1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Во-первых, можно рассматривать этотГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА66переход просто как замену переменных (1), в этом случае новая функцияЛагранжа равна2L1 (r , v , t) = L(r, v) = 1 m (v ) − mv V + 1 m V2 − U (r + Vt ). (16.4)22Для обобщенных импульсов и энергий в этих двух системах отсчета получаем соотношения:p1∂L1== m (v + V) = p;∂v2E1 = p v − L1 = 1 m (v ) + U − 1 m V2 = E − Vp.22(16.5a)(16.5b)Во-вторых, можно учесть, что K — инерциальная система, и выбратьфункцию Лагранжа в виде разности кинетической и потенциальной энергий в системе K :L2 (r , v , t)2= 1 m (v ) − U (r + Vt ).2(16.6)Функция Лагранжа L2 отличается от L1 на полную производную по времени от функцииF (r , t) = −mr V + 1 m V2 t2и приводит к тем же уравнениям Лагранжа, что и функция L1 (r , v , t)(см. § 13). Однако законы преобразования обобщенных импульсов и энергий имеют другой вид, чем в (5):p2 =∂L2= mv = p − mV,∂v2E2 = 1 m (v ) + U = E − Vp + 1 m V2 .22(16.7a)(16.7b)Два выражения энергии E1 и E2 отличаются на постоянную.Мы уже отмечали в § 13, что энергии E и E могут иметь различнуюзависимость от времени.
Рассмотренный переход от одной инерциальнойсистемы отсчета к другой позволяет проиллюстрировать это утверждение,используя простой поучительный пример — движение шарика внутри ящика с абсолютно упругими стенками. Пусть ящик покоится в системе K,§ 17. Неинерциальные системы отсчета67тогда скорость движения шарика изменяется при соударениях со стенкамиящика только по направлению, но не по величине, и энергия E сохраняется.Но в системе K скорость шарика при соударениях с движущейся стенкойизменяется не только по направлению, но и по величине, поэтому энергия E , определенная или соотношением (5b) или соотношением (7b), несохраняется.§ 17.
Неинерциальные системы отсчетаНередко бывает удобно использовать системы отсчета, которые связаны с телами, движущимися с ускорением в инерциальной системе отсчета, — неинерциальные системы отсчета. Переход к координатам, отсчитываемым относительно таких тел, сводится просто к замене координатв функции Лагранжа. Неинерциальными являются, в частности, системыотсчета, связанные с Землей.17.1. Система отсчета, движущаяся поступательноЕсли скорость V(t) = Ṙ(t) не является постоянной, то система K (рис. 22) уже не является инерциальной.
Функцию Лагранжа в неинерциальной системе K выбираем равной (16.2):2L (r , ṙ , t) = m (ṙ + V(t)) − U (R(t) + r ),2(17.1)уравнения движения в системе K таковыmr̈ = − ∂U − mW,∂r(17.2)где W = V̇(t) — ускорение системы K . Изменение уравнений движенияпри переходе к системе отсчета K сводится к тому, что к силе, действующей на частицу, добавляется сила инерции 6, равная (−mW).На космической станции действующая на космонавта сила инерции,обусловленная ускоренным движением станции в поле тяжести Земли, какраз компенсирует действующую на космонавта силу тяжести — возникаетневесомость.6 В рамках ньютоновской механики силы инерции отличаются от обычных сил, которыевозникают в результате взаимодействия тел, тем что силы инерции возникают «сами по себе»(при переходе к неинерциальной системе отсчета).
Поэтому к ним не удается применить третий закон Ньютона («действие равно противодействию»). Однако это никак не сказывается нарешении задачи о движении тел.Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА68В системе отсчета, начало которой связано с центром Земли, а осиориентированы по звездам, силы, с которыми действуют Солнце и Луна,скомпенсированы силами инерции для тех частиц, которые расположеныв центре Земли. Для частиц, находящихся на поверхности Земли, полнойкомпенсации нет. Нескомпенсированная часть составляет приливные силы.§ 17. Неинерциальные системы отсчетаВ E помимо кинетической и потенциальной энергий содержится слагаемое1− m [Ω, r ]2 ,2называемое центробежной энергией.
Связь E с энергией E в системе Kнайдем, используя (3) и (5):17.2. Вращающаяся система отсчетаE = pv − L = p (v + [Ω, r ]) − L = E + ΩM .Пусть система отсчета K (x , y , z ) вращается с угловой скоростьюΩ = Ω(t) относительно инерциальной системы K(x, y, z) и их начала отсчета совпадают. Ясно, что радиус-вектор r, задающий положение материальной точки в системе K, совпадает с радиус-вектором r , определяющимположение этой же точки в системе K , хотя компоненты этих векторовx, y, z и x , y , z , вообще говоря, не совпадают.Если частица неподвижна в системе K , то в системе K ее скоростьv = [Ω, r] = [Ω, r ]r = r ,v = v + [Ω, r ].(17.3)Функция Лагранжа L (r , v , t) для частицы во вращающейся системеотсчета получается из функции Лагранжа (16.2) заменой переменных (3):L (r , v , t) =112m (v ) + mv [Ω, r ] + m [Ω, r ]2 − U (r ).22∂Ld ∂L=.dt ∂v∂rЭти уравнения после простой перегруппировки имеют вид∂Udv= − + 2m[v , Ω] + m[Ω, [r , Ω]] + m[r , Ω̇].dt∂r∂L= m (v + [Ω, r ]) ,∂vM = [r , p ].2m[v , Ω],центробежная сила инерцииm[Ω, [r , Ω]](17.4)и сила инерции(17.5)Учитывая (3) и (5), находим связь p и M с аналогичными величинамив системе K:(17.6)p = p, M = M.Для энергии E в системе K имеемE = p v − L =112m (v ) + U (r ) − m [Ω, r ]2 .22(17.9)Помимо обычной потенциальной силы −∂U/∂r в правой стороне этогоуравнения содержатся слагаемые — силы инерции, обязанные своим происхождением неинерциальности системы отсчета.
Это кориолисова силаОтсюда получаем обобщенный импульс и момент импульса:p =(17.8)Уравнения движения во вращающейся системе — это уравненияЛагранжа для новых координатm(ср. (15.3)). Если же и в системе K частица движется со скоростью v , то,добавляя эту скорость к [Ω, r ], имеем окончательно69m [r , Ω̇],обусловленная неравномерностью вращения.В системе отсчета, связанной с Землей, силы инерции проявляютсяв крупном масштабе в отклонении направления ветра (в северном полушарии вправо, в южном — влево), морских течений, течения больших рек.Обратим внимание на задачи 9.22 и 9.25 из [3], в которых переходк вращающейся системе отсчета оказывается естественным.17.3.
Теорема Лармора(17.7)Переход во вращающуюся систему отсчета оказывается весьма эффективен в следующей задаче. Рассмотрим финитное движение заряженнойГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА70частицы в потенциальном поле U (r). Пусть дополнительно имеется однородное постоянное магнитное поле B. Как будет выглядеть движениечастицы в этом случае? Если магнитное поле мало, нетрудно получить достаточно общий результат, известный под названием теоремы Лармора.Запишем функцию Лагранжа рассматриваемой задачи L в инерциальной системе отсчета K:L=1emv2 − U (r) + vA(r),2c(17.10)где e — заряд частицы, а A(r ) — векторный потенциал, который можетбыть выбран в виде(17.11)A(r) = 1 [B, r].2Рассмотрим теперь это же движение в системе отсчета K , которая вращается с постоянной угловой скоростью Ω по отношение к системе K.
Соотношение между радиус-векторами r и r и скоростями v и v в системахотсчета K и K дается формулами (3). Подставив эти выражения в (10), мыполучим лагранжиан нашей задачи L в системе отсчета K :L =1e2m (v + [Ω, r ]) − U (r ) +(v + [Ω, r ]) · [B, r ].22cЕго можно представить в виде1L0 = m(v )2 − U (r ),2(17.12)e 1ev [B, r ] + m[Ω, r ]2 + [Ω, r ] · [B, r ].2c22cЕсли выбрать для Ω значение (называемое ларморовской частотой)ΩL = −eB,2mc(17.13)то величины первого порядка по полю B точно сократятся и δL окажетсявеличиной второго порядка:δL = −e22[B, r ] .28mc(17.14)71Отсюда видно, что если магнитное поле является достаточно малым, тослагаемое δL мало (при финитном движении частицы!) и им можно пренебречь. Таким образом, движение частицы в системе отсчета K определяется только потенциальным полем U (r ).В качестве примера рассмотрим движение заряженной частицы в кулоновском поле U (r) = −α/r и малом однородном и постоянном магнитномполе B при энергии E < 0.
При переходе к системе отсчета K орбитачастицы представляет собой обычный эллипс. А все влияние слабого магнитного поля в исходной системе отсчета K сводится к прецессии этогоэллипса вокруг направления поля B с ларморовской частотой (13). Приэтом и момент импульса частицы также прецессирует вокруг направлениямагнитного поля.§ 18. Эффективная функция Лагранжадля электромеханических системУменьшение числа рассматриваемых координат с сохранением лагранжевой формы уравнений возможно не только за счет идеальных голономных связей. Приведем другой, менее очевидный пример. Движение столбика жидкости в вертикальной U -образной трубке (рис. 23) можно исследовать, основываясь на функции ЛагранжаL=L = L0 + δL ,δL = mv [Ω, r ] +§ 18.
Эффективная функция Лагранжа для электромеханических системmgx21mẋ2 −,2l(18.1)где m — масса, l — длина столба жидкости, x — высота уровня в одномколене, отсчитанная от положения равновесия. При этом мы отвлекаемсяот возможности отклонения формы поверхности жидкости от плоской, оттрения и т.
д.Еще пример. Рассмотрим малые колебания грузика массы M , подвешенного на пружинке жесткости k и массы m в поле тяжести. Если пренебречьмассой пружинки,то частота малых колебаний грузика ω0 = k/M . Считая пружинку однородной, найдем поправку к частоте колебаний, обусловленнуюучетом малой массы пружинки, m M . Пружинка представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Однако в интересующем нас Рис. 23. Трубка с жиддвижении она испытывает только такие растяжения костьюГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА72и сжатия, которые могут быть описаны заданием всего одной величины —длины пружинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
