагранжа достаточно сложить. Но нередко в дальнейшем возникает необходимость учесть взаимодействие. Например, движение двух планетпод действием притяжения Солнца задается лагранжианамиGM miLi = 1 mi vi2 −ri ,2i = 1, 2,или, если угодно, единым лагранжианом L = L1 + L2 (здесь M — массаСолнца, m1,2 — массы планет, r1,2 — их радиус-векторы, v1,2 = ṙ1,2 —их скорости, G — постоянная в законе всемирного тяготения Ньютона).Взаимодействие планет друг с другом учтем, если добавим к L лагранжианвзаимодействия: Lвз = −Gm1 m2 /|r1 − r2 |.
Очевидно, при заменах видаL → L = λL необходимо, чтобы множитель λ был одинаковым для всехслагаемых.§ 10. Функция Лагранжа для частицыв электромагнитном поле. Неоднозначностьвыбора функции ЛагранжаПусть частица с зарядом e находится в электромагнитном поле, заданном скалярным ϕ(r, t) и векторным A(r, t) потенциалами. Электрическоеи магнитное поля E и B связаны с потенциалами соотношениями∂∂ϕ 1 ∂A−, B(r, t) =,A ,(10.1)E(r, t) = −∂rc ∂t∂rгде c — скорость света. Нетрудно показать, что уравнения Лагранжа∂Ld ∂L=dt ∂v∂rсовпадают с известными уравнениями движенияmv̇ = eE +e[v, B],c(10.2)(10.3)если выбрать функцию Лагранжа в видеL(r, v, t) =1emv2 − eϕ + Av.2c(10.4)Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА46Для этого достаточно проверить, что x-компоненты уравнений (2) и (3)совпадают. Предоставим это читателю.В функции Лагранжа слагаемые 12 mv2 и eϕ — это обычные кинетическая и потенциальная энергии частицы, а последнее слагаемое (e/c)Av, линейное по скорости, не является ни кинетической, ни потенциальной энергией. Обобщенный импульсp=∂Le= mv + A.∂vc(10.5)Известно, что поля E и B, а следовательно, и уравнения движениячастиц в электромагнитном поле не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов, т. е. при замене1 ∂f,ϕ → ϕ = ϕ −c ∂t(10.6)∂f,∂rгде f = f (r, t) — произвольная функция координат и времени. В лагранжевом же формализме это приводит к тому, что потенциалам ϕ, A и ϕ , Aсоответствуют лагранжианы L и L , отличающиеся на полную производную по времени от функции ef /c:A → A = A +то значения действий S и S отличаются лишь величинами, не зависящимиот выбора пробной функции,t2S =t2L dt =t1t2Ldt +t1dFdt = S + F (q (2) , t2 ) − F (q (1) , t1 ),dtt1а потому совпадают и уравнения движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
