1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Найти нормальные координаты системы четырех одинаковых частиц на кольце (рис. 40). Указание: удобно воспользоваться свойствами симметрии и взаимной ортогональности нормальных колебаний.24.2. Найти нормальные колебания системы четырех частиц на кольце(рис. 41).§ 25. Колебания молекулРис. 38. Простая симметричная системаМолекула из N атомов имеет 3N степеней свободы, соответствующих3N компонентам радиусов векторов атомов r1 , r2 , .
. . , rN . При нахожденииГлава III. КОЛЕБАНИЯ104§ 25. Колебания молекул105малые колебания молекулы описываются функцией ЛагранжаNNua , k̂ab ub ,L(u, u̇) = 1ma u̇2a − 122a=1(25.4)a,b=1где k̂ab — матрица жесткостей. Среди решений уравнений ЛагранжаРис. 40. К задаче 24.1ma üa +Рис. 41. К задаче 24.2Nk̂ab ub = 0(25.5)b=1нормальных колебаний молекулы следует исключить поступательное движение и вращение молекулы как целого5 . Поступательное движение молекулы можно исключить, перейдя в систему центра инерции, в которойкоординаты атомов связаны условиемNma ra = 0,помимо решенийx(α) = (u1 , . .
. , uN ),отвечающих нормальным колебаниям с ненулевыми частотами ωα , естьтакже решения с частотой ω0 = 0, отвечающие движению молекулы какцелого со скоростью V:(25.1)x(0) = (Vt, . . . , Vt).a=1где ma — масса a-го атома. Пусть ua — смещение a-го атома из положенияравновесия, определяемого радиусом вектором ra0 , тогдаra = ra0 + ua ,ṙa = u̇a .(25.6)(25.2)(25.7)Соотношение ортогональности в метрике масс (20.5a) решений (6) и (7)имеет видNVt ·ma ua = 0,a=1Поскольку в положении равновесияNа из произвольности вектора V как раз и следует условие (3).Вращение молекулы как целого можно исключить, требуя, чтобы момент импульса молекулы был равен нулю.
Проще, однако, получить решение уравнений (5), отвечающее малому повороту молекулы как целого наугол ε = Ω δt:(25.8)x(0) = ([ε, r10 ], . . . , [ε, rn0 ]),ma ra0 = 0,a=1то условие (1) перепишется в видеNma ua = 0.(25.3)и снова использовать соотношение ортогональности (20.5a) для полученного решения и нормального колебания (6):a=1NЭто же условие можно получить, используя известные нам соотношения ортогональности нормальных колебаний (см. § 20). Действительно,5 Движениеэлектронов и ядер в молекуле определяется не классической, а квантовой механикой. Тем не менее, после усреднения по быстрому движению электронов можно в определенном приближении рассматривать колебательное движение ядер как классическое.[ε, ra0 ] · ma ua = 0a=1илиε·Na=1ma [ra0 , ua ] = 0.Глава III.
КОЛЕБАНИЯ106Отсюда в силу произвольности вектора ε следует условиеNma [ra0 , ua ] = 0.(25.9)a=1Для любых молекул, кроме линейных, два векторных условия (3) и (9)отвечают шести идеальным голономным связям, поэтому число нормальных колебаний (с ненулевыми частотами) таких молекул равно 3N − 6.Для линейной молекулы, атомы которой расположены, скажем, вдоль оси z,условие (9) приводит лишь к двум идеальным голономным связям для x и yкомпонент векторов ua , поэтому число нормальных колебаний линейноймолекулы равно 3N − 5.Задачи25.1.
Найти нормальные колебания линейной симметричной молекулыCO2 (см. рис. 35). Предполагается, что потенциальная энергия молекулызависит только от расстояний O–C и C–O и от угла OCO.25.2. Классифицировать собственные колебания молекулы этиленаC2 H4 по их свойствам симметрии относительно осей x и y (см. рис. 36).В положении равновесия все атомы молекулы расположены в одной плоскости.§ 26. Колебания линейных цепочекВ этом и следующем параграфах мы рассмотрим простые примерыцепочек частиц, соединенных пружинками. Это простейшие модели, используемые в теории твердого тела. Движение атомов в твердом теле описывается квантовой механикой.
Однако возникающие при решении задачо классических цепочках понятия оказываются весьма полезными и в квантовой теории. Электрические аналоги таких цепочек — искусственные линии, состоящие из конденсаторов и индуктивностей, — находят применениев радиотехнике.26.1. Уравнения движения и граничные условияПусть N одинаковых частиц массы m каждая соединены одинаковымипружинками жесткости k и находятся в равновесном состоянии на расстоянии l друг от друга, так что координата Xn = n · l. Концы цепочки закреплены в точках A и B (рис.
42). Если длина пружинки в нерастянутом§ 26. Колебания линейных цепочек107состоянии равна l0 , то натяжение каждой пружинки равно f = k(l − l0 ).Мы будем рассматривать малые колебания частиц только в направленииоси y (возможные при этом смещения в направлении оси x оказываютсямалыми второго порядка и ими можно пренебречь). Пусть yn — смещениеиз положения равновесия n-й частицы вдоль оси y.
Возвращающая сила,действующая на n-ю частицу со стороны n-й пружинки, равнаFn = −f sin α = −fyn − yn−1l(рис. 43). В итоге функция Лагранжа для цепочки оказывается равнойL=NN +1m 2f ẏn −(yn − yn−1 )2 ,2 n=12l n=1(26.1)где для удобства записи потенциальной энергии мы ввели фиктивные смещения концов цепочки y0 и yN +1 и положилиy0 ≡ 0,yN +1 ≡ 0.(26.2)Рис. 42. Цепочка с закрепленными концамиРис. 43. К вычислению силы, действующей на n-ю частицу со стороны n-й пружинкиУравнения Лагранжа имеют видÿn + ω02 (2yn − yn−1 − yn+1 ) = 0,где обозначено ω0 = f /(ml).n = 1, 2, . . . , N,(26.3)Глава III. КОЛЕБАНИЯ10826.2. Бегущие волныРешение задачи о колебаниях этой системы по общим правилам (см.§ 19) было бы слишком громоздко.
Удобнее воспользоваться другим приемом. Из физических соображений можно предвидеть, что нормальными колебаниями должны быть стоячие волны. Удобно, однако, начать изучениесистемы уравнений (3), не обращая внимания на граничные условия (2)и считая число частиц неограниченным. Тогда система уравнений (3) описывает бесконечную цепочку, для которой легко найти решения в виде бегущих волн.Будем искать гармонические решения для бесконечной цепочки в видеyn (t) = Re eiωt f (Xn ) , Xn = n · l,(26.4a)где функция f (Xn ) соответствует амплитуде колебаний n-й частицы. Таккак при сдвиге на l вдоль оси x функция Лагранжа бесконечной цепочки неизменяется, можно надеяться, что функцияRe eiωt f (Xn + l)(26.4b)также является гармоническим решением и потому f (Xn + l) отличаетсяот f (Xn ) лишь на постоянный множитель λ:f (Xn + l) = λf (Xn )(26.5a)и далее2nf (Xn + l) = λf (Xn ) = λ f (Xn−1 ) = . .
. = λ f (X1 ).(26.5b)Проверим, что такое предположение действительно позволяет получить решение задачи для бесконечной цепочки. Подставим (4a) в уравнение (3), тогда с учетом (5) система дифференциальных уравнений сведетсяк одному алгебраическому уравнению122ω = ω0 2 − λ −,(26.6)λопределяющему связь ω и λ. Отсюда находимλ1,2 = d ±d2 − 1,Отметим, чтоλ1 λ2 = 1.d=1−ω2.2ω02§ 26. Колебания линейных цепочек109При ω < 2ω0 величина d < 1 и корни λ1,2 комплексно сопряжены: λ1 = λ∗2и |λ1,2 | = 1, такое решение, как мы увидим далее, соответствует бегущимволнам. При ω > 2ω0 величина d2 > 1 и корни λ1,2 вещественны и отрицательны: λ1,2 < 0 и |λ1 | > 1, |λ2 | < 1, такое решение соответствуетколебаниям, при которых амплитуды колебаний частиц возрастают (падают) вдоль цепочки.При |λ| = 1 величину λ можно представить в видеλ = e∓iϕ ,поэтомуω 2 = 4ω02 sin2и(26.7a)ϕ2yn = Re Aei(ωt∓nϕ) .(26.8)(26.9a)Введем обозначение K = ϕ/l, тогдаλ = e∓iKl(26.7b)и решениями являются бегущие по оси X или против оси X волны(26.9b)yn = Re Aei(ωt∓KXn ) .Частота ω определяет период колебаний во времени T = 2π/ω, аналогично,волновой вектор K определяет «период» колебаний в пространстве — длинуволныΛ=2πl2π=.Kϕ(26.10)Из (9) видно, что ϕ есть разность фаз колебаний соседних частиц.
Уравнение (8) устанавливает связь частоты с этой разностью фаз (или с волновымвектором) — это так называемый закон дисперсии. Из него видно, что частоты бегущих по бесконечной цепочке волн лежат в интервале 0 < ω < 2ω0 .Точка постоянной фазы ωt ∓ KXn = const перемещается вдоль оси x позаконуconstω.(26.11)Xn = ± t −KKПри λ < 0 величину λ можно представить в видеλ = −e±ψ = −e∓κl ,ψ = κl,(26.12)Глава III. КОЛЕБАНИЯ110поэтомуψ.(26.13)ω =2В этом случае амплитуды колебаний падают (или возрастают) с ростом Xn :(26.14)yn = Re (−1)n A eiωt∓κXn = Re (−1)n A e∓nψ eiωt .24ω02 ch2Из (13) видно, что частоты таких решений лежат в интервале ω > 2ω0 .Решения (13), (14) можно получить из (8), (9) при формальной заменеϕ → π − iψ.(26.15)Итак, мы нашли два вида колебаний в бесконечной цепочке: (7), (8)и (13), (14). Бегущие волны (7), (8) мы используем в следующем разделедля получения свободных колебаний цепочки с закрепленными концами,а решения (13), (14) понадобятся нам в § 28 при изучении вынужденныхколебаний.Есть еще одна характеристика — поток энергии вдоль цепочки, котораяоказывается существенно разной для этих двух видов колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
