1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Действительно, сечение рассеяния в интервал углов θm −δ < θ < θm ,Глава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА32§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда33Рис. 13. Траектория рассеяния в кулоновском поле U (r) = α/rРис. 12. Дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в поле U (r) =α=r 2 + a2равноеθmθm −δУгол ϕB можно найти из требования, чтобы r(ϕA ) = ∞ или −1 ++ e cos(π − ϕB ) = 0. Учитывая, чтоπ+θ,ϕB =22 1/22π dσ θ dθ = √πα δ,5/2dΩ2E 2 θmконечно и стремится к нулю при δ → 0. Такая особенность сечения называется радужным рассеянием (см.
[5, гл. 5, § 5]). Подобного типа особенностьсечения приводит к образованию радуги при рассеянии света каплями воды. Примеры радужного рассеяния см. также в задачах 3.8, 3.10 из [3].6.3. Формула РезерфордаРассмотрим упругое рассеяние частиц на кулоновском поле отталкивания U (r) = α/r. Типичная траектория движения частицы с энергией2E = mv∞/2 и прицельным параметром ρ изображена на рис. 13 в видегиперболы ABC, где точки A и C соответствуют начальному и конечномуучасткам траектории, а точка B — минимальному расстоянию траекторииот начала координат. В плоскости траектории (плоскости xy) введем полярные координаты r и ϕ, тогда уравнение траектории ABC принимает вид(ср. (3.6b))pr(ϕ) =,(6.10)−1 + e cos(ϕ − ϕB )где величины p и e определены в (3.4), (3.5), а ϕB — полярный угол точки B.Полярные углы ϕA и ϕC , отвечающие точкам A и C, и угол рассеяния θсвязаны с углом ϕB соотношениямиϕA = π,ϕC = 2ϕB − π = θ.222M = (mv∞ ρ) = 2mEρ ,2e =1+2Eρα2,находимρ(θ) = α ctg θ22Eи дифференциальное сечение рассеяния2dσ = α1.4EdΩsin4 (θ/2)(6.11)(6.12)Это сечение быстро убывает с ростом угла рассеяния θ (рис.
14). Легкопроверить, что формула (12) справедлива не только для кулоновского поляотталкивания U (r) = α/r, но и для кулоновского поля притяжения U (r) == −α/r. При малых углах рассеяния результат (12) совпадает с формулой (8).Задачи6.1. Определить сечение падения частиц, имеющих на бесконечностискорость v∞ , на поверхность Земли (радиус Земли равен R, ускорение свободного падения на поверхности Земли равно g).6.2. Найти сечение падения частиц в центр поляβU=αr − r2 .Как изменится ответ при изменении знака α?Глава I.
НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА34§ 7. Теорема о вириале35Теорема о вириале утверждает, что2T = W ;(7.2)а если дополнительно потенциальная энергия является однородной функцией степени n, т. е. еслиU (λr1 , λr2 , . . . , λrN ) = λn U (r1 , r2 , . . . , rN ),тоT =Рис. 14. Дифференциальное сечение рассеяния в кулоновском поле U (r) = ±α/r6.3. Определить дифференциальное эффективное сечение рассеяниячастиц на абсолютно упругом неподвижном шаре радиуса R.6.4. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц (E V ) в поле⎧ 2⎨rV 1− 2при r < R,U (r) =R⎩0при r > R.§ 7.
Теорема о вириалеРассмотрим систему из N частиц, движение которых совершаетсяв ограниченной области и с ограниченными скоростями. В этом случае длялюбой динамической величины F , зависящей от координат и скоростейчастиц, можно определить ее среднее за большой промежуток времени τзначение:t0 +τ1F dt.F = τn E,n+2(7.4)dFdt= τ1t0 +τdF dt = F (t0 + τ ) − F (t0 ) → 0 при τ → ∞.τdt(7.5)t0B) Если потенциальная энергия U является однородной функцией координат и удовлетворяет соотношению (3), то, согласно теореме Эйлера ободнородных функциях,N∂U r = n U.(7.6)a∂raa=1Чтобы доказать это утверждение, достаточно продифференцировать равенство (3) по λ, а затем положить λ = 1.Рассмотрим теперь кинетическую энергию системы частицT = 1ma va2 .2Na=1Оказывается, существуют определенные связи между средним значениемпотенциальной энергии U = U (r1 , r2 , .
. . , rN ), средним значением кинетической энергии T и полной энергией E = T + U .Назовем вириалом системы частиц величинуa=12 E.n+2Переходя к доказательству этой теоремы, приведем вначале два вспомогательных математических утверждения:A) Если F (t) — ограниченная функция, тоt0N∂U r .W =a∂raU =(7.3)Перепишем ее в виде2T =Npa vaa=1и, используя уравнения движения(7.1)dpa= − ∂U ,dt∂ra(7.7)Глава I.
НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА36dpara = d (pa ra ) + ∂U ra .pa va = d (pa ra ) −dtdtdt∂raПодставим затем это соотношение в (7). Усредняя полученное таким образом выражение, найдемNdpa ra + W .2 T =dta=1Если теперь учесть утверждение (5), то немедленно получим формулу (2).С другой стороны, если потенциальная энергия является однороднойфункцией координат, то теорема Эйлера (6) позволяет переписать (2) в видесоотношения2T = W = n U .Учитывая далее, что T + U = E, получаем соотношения (4).Приведем примеры применения теоремы о вириале.Поле изотропного осциллятора U (r) = kr2 /2 является однороднойфункцией с n = 2, поэтому2(7.8)причем под усреднением в данном случае можно понимать усреднение запериод колебаний.Кулоновское поле U (r) = −α/r является однородной функцией с n == −1, поэтому при движении по эллипсу (при E < 0)T = − 1 U = −E,2(7.9)причем и в этом случае под усреднением можно понимать усреднение запериод обращения.Интересно рассмотреть применения теоремы о вириале к задаче обэволюции протозвезды.
Простейшая модель протозвезды — облако одноатомного нейтрального газа большой массы, удерживаемое собственнымгравитационным притяжением. Для такой звезды справедливы соотношения (9). Кинетическая энергия частиц связана с температурой газа Tг известной формулой T = 3N kTг/2, где N — число частиц в звезде и k —постоянная Больцмана. Энергия звездыE = −T = − 3 N kTг ,237и потому ее теплоемкость C = dE/dTг = −3N k/2 отрицательна. Этоозначает такую интересную особенность эволюции звезды: при учете излучения ее энергия убывает, а температура возрастает (см. [6, § 21]).преобразуем слагаемое pa va следующим образом:T = U = 1 E,§ 7.
Теорема о вириалеЗадача7.1. Найти среднюю за большой период времени кинетическую энергию частицы, движущейся в поле U (r) = V ln (r/a).§ 8. Уравнения ЛагранжаОказывается, что если сделать такую замену в лагранжианеdx(q, t), t ≡ L (q, q̇, t),L x(q, t),dtто уравнение движения можно представить в видеГЛАВА IIЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА∂Ld ∂L=,dt ∂ q̇∂q8.1. Уравнения Лагранжа для нерелятивистской частицыв потенциальном поле — ковариантная запись уравненийНьютонаДо сих пор движение материальной точки (или частицы) рассматривалось на основе уравнений Ньютона.
В этой главе мы дадим другую,лагранжеву форму этих уравнений, обладающую целым рядом преимуществ. Данный параграф является вводным, поэтому, не стремясь сразук полной общности записи и определений, начнем с одномерного движения. Для движения частицы массы m вдоль прямой x в потенциальном поле U (x, t) уравнение Ньютона (в некоторой инерциальной системе отсчета)имеет вид∂U (x, t).(8.1)mẍ = −∂xВведем функцию трех переменных x, ẋ, t, равную разности кинетической и потенциальной энергий:1mẋ2 − U (x, t).2(8.2a)(8.6a)8.2. Обобщенные координаты и импульсыПрямой проверкой легко убедиться, что если для системы N материальных точек в декартовых координатах взять функцию Лагранжа в видеразности кинетической и потенциальной энергий в некоторой инерциальной системе отсчета1ma ṙ2a ,2 a=1NL = T − U (r1 , r2 , . .
. , rN , t);T =(8.2b)то второй закон Ньютона запишется в видеd ∂L = ∂L ,dt ∂ ṙa∂raa = 1, 2, . . . , N.(8.3b)Аналогично одномерному случаю функция Лагранжа (2b) заменойra = ra (q1 , . . . , q3N , t)Ее называют функцией Лагранжа или лагранжианом. Уравнение (1) можнопредставить в видеd ∂L = ∂L .(8.3)dt ∂ ẋ∂xЭто уравнение и называется уравнением Лагранжа. Оно не имеет нового,по сравнению с уравнением Ньютона (1), физического содержания.
Однако такая форма уравнения движения удобна, в частности, для перехода отдекартовых координат x к любым другим координатам q, т. е. к заменеx = x(q, t).(8.5)совпадающем по форме с (3). Независимость вида уравнений движения,выраженных через функцию Лагранжа, от выбора координат и называетсяих ковариантностью. Это свойство уравнений Лагранжа легко проверитьпрямым вычислением (см. задачу 4.3 из [3]). Другое доказательство будетприведено в § 9.§ 8. Уравнения ЛагранжаL(x, ẋ, t) =39(8.4)может быть выражена через 3N других координат qi и их производных q̇i(называемых обобщенными координатами и обобщенными скоростями):L(q1 , .
. . , q3N , q̇1 , . . . , q̇3N , t).Тогда уравнения Лагранжа имеют вид (здесь и далее для упрощения записибуквы q и q̇ без индекса обозначают весь набор обобщенных координати скоростей)d ∂L(q, q̇, t)∂L(q, q̇, t)=,dt∂ q̇i∂qii = 1, 2, . . . , 3N.(8.6b)Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА40При этом переходы к криволинейным координатам, координатам в неинерциальных системах отсчета, «коллективным» координатам групп частиц(скажем, описывающим движение их центра масс и относительное движение) и т.
п. математически оказываются совершенно одинаковыми и делаются по стандартной процедуре.Кроме обобщенной скорости q̇i вводится также обобщенный импульс,соответствующий координате qi и определяемый соотношениемpi ≡∂L.∂ q̇i(8.7)Если qi — декартова координата, например, qi = x, то обобщенный импульсpi = mẋ совпадает с x-й компонентой обычного импульса. В общем жеслучае обобщенная координата не обязательно имеет размерность длины,соответственно, обобщенный импульс не обязательно имеет размерностьпроизведения массы на скорость.Рассмотрим, например, движение частицы в центральном поле.
В этомслучае удобно выбрать в качестве обобщенных координат сферические координаты r, θ, ϕ, при этом1L=1m(ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 θ) − U (r),2pr = mṙ,pθ = mr2 θ̇,pϕ = mr2 ϕ̇ sin2 θ.2p2 = p2r + M2 ,rpϕ = M z ,p2θ +p2ϕsin2 θ41§ 9. Принцип наименьшего действия9.1. Принцип Гамильтона. Ковариантность уравнений Лагранжаотносительно замены координатУравнения Лагранжа имеют прямое отношение к определенной математической задаче — задаче вариационного исчисления (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
