1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В этом случаепервое из найденных колебаний представляет собой движение по часовой стрелке по эллипсу с большой осью, направленной вдоль оси x, а второе — в обратном направлении по эллипсу с большой осью, лежащей вдольоси y (подробнее об этом случае можно прочитать, например, в задаче 6.36из [3]). Свободное движение осциллятора представляет собой суперпозицию найденных колебаний. Эти колебания можно назвать нормальными,обобщая тем самым понятие нормального колебания: движения в направлениях осей x и y происходят с одной и той же частотой, но со сдвигом фаз.Привести функцию Лагранжа к диагональному виду с помощью линейного преобразования только координат невозможно (переход к нормальнымкоординатам связан в этом случае с каноническим преобразованием — см.задачи 11.7 и 11.9 из [3]).На рис. 33 показана траектория движения частицы для второго варианта.
Устойчивость колебания вблизи максимума потенциальной энергиив этом случае обеспечивается достаточно большой силой Лоренца.Если условия (3) или (4) не выполнены, то по крайней мере один из2перестает быть положительным и соответствующее решениекорней ω1,2отвечает уходу частицы от начала координат (рис. 34).23.3. Частица внутри гладкого вращающегося параболоида в полетяжести(23.3)(при этом потенциальная энергия имеет минимум в точке x = y = 0);2) либо приkx < 0, ky < 0(23.4a)Рассмотрим гладкий параболоид2y2z= x + ,2a 2bГлава III. КОЛЕБАНИЯ98§ 23. Колебания при наличии гироскопических сил99Рис.
34. Частица покидает седловую точку потенциальной энергии, двигаясь примерно по линии уровняРис. 33. Гироскопические силы не дают частице упасть с потенциального холмавращающийся вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью Ω. Ускорение силы тяжести g = (0, 0, −g). Найдем, при каком значении Ω нижнее положение неустойчиво для частицы, находящейся внутрипараболоида.Пусть r и v — радиус-вектор и скорость частицы во вращающейсясистеме координат.
Функция Лагранжа в этой системе равнаL(r, v) = m (v + [Ω, r])2 + mg r =2 2y2mx222=.(ẋ − Ωy) + (ẏ + Ωx) + ż − g a +2bДля малых колебаний можно опустить слагаемое mż 2 /2, тогда уравнениядвижения отличаются от уравнений движения в § 23.2 лишь заменамиgkx2m → a −Ω ,kyg2m → b −Ω ,ωB → 2Ω.Теперь легко убедиться, что движение вблизи начала координат будетустойчивым при gg22− Ω > 0,a −Ωbа при выполнении условияgg22− Ω <0a −Ωbчастица уходит от начала координат. Считая для определенности a > b,получаем область неустойчивостиgg2a < Ω < b.Обратим внимание на то, что при Ω2 > g/b движение устойчиво, хотяпотенциальная энергия во вращающейся системе отсчетаg 2 mgm22U =−Ω −a x −Ω −y222bГлава III. КОЛЕБАНИЯ100§ 24.
Колебания симметричных систем101представляет не потенциальную яму, а потенциальный горб. Устойчивостьв этом случае обеспечивается действием силы Кориолиса.23.4. Точки Лагранжа в Солнечной системеИнтересный пример проявления гироскопических сил — движениегрупп астероидов под воздействием Солнца и Юпитера вблизи так называемых точек Лагранжа3 .
Будем для простоты представлять орбиту Юпитера окружностью. В системе отсчета, вращающейся с такой же угловойскоростью, с какой Юпитер движется вокруг Солнца, и с центром в центре тяжести системы Солнце–Юпитер на астероид действуют потенциальные силы притяжения к Солнцу и Юпитеру и центробежная сила инерции.Точками Лагранжа называют такие точки, в которых сумма этих сил равна нулю.
Две таких точки движутся по орбите Юпитера на 60◦ впередии позади него. Иначе говоря, Солнце, Юпитер и точка Лагранжа образуютправильный треугольник.Потенциальная энергия как функция координат, определяющих положение в плоскости орбиты, имеет вблизи этих точек Лагранжа максимум. Однако движение астероида вблизи них оказывается устойчивым из-завлияния кориолисовой силы.Вблизи указанных точек Лагранжа, действительно, наблюдаются скопления астероидов, называемые «греками» и «троянцами».§ 24. Колебания симметричных системМногие системы — механические и электротехнические устройства,кристаллическая решетка твердого тела, молекулы и т.
д. — обладают теми или иными свойствами симметрии. Приведем примеры симметричныхмолекул. Линейная молекула CO2 (рис. 35) не изменяется при повороте на180◦ вокруг оси y. Плоская молекула C2 H4 (рис. 36) не изменяется приповоротах на 180◦ вокруг оси x или вокруг оси y, при зеркальном отражении в плоскости xz или в плоскости yz. Плоская молекула хлорида бораBCl3 (рис. 37) не изменяется при повороте на 120◦ или 240◦ вокруг оси z.Эти свойства молекул находят свое отражение в специфике собственныхколебаний молекул и, соответственно, в спектрах излучения, поглощенияи комбинационного рассеяния света. Последовательное рассмотрение таких свойств симметрии проводится с помощью теории групп. Здесь мы дадим доказательство только нескольких полезных свойств систем с простойсимметрией.3 Подробнееоб этом можно прочитать, например, в задаче 9.27 из [3].Рис. 35.
Молекула CO2Рис. 36. Молекула C2 H4Рис. 37. Молекула BCl3Пусть система, совершающая линейные колебания (а следовательно,и ее функция Лагранжа L(x, ẋ, t)), не изменяет своего вида при заменеx → Ŝ x,ẋ → Ŝ ẋ,(24.1)причем постоянные коэффициенты Sij , образующие матрицу Ŝ, удовлетворяют условиям4Ŝ = Ŝ T , Ŝ Ŝ = Ê.(24.2)Мы будем говорить, что система обладает симметрией S. Оказывается, собственные колебания такой системы также обладают определенными свойствами симметрии.Пусть x = A cos(ωt + ϕ) — какое-либо нормальное колебание.
Таккак замена x → Ŝx не изменяет лагранжиана и, следовательно, уравненийдвижения, то Ŝx также есть нормальное колебание с той же самой частотой.Отсюда вытекает следующее:а) если данная частота невырождена, то Ŝx может отличаться от xлишь общим множителем, т. е. Ŝx = λx. Так как Ŝ Ŝ = Ê, тоŜ Ŝx = λŜx = λ2 x = x,или λ = ± 1. Таким образом, колебание x = A cos(ωt + ϕ), частота которого невырождена, является либо симметричным ŜA = A, либо антисимметричным ŜA = −A относительно преобразования S;б) если данная частота вырождена, то Ŝ x может отличаться от x нетолько общим множителем. Но сумма и разность этих двух решенийx ± Ŝx = (A ± ŜA) cos(ωt + ϕ)4 УсловиеŜ Ŝ = Ê или j Sij Sjk = δik означает, что при двукратном преобразованиисистема возвращается в исходное состояние.
Таким свойством обладают преобразования, рассмотренные выше для примеров на рис. 35 и 36. Напротив, в последнем примере, на рис. 37,двукратное применение поворота на 120◦ не возвращает систему в исходное состояние.Глава III. КОЛЕБАНИЯ102также будут нормальными колебаниями с той же самой частотой, причемсумма является симметричным, а разность — антисимметричным колебанием относительно преобразования S;в) пусть на систему действует внешняя сила F(t), симметричная относительно данного преобразования:ŜF(t) = +F(t).Если xa — антисимметричное колебание, т.
е. Ŝxa = −xa , тоŜ F(t), Ŝ xa = −(F(t), xa ).в силу свойств (2). Отсюда получаем (F(t), xa ) = 0, т. е. проекция силы наданное колебание равна нулю и поэтому симметричная сила не влияет наантисимметричные колебания (ср. § 21). Аналогично можно показать, чтоантисимметричная сила не влияет на симметричное колебание.Простой пример. Две одинаковые частицы соединены одинаковымипружинками и могут двигаться только вдоль прямой AB (рис. 38).
Пусть x1и x2 — смещения частиц из положения равновесия. Система не изменяетсяпри повороте на 180◦ вокруг оси y, т. е. лагранжиан системы1k 2m(ẋ21 + ẋ22 ) −x1 + (x1 − x2 )2 + x2222не изменяется при замене x1−x20 −1x=→ Ŝ x =, Ŝ =.x2−x1−1 0Легко проверить, что матрица Ŝ удовлетворяетусловиям (2). Значит, все колебания этой системы непременно будут либо симметричными, Ŝ xs = +xs , либо антисимметричными, Ŝ xa = −xa .
Этих требованийв данном случае достаточно для определения вида нормальных колебаний (рис. 39): 1xs =a cos(ωs t + ϕs ),−1 s 1xa =a cos(ωa t + ϕa ).1 aС другой стороны, Ŝ F(t), Ŝ xa = F(t), Ŝ T Ŝ xa = + (F(t), xa )L=§ 25. Колебания молекул(24.3)Предположим теперь, что точки A и B одновременно движутся по закону xA = xB = b cos(γt + ϕ). Этозначит, что на систему воздействует внешняя сила 1F(t) =k b cos(γt + ϕ).1103Рис.
39. Векторынормальных колебаний системы,изображенной нарис. 38Сила эта антисимметрична: Ŝ F(t) = −F(t), вектор силы направлен по xaи ортогонален xs . Поэтому данная сила не влияет на симметричное колебание и вызывает резонансную раскачку лишь антисимметричного колебания(при γ → ωa ).Более сложные и содержательные примеры, касающиеся колебаниймолекул, изображенных на рис. 35–37, можно найти в [3, задачи 6.46, 6.48,6.50а].Задачи(24.4)24.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
