1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Энергия,переданная от (n − 1)-й частицы к n-й частице за время dt, равна работесилы Fn = −mω02 (yn − yn−1 ), действующей со стороны n-й пружинки, поперемещению n-й частицы на расстояние dyn = ẏn dt:dE = Fn dyn = −mω02 (yn − yn−1 ) ẏn dt.Поэтому поток энергии, переносимый волной вдоль оси X, равен§ 26. Колебания линейных цепочек111Условие y0 = 0 дает A(−) = −A(+) илиyn = Re 2iA(+) sin nϕ eiωt = A sin nϕ cos(ωt + χ),2iA(+) = A eiχ ,(26.16)т.
е. стоячие волны, амплитуды которых синусоидально зависят от номерачастицы n. Из условия на другом конце yN +1 = 0 илиsin(N + 1)ϕ = 0определяются возможные дискретные значения частот. Уравнение sin(N ++ 1)ϕ = 0 приводит к N независимым решениямπαϕα =, α = 1, 2, .
. . , N.(26.17)N +1Действительно, значения α = 0 и α = N + 1 дают нулевые решения yn == 0, а для значения α = N + s при s > 1 фаза ϕN +s = 2π − ϕN −s+2 , т. е.решения с α = N + s выражаются через решения с α = N − s + 2. Из (8),(17) находим N различных частот (рис. 44):παωα = 2ω0 sin, α = 1, 2, . . . , N.(26.18)2(N + 1)С ростом числа N число собственных частот увеличивается, но все онирасполагаются в интервале 0 < ωα < 2ω0 . Этот интервал называют разрешенной зоной в отличие от запрещенной зоны ω > 2ω0 .dE = −mω 2 (y − ynn−1 ) ẏn .0dtПри усреднении по периоду колебаний поток энергии для решения в видебегущей волны (9) равенdE = ± 1 mω 2 ω|A|2 sin ϕ.02dtДля решения (14) усредненный поток энергии равен нулю.26.3. Стоячие волны и спектрВозвратимся к задаче о цепочке с закрепленными концами.
Граничнымусловиям (2) можно удовлетворить, подбирая суперпозицию бегущих в обестороны волн:yn = A(+) ei(ωt+nϕ) + A(−) ei(ωt−nϕ) .Рис. 44. Спектр частот для цепочки рис. 42Вектор нормального колебания, отвечающего α-й частоте, имеет вид⎞⎛sin ϕα⎜ sin 2ϕα ⎟⎟ Qα (t); Qα (t) = aα cos(ωα t + χα ). (26.19)y(α) = const · ⎜..⎠⎝.sin N ϕαГлава III. КОЛЕБАНИЯ112Фазе ϕα соответствует длина волны (10)Λα =2π2πl2L,==Kαϕαα§ 27.
Акустические и оптические колебания линейных цепочек113Задачиα = 1, 2, . . . , N,(26.20)где L = l · (N + 1) — полная длина цепочки, так что α-е нормальное колебание соответствует такой стоячей волне, у которой на длине цепочкиукладывается ровно α полуволн.Выберем в формуле (19)12const = ,=N +1N+2sin nϕαn=1тогда различные нормальные колебания окажутся ортонормированными:26.1. Определить нормальные колебания системы N одинаковых частиц массы m, связанных одинаковыми пружинками жесткости k и могущихдвигаться по прямой (рис. 45) при условии, что один из концов свободен.Рис. 45.
Цепочка с одним свободным концом (к задаче 26.1)26.2. Найти свободные колебания N частиц, соединенных пружинкамии могущих двигаться по кольцу (рис. 46). Массы всех частиц и жесткости пружинок одинаковы. Пусть движение представляет собой бегущую покольцу волну. Проверить, что поток энергии равен произведению линейнойплотности энергии на групповую скорость.(y(α) , y(β) ) = δαβ Q2α .Общее решение есть суперпозиция всех нормальных колебанийyn =NUnα Qα (t),α=1Unα =πnα2sin,N +1N +1(26.21)Рис. 46. Замкнутая цепочка на кольцеа лагранжиан (1) в переменных Qα имеет видL=Nα=1Lα ;m 2Q̇α − ωα2 Q2α ,Lα =2(26.22)отвечающий набору N различных невзаимодействующих осцилляторов.В заключение рассмотрим цепочку из N одинаковых частиц массы m,связанных одинаковыми пружинками жесткости k и могущих двигаться наэтот раз только по прямой AB (рис.
42). Пусть xn — смещение n-й частицы из положения равновесия. Нетрудно убедиться, что уравнения Лагранжа для этой цепочки имеют вид (при дополнительных условиях x0 == xN +1 ≡ 0)ẍn + ω02 (2xn − xn−1 − xn+1 ) = 0, n = 1, 2, . . . , N,(26.23)где ω0 = k/m, и совпадают с уравнениями (3) при замене yn → xn .§ 27. Акустические и оптические колебания линейныхцепочекНесколько более сложной оказывается задача о колебаниях цепочки,образованной чередующимися частицами с разными массами m и M . Число частиц равно 2N . Частицы соединены одинаковыми пружинками жесткости k и могут двигаться вдоль прямой AB, концы цепочки A и B закреплены (рис.
47). Пусть xn — смещение n-й частицы из положения равновесия. Уравнения Лагранжа для этой цепочки имеют видmẍ2n−1 + k(2x2n−1 − x2n−2 − x2n ) = 0,M ẍ2n + k(2x2n − x2n−1 − x2n+1 ) = 0,где n = 1, 2, . . . , N , а граничные условия таковы:x0 = x2N +1 ≡ 0.Глава III. КОЛЕБАНИЯ114Рис. 47. Цепочка чередующихся частиц с массами m и MИщем решение этой системы уравнений в виде стоячих волн разнойамплитуды для легких и тяжелых частиц:§ 28. Вынужденные колебания линейных цепочек115(при m M ширина запрещенной зоны оказывается большой). Областьвысоких частотω > 2kμтакже представляет собой запрещенную зону.x2n−1 = Aα sin [(2n − 1)ϕα ] cos(ωα t + χα ),x2n = Bα sin [2nϕα ] cos(ωα t + χα ).Подставляя эти выражения в уравнения движения, получаем систему двуходнородных линейных алгебраических уравнений для амплитуд Aα и Bα .Решая ее, находим соотношение между амплитудамиBα =2k − mωα2Aα ,2k cos ϕαα = 1, 2, .
. . , N,Рис. 48. Спектр частот для цепочки рис. 47и собственные частоты колебаний⎞⎛2k ⎝1 ± 1 − 4μ sin2 ϕ ⎠ ,2ω(±)α=μαmMμ=mM ,m+Mϕα =πα ,2N + 1α = 1, 2, . . . , N.В этом случае выявляются два вида колебаний: так называемые акустические, соответствующие низким частотам ω(−)α из интервала0 < ω(−)α < 2k ,(27.1)Mи оптические, соответствующие высоким частотам ω(+)α из интервала2k < ω2k(27.2)(+)α <mμ(рис. 48).
Эти два интервала (1) и (2) образуют разрешенные зоны, разделенные запрещенной зоной2k < ω < 2k(27.3)mMЗамечательно, что амплитуды A(−)α и B(−)α , отвечающие акустическим частотам, имеют одинаковые знаки (т. е. соседние частицы (2n − 1)-яи (2n)-я с массами m и M колеблются в одну сторону), a A(+)α и B(+)αдля оптических частот имеют противоположные знаки (т. е. соседние частицы колеблются в противофазе).
Распределение амплитуд колебаний дляслучая N = 10, α = 2, M = 2m показано на рис. 49, где на оси ординатотложены номера частиц, а на оси абсцисс — соответствующие им амплитуды (рис. 49). Отметим, что для акустических колебаний амплитуды A(−)αи B(−)α различаются настолько мало, что практически укладываются наодну и ту же кривую на рис. 49, а.§ 28. Вынужденные колебания линейных цепочекпод действием гармонической силыРассмотрим вынужденные колебания цепочки рис. 42, возникающиев случае, если правый конец цепочки — точка B — колеблется по законуyB = b cos(γt + χ)вдоль оси y. Уравнения движения при этом имеют прежний вид (26.3), новместо граничных условий (26.2) теперь будут условияy0 ≡ 0,yN +1 = b cos(γt + χ).(28.1)Глава III.
КОЛЕБАНИЯ116§ 28. Вынужденные колебания линейных цепочек117т. е. все частицы колеблются в фазе, а амплитуды колебаний линейно возрастают с ростом номера частицы. При γ → ωα , где ωα — одна из собственных частот (26.18), непременно ϕ → ϕα = πα/(N + 1), а амплитудыколебаний частиц возрастают до бесконечности, поскольку в знаменателеsin(N + 1)ϕ → sin(N + 1)ϕα = 0. Таким образом, в данной цепочке возникают резонансы на каждой из собственных частот.При γ > 2ω0 (в запрещенной зоне) решение естественно искать в видесуперпозиции решений типа (26.14):yn = (−1)n A enψ + B e−nψ cos(γt + χ),(28.5)которая удовлетворяет уравнениям движения (26.3), еслиγ 2 = 4ω02 ch2Рис.
49. Распределение амплитуд колебаний цепочки рис. 47 для случая N = 10,α = 2, M = 2m: а — для акустических; б — для оптических колебанийПри γ < 2ω0 (в разрешенной зоне) решение естественно искать в видеyn = B sin nϕ cos(γt + χ),γ 2 = 4ω02 sin2ϕ,2(28.3)аналогичным (26.8). Чтобы удовлетворить условию на правом конце, необходимоB sin(N + 1)ϕ = b,что дает окончательный ответ для вынужденных колебаний:yn = bsin nϕcos(γt + χ).sin(N + 1)ϕПри γ ω0 из (3) имеем ϕ ≈ γ/ω0 1 иyn ≈ nbcos(γt + χ),N +1(28.4)(28.6)Условие y0 = 0 дает A = −B илиyn = (−1)n 2A sh nψ cos(γt + χ),а из условия на другом конце(−1)N +1 2A sh(N + 1)ψ = b(28.2)аналогичном (26.14), так как такое решение удовлетворяет граничномуусловию y0 = 0 и уравнениям движения (26.3), если только фаза ϕ связана с известной частотой γ соотношениемψ.2находимyn = (−1)N +1−n bsh nψcos(γt + χ).sh(N + 1)ψ(28.7)Конечно, это решение можно было бы получить прямо из решения (4) призамене (26.15).
Амплитуды колебаний убывают к левому концу цепочки,каждая частица колеблется в противофазе с соседними частицами. Приγ 2ω0 имеем γ ≈ ω0 e−ψ иyn =bcos(γt + χ),(−γ 2 /ω02 )N +1−n(28.8)т. е. амплитуды колебаний убывают экспоненциально к левому концу цепочки. С учетом (21.4a) этот результат вполне естественен. Действительно,при γ 2ω0 (а значит, и γ ωα ) крайняя правая частица колеблется с малой амплитудой и в противофазе с вынужденной силой, а (N − 1)-я частицав первом приближении покоится. Затем можно движение (N − 1)-й частицы рассматривать как вынужденное колебание, вызванное вынуждающейсилой большой частоты со стороны N -й частицы, и т.
д.Глава III. КОЛЕБАНИЯ118§ 29. Нелинейные колебания. Ангармонические поправки119Заметим, что применяемые в радиотехнике длинные цепочки из конденсаторов и индуктивностей описываются такими же уравнениями, каки рассмотренные выше механические цепочки. С точки зрения радиотехники обсуждаемые цепочки могут рассматриваться как полосовые фильтры,которые хорошо передают энергию от одного конца цепочки к другому в области разрешенных частот и плохо — в области запрещенных.так, что при t = 0 отклонение x экстремально. Удобно, однако, считатьнезависимо задаваемым параметром не энергию, а амплитуду основной гармоникиa1 ≡ a,§ 29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
