1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 8
Текст из файла (страница 8)
п. Если все эти ограничения выражаютсяусловиямиFα (r1 , . . . , rN , t) = 0, α = 1, . . . , n,(12.10)то говорят, что на систему наложены n голономных связей. Словом «голономные» отмечается, что в (10) не входят скорости. При этом подразумевается, что условия (10) выполняются за счет того, что на материальныеточки помимо прочих действуют силы реакции связей. Связи называютсяидеальными, если при любых смещениях точек, не нарушающих условия(10), суммарная работа всех сил реакции равна нулю. Напомним, что речьидет не о смещениях в процессе движения, а о смещениях, не нарушающихусловия (1), рассматриваемые при фиксированном значении времени.Пример с маятником показывает, что для системы с идеальными голономными связями можно сразу же выбрать обобщенные координаты с учетом связей и только через них выразить функцию Лагранжа.
При этом можно решать задачу о движении системы, исключив вопрос о силах реакциисвязей. Выгоду такого подхода при решении сложных задач трудно переоценить. Более подробно голономные и неголономные связи рассмотреныв Дополнении B.Рис. 17. К задаче 12.1Рис. 18. К задаче 12.212.2. Две частицы массы M и m связаны нитью длины l, пропущеннойчерез отверстие, причем частица массы M движется по гладкой горизонтальной плоскости, а частица массы m колеблется по вертикали в полетяжести (рис. 18). Найти функцию Лагранжа системы. Рассмотреть случай,когда частица массы M движется по траектории, близкой к окружности(т. е.
испытывая малые колебания по радиусу). Найти отношение частотымалых радиальных колебаний ωr к средней угловой скорости движения поокружности ϕ̇ и изобразить траекторию при условии M = 3m.12.3. Найти функцию Лагранжа и обобщенные импульсы для системы,изображенной на рис.
19 (двойной плоский маятник).Задачи12.1. Найти функцию Лагранжа, обобщенные импульсы и энергию длясистемы, изображенной на рис. 17. Брусок массы M может двигаться безтрения только вдоль горизонтальной прямой, грузик массы m может колебаться в вертикальной плоскости на стержне длины l. В качестве обобщен-Рис. 19. К задаче 12.3Рис. 20. К задаче 12.412.4. То же для системы, изображенной на рис. 20.
Система вращаетсяв поле тяжести вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω.Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА54§ 13. Циклические координаты. Энергия в лагранжевомподходеФункции обобщенных координат и скоростей, остающиеся постоянными при движении механической системы, называются интегралами движения. Наличие интегралов движения, как правило, существенно облегчаетинтегрирование уравнений движения.
Так, наличие интегралов движения —энергии в одномерном случае, энергии и момента импульса при движениичастицы в центральном поле — позволяет свести такие задачи к квадратурам.Связь интегралов движения с симметрией задачи будет рассмотренав следующем параграфе. Здесь же мы разберем два простых частных примера. Если функция Лагранжа не зависит от какой-либо обобщенной координаты или явным образом не зависит от времени, то сразу можно указатьпростые интегралы движения.13.1. Циклические координаты§ 13.
Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходеи перепишем ее, с учетом (2), в видеdL =dtidpidq̇iq̇i + pidtdtd∂L=+∂tdtpi q̇i+i∂L.∂t(13.3)E(t) =ipi q̇i − L = ∂Lq̇i − L,∂ q̇ii(13.4a)называемую энергией (при этом подразумевается, что в правой стороне (4a)стоят величины qi (t) и q̇i (t), соответствующие движению системы, т. е. Eесть функция времени). В итоге (3) можно переписать в видеdE(t)∂L=−.dt∂t(13.5)Если функция Лагранжа не зависит явно от времени(13.1)Тогда обобщенный импульс pk = ∂L/∂ q̇k , соответствующий циклическойкоординате, является интегралом движения, что сразу же следует из уравнения Лагранжаd ∂Ldpk∂L==(13.2)dtdt ∂ q̇k∂qkи равенства (1).Например, при движении в центральном поле функция Лагранжа (8.8)не зависит от ϕ и потому pϕ = mr2 ϕ̇ sin2 θ = const.13.2.
Энергия в лагранжевом подходеЕще один интеграл движения можно найти, если функция Лагранжане зависит явно от времени. Для этого вычислим полную производную отфункции Лагранжа по времени∂L dq̇idL ∂L∂Lq̇i +=+dt∂qi∂ q̇i dt∂tiВведем величинуПусть функция Лагранжа не зависит от обобщенной координаты qk(такую координату называют циклической):∂L= 0.∂qk55∂L= 0,∂tто E(t) = const.В нерелятивистском случае функция Лагранжа обычно содержит члены квадратичные L2 , линейные L1 и не зависящие L0 от обобщенных скоростей:L = L2 + L1 + L0 ,(13.6)1L2 =aik (q)q̇i q̇k ; L1 =bi (q)q̇i ; L0 = L0 (q, t).2iikЛегко убедиться прямым вычислением, что для такой функции Лагранжаэнергия равнаE = L2 − L0 ,(13.7)т. е. из лагранжиана квадратичные по скоростям слагаемые переходятв энергию без изменения, не зависящие от скоростей слагаемые изменяют знак, а линейные по скоростям — выпадают.В частности, лагранжиан частицы в электромагнитном поле (10.4) содержит слагаемыеL2 =1mv2 ,2eL1 = Av,cL0 = −eϕ,Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА56поэтому энергия1E = mv2 + eϕ,2т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.(13.8)13.3. Энергия в лагранжевом подходе и сумма кинетическойи потенциальной энергийЭнергия E, определенная формальным соотношением (4a), не всегдасовпадает с суммой T + U , вычисленной в инерциальной системе отсчета.Приведем простой пример такой ситуации.Рассмотрим математический маятник, которыйпредставляет собой грузик массы m, подвешенный в поле тяжести на жестком невесомом стержне длины l.Стержень вращается вокруг вертикальной оси с заданной постоянной угловой скоростью Ω, а маятник колеблется в вертикальной плоскости, вращающейся вместесо стержнем (рис. 21).
На грузик действует потенциальная сила тяжести mg, соответствующая потенциальнаяэнергияU = −mgl cos ϕ,Рис. 21. Маятник,который колеблется во вращающейся плоскостигде ϕ — угол отклонения маятника от вертикали вовращающейся плоскости. Кинетическая энергия грузикаравна57С другой стороны, данный пример представляет собой систему с однойстепенью свободы с идеальными голономными связями. Эти связи задаютрасстояние грузика от точки подвеса стержня и угол поворота в горизонтальной плоскости, так что обобщенная координата ϕ полностью определяет положение грузика.
При фиксированном значении времени t наложенныесвязи позволяют грузику двигаться только в неподвижной вертикальнойплоскости, а при таком движении работа сил реакции R⊥ равна нулю, такчто связи, действительно, являются голономными и идеальными. В такомслучае функция Лагранжа оказывается равнойL(ϕ, ϕ̇) = T − U = 1 ml2 (ϕ̇2 + Ω2 sin2 ϕ) + mgl cos ϕ.2Эта функция не зависит от времени, поэтому сохраняется энергия, равнаясогласно (7)∂Lϕ̇ − L = 1 ml2 (ϕ̇2 − Ω2 sin2 ϕ) − mgl cos ϕ.E=(13.10)2∂ ϕ̇Отметим, что слагаемое 1 ml2 Ω2 sin2 ϕ, отвечающее кинетической энергии,2связанной с вращением, вошло в выражение энергии со знаком «минус»,т. е. наша энергия (10) не равна сумме кинетической и потенциальной энергий T + U в инерциальной системе отсчета (9).
Мы увидим далее (см.§ 17.2), что E — это энергия во вращающейся системе координат.13.4. Неоднозначность определения энергииРассмотрим еще вопрос о неоднозначности энергии, связанный с неоднозначностью выбора функции Лагранжа. Пусть функции Лагранжа Lи L , различающиеся на полную производную по времени от произвольной функции F (q, t):T = 1 ml2 (ϕ̇2 + Ω2 sin2 ϕ).2Легко разобраться, почему в данном примере суммаT + U = 1 ml2 (ϕ̇2 + Ω2 sin2 ϕ) − mgl cos ϕ2§ 13. Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходеdF (q, t).dtМы отмечали в § 10, что соответствующие уравнения движения совпадают.Однако лагранжевы энергии E, определяемая формулой (4a), и ∂LE (t) =q̇i − L(13.4b)∂q̇iiL (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +(13.9)не сохраняется.
На грузик помимо потенциальной силы тяжести действуетеще и непотенциальная сила реакции R со стороны стержня. Составляющая этой силы вдоль стержня R ортогональна скорости грузика и не совершает работы, а составляющая R⊥ в поперечном к стержню направлении (заставляющая стержень вращаться с постоянной угловой скоростью)как раз и является той непотенциальной силой, которая ответственна занесохранение суммы T + U .оказываются, вообще говоря, различными:E (t) = E(t) −∂F (q, t).∂t58Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКАВ частности, если энергия E сохраняется, то E может оказаться зависящейот времени.Дополнительные обсуждения затронутых здесь вопросов можно найтив § 17, 18 и [3, задачи 4.13а, 4.15, 4.16].§ 14. Симметрия и интегралы движения. Теорема НётерУтверждения предыдущего параграфа представляют собой частноепроявление общего свойства механических (и не только механических!)систем — наличие интеграла движения является следствием определеннойсимметрии системы. Поясним это на двух ранее рассмотренных примерах.14.1.
ПримерыВ качестве первого примера рассмотрим движение частицы в центральном поле U (r). В этом случае сохраняется момент импульса частицы M. Наличие этого интеграла движения является следствием сферической симметрии рассматриваемой системы. В самом деле, в центральномполе функция Лагранжа (8.8a) не изменяется при повороте вокруг оси z,т. е. при преобразовании ϕ → ϕ + ε, где ε — произвольный угол поворота.Следствием этого является сохранение обобщенного импульса pϕ = Mz .Далее, в центральном поле направление оси z можно выбирать произвольно, что и приводит к сохранению вектора M.В качестве второго примера рассмотрим движение частицы в постоянном потенциальном поле U (r). В этом случае сохраняется энергия E == 12 mṙ2 + U (r). Наличие этого интеграла движения является следствиемтого, что функция Лагранжа L(r, ṙ, t) = 12 mṙ2 − U (r) не зависит от времени, т.
е. не изменяется при преобразовании t → t + ε, где ε — произвольныйсдвиг по времени.Рассмотрим теперь несколько более сложный пример движения заряженной частицы в поле бесконечной равномерно заряженной винтовой линии с шагом h. Выберем ось z вдоль оси винтовой линии. Данная системаобладает винтовой симметрией — ее функция Лагранжа не изменяется припреобразованияхϕ → ϕ + ε,z → z + h ε,2πгде ε — произвольный угол поворота вокруг оси z.
Если параметр ε мал, тоиз указанной симметрии следует, чтоδL = ∂L ε + ∂L h ε = 0.∂ϕ∂z 2π§ 14. Симметрия и интегралы движения. Теорема НётерИспользуя уравнения Лагранжа в форме (13.2):d ∂Ldpϕ∂Ld ∂Ldpz∂L==,==,∂ϕdt ∂ ϕ̇dt∂zdt ∂ żdtполучим из (1)d p + h p = 0,ϕz2πdtт. е. в рассматриваемом поле существует дополнительный интеграл движения (напомним, что pϕ = Mz )(14.2)Mz + h pz = const.2πВ этом примере отдельно Mz и pz не сохраняются, но сохраняется их комбинация (2).14.2. ОбобщениеТеперь уже не трудно понять, что если функция Лагранжа не изменяется в результате некоторого совместного сдвига по времени и координатам,то сохраняется какая-то определенная комбинация из энергии и обобщенных импульсов, хотя по отдельности обобщенные импульсы или энергиямогут и не сохраняться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
