1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Фотон (квант света) — это релятивистская частица с массойm = 0 и зарядом e = 0. Согласно предыдущему примеру, его функцияГамильтона для движения в вакууме равнаH(p, r) = c|p|.Распространение света в прозрачной изотропной среде с показателем преломления n(r) в приближении геометрической оптики определяетсяфункцией Гамильтона (см. [9, § 85])H(p, r) =В итоге функция Гамильтона равна(33.12)c |p|.n(r)(33.12a)Уравнения Гамильтона имеют вид[p − b(q)]2H(p, q) =− c(q).2a(q)(33.9)В частности, для гармонического осциллятора функция ЛагранжаL(x, ẋ) = 1 mẋ2 − 1 mω 2 x222c p,ṙ = npṗ = −cp ∂n,n2 ∂rp = |p|.Фактически в геометрической оптике «частицей» является волновой пакет,r(t) есть закон именно его движения, ṙ — это групповая скорость, а вектор p, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой векторэлектромагнитной волны.имеет обсуждаемую структуру и потому функция Гамильтона равна33.2. Интегралы движения в гамильтоновом подходе2 2p2+ mω x .H(p, x) =2m2Пример 2.
Для частицы в центральном поле функция Лагранжа в сферических координатах дается формулой (8.8), функция Гамильтона равнаH(pr , pθ , pϕ , r, θ, ϕ) =p2ϕp2θp2r+++ U (r).2m 2mr22mr2 sin2 θ(33.10)1. Простейший способ находить интегралы движения в гамильтоновом подходе аналогичен использованию циклических координат в лагранжевом подходе (см. § 13). Если функция Гамильтона не зависит от какойлибо обобщенной координаты,∂H(p, q, t)= 0,∂qkГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА138то соответствующий обобщенный импульс сохраняется:§ 33. Уравнения Гамильтона139ОбозначимeB ,ω = mcpk = const.Если функция Гамильтона не зависит от какого-либо обобщенного импульса, то сохраняется соответствующая обобщенная координата.2. Рассмотрим вопрос о том, как при движении системы изменяетсяфункция Гамильтона.
Из (7) c учетом уравнений движения (8) получаемs ∂Hdpidqi∂HdH(p, q, t) =− ṗi=.(33.13)q̇i+dtdtdt∂t∂ti=1x0 =cpypy= mω ,eB(33.17)тогда гамильтонианH=2p2xp2+ mω (x − x0 )2 + z2m22m(33.18)совпадает с гамильтонианом гармонического осциллятора (см. пример 1в предыдущем разделе), движущегося в направлении оси x, с центром колебаний в точке x0 (надо иметь в виду, что величины x0 и pz постоянны).Поэтому мы можем записать сразу же, не выписывая уравнений движения,Таким образом, если функция Гамильтона не зависит от времени явно,x = x0 + R cos ω(t − t0 ),∂H(p, q, t)= 0,∂t∂xẏ = ∂H = mω 2 (x0 − x) 0 = −ωR cos ω(t − t0 )∂py∂pyE(t) = H(p(t), q(t)) = const.Пример 1. В качестве примера рассмотрим подробнее решение уравнений Гамильтона для частицы в постоянном однородном магнитном поле1 .Направим ось z вдоль магнитного поля B = (0, 0, B) и выберем векторныйпотенциал в формеA = (0, xB, 0).(33.14)Гамильтониан(33.15)не зависит от t, y, z, поэтому интегралами движения являются энергияи компоненты импульса py и pz :py = mẏ + eBc x = const,pz = mż = const.находим зависимость y(t):y = y0 − R sin ω(t − t0 ).(33.16)1 Закон движения в этом случае нам хорошо известен, мы рассмотрим именно подход к решению задачи с помощью уравнений Гамильтона.
Это будет полезно в квантовой механике.(33.20)Таким образом, частица движется вдоль оси z с постоянной скоростьюpz /m и вращается с угловой скоростью ω в плоскости xy. При ω > 0 вращение происходит по часовой стрелке по окружности радиуса R с центромв точке с координатами (x0 , y0 ).Отметим, что обобщенный импульс py имеет (с точностью до множителя mω) смысл x-координаты центра орбиты частицы в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. При другом выборе векторного потенциала смысл обобщенных импульсов окажется другим.3.
Пусть функция Гамильтона зависит от переменных q1 и p1 лишьчерез посредство функции f (q1 , p1 ), т. е.H = H(f (q1 , p1 ), q2 , p2 , . . . , qs , ps ),Видно, что движение вдоль оси z равномерное:pzz = m t + z0 .(33.19)где R, t0 — постоянные интегрирования. Из уравнениято энергия сохраняется2H(px , py , pz , x, y, z, t) = 1 p2x + py − ec Bx + p2z2mpx = mẋ = −mωR sin ω(t − t0 ),тогда f (q1 , p1 ) есть интеграл движения.Действительно,df∂f∂f=q̇1 +ṗ1dt∂q1∂p1(33.21)Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА140и, используя уравнения Гамильтона в форме∂fq̇1 = ∂H = ∂H,∂p1∂f ∂p1§ 34.
Вариационный принцип для уравнений Гамильтона33.3. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой2mω02 x2mω02 x2p2p2H(p, x) =++λ+.2m22m2∂fṗ1 = − ∂H = − ∂H,∂q1∂f ∂q1получаем df /dt = 0. Отсюда следует33.4. Найти сечение падения частиц в центр поляf (q1 , p1 ) = const.(33.22),U (r) = arr3Очевидно обобщение этого результата: если функция Гамильтона имеет видH = H(f (q1 , p1 , . . . , qk , pk ), qk+1 , pk+1 , .
. . , qs , ps ),(33.23)то f (q1 , p1 , . . . , qk , pk ) есть интеграл движения.Пример 2. Движение частицы в поле диполя (14.11). В сферическихкоординатах с осью z, направленной вдоль оси диполя, гамильтониан имеетвид (ср. (33.10))H=p2r1+f (θ, pθ , ϕ, pϕ ),2m 2mr2f = p2θ +p2ϕsin2 θ+ 2ma cos θ.где a — постоянный вектор.
Скорость частиц на бесконечности составляетугол α с вектором a.§ 34. Вариационный принцип для уравнений ГамильтонаУравнения Лагранжа можно получить из принципа наименьшего действия (см. § 9). Уравнения Гамильтона также можно получить как уравнения Эйлера некоторой вариационной задачи.Образуем функциюСогласно предыдущему, функция f есть интеграл движения, с учетом (8.9)его можно переписать в видеf = M2 + 2ma cos θ.(33.24)Кроме того, в данной задаче интегралами движения являются энергия E,обобщенный импульс pϕ и величина (14.13).ЗадачиΛ(q, p, q̇, t) =22 2L(x, ẋ) = mẋ − mω x − αx3 + βxẋ2 .22pi q̇i − H(p, q, t),(34.1)в которой qi и pi будем рассматривать как независимые переменные, такчто их вариации δqi и δpi также считаются независимыми.
Обратим внимание на то, что функция Λ(q, p, q̇, t) не зависит от ṗ. Пусть система частиц(1)(1)в момент времени t1 находится в точке A(q1 , . . . , qs ), а в момент време(2)(2)ни t2 — в точке B(q1 , . . . , qs ). При этом предполагается, что вариациикоординат в точках A и B равны нулю2δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0,i = 1, 2, . .
. , s.(34.2)Тогда можно утверждать, что движение системы между этими двумя точками происходит по такому закону qi (t), pi (t), чтобы при подстановке этихфункций qi (t), pi (t) в интеграл33.2. Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона равнаt22где a — постоянный вектор.si=133.1. Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которогоH(p, r) =141Σ=p− pa,2mΛ(q, p, q̇, t) dt(34.3)t12 Вариацииобобщенных импульсов в моменты времени t1 и t2 могут быть произвольными.Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА142он принимал экстремальное значение, т. е. чтобы вариация δΣ = 0. Действительно, так какδΣ =t2 s t1 i=1d ∂Λ∂Λ−∂qidt ∂ q̇iδqi +∂Λδpi∂pist2∂Λδqi , (34.4)dt +∂ q̇it1i=1то с учетом граничных условий (2) и независимости вариаций координати импульсов получаем уравнения Эйлера этой вариационной задачи:∂Λd ∂Λ−= 0,∂qidt ∂ q̇i∂Λ= 0,∂pii = 1, 2, . . . , s.(34.5)Они совпадают с уравнениями Гамильтона, так как∂H∂Λ=−,∂qi∂qi∂Λ= pi ,∂ q̇i∂Λ∂H= q̇i −.∂pi∂pi(34.6)Сравним вариационный принцип δΣ = 0 и принцип наименьшего действия δS = 0 (см. § 9). Если определять зависимость pi (t) из уравненийpi = ∂L/∂ q̇i , то функция Λ совпадает с функцией Лагранжа, а Σ — с действием S.
В действительности же, в вариационном принципе δΣ = 0 импульсы являются независимыми переменными (как и координаты) и независимыми являются также вариации δqi и δpi . Иными словами, класс «допущенных к конкурсу» функций pi (t) для принципа δΣ = 0 является гораздоболее широким, чем в принципе наименьшего действия δS = 0, для которого вариации δpi (t) полностью определяются через вариации координати их производных по времени.§ 35.
Скобки ПуассонаПусть функция Гамильтона H(p, q, t) задана. Вычислим полную производную по времени от произвольной функции координат, импульсов и времени f (q, p, t). Дифференцируя f по времени как сложную функцию и выражая q̇i , ṗi из уравнений Гамильтона, получаемs df (q, p, t)∂f ∂H ∂f∂H ∂f=+−.(35.1)dt∂t∂pi ∂qi∂qi ∂pii=1Билинейная комбинация частных производных, возникшая в уравнении (1),как мы увидим далее, постоянно встречается и играет важную роль в исследовании задач гамильтоновой механики.
Эта комбинация называется скобкой Пуассона и имеет специальное обозначение.§ 35. Скобки Пуассона14335.1. Определение и основные свойстваПусть f = f (q, p, t) и g = g(q, p, t) — произвольные функции обобщенных координат, импульсов и времени. Скобка Пуассона {f, g} определяетсяследующим образом:{f, g} ≡s ∂f ∂g∂f ∂g−.∂pi ∂qi∂qi ∂pii=1(35.2)Скобки Пуассона обладают рядом легко проверяемых с помощью определения (2) свойств:{f, c} = 0, если c = const,{f, g} = −{g, f },{f1 + f2 , g} = {f1 , g} + {f2 , g},{f1 f2 , g} = f1 {f2 , g} + {f1 , g}f2 , ∂ {f, g} = ∂f , g + f, ∂g ,∂t∂t∂t{pi , f } =∂f,∂qi{qi , f } = −{pi , pj } = {qi , qj } = 0,∂f,∂pi{pi , qj } = δij .Пользуясь этими свойствами, можно вычислять значение скобок Пуассона, не обращаясь к их определению, по крайней мере для полиномиальных функций f и g.Теперь уравнение (1) можно переписать в виде∂fdf (q, p, t)=+ {H, f } ,dt∂t(35.3)и, в частности, сами уравнения Гамильтона (33.8) записать единообразнымспособом:q̇i = {H, qi }, ṗi = {H, pi }.(35.4)С помощью скобок Пуассона можно даже получить общее решение уравнений Гамильтона, правда, только формально в виде ряда по степеням времени, прошедшего с начала движения (см.
[3, задача 10.23]).Пример. Рассмотрим скобки Пуассона для компонент скорости частицы в магнитном поле и для координат центра орбиты. Пусть магнитноеГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА144§ 35. Скобки Пуассона145поле задано векторным потенциалом A(r, t). Согласно (10.5), компонентыскоростиpie A,vi = m − mciпоэтомучто развитие qi и pi в зависимости от воображаемого «времени» τ (никак не связанного с реальным временем t) определяется «каноническимиуравнениями»dqi∂h∂hdpi==−,,(35.9)dτ∂pidτ∂qi{vi , vj } = − e2 ({pi , Aj } + {Ai , pj }) =m c3∂Aj∂Aiee=− 2−eijk Bk ,=− 2∂xjm c ∂xim c k=1из которых можно найти qi и pi как функции τ , а значит, и f (q(τ ), p(τ ))и g(q(τ ), p(τ )) как функции τ .
При этом в согласии с (3)df= {h, f },dτгде B = rot A — магнитное поле, а eijk — полностью антисимметричныйединичный тензор третьего ранга.Будем считать далее магнитное поле однородным и постоянным и рассматривать только движение частицы в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Выберем ось z вдоль вектора B. Тогда отлична от нуляскобка ПуассонаeBω,{vx , vy } = − 2z = − mm ceB .ω = mc(35.5)Частица движется по окружности с центром в точке (x0 , y0 ) с угловой скоростью ω = −(e/mc)B (см. (33.16)–(33.20)), при этомvyx0 = x − ω ,vy0 = y + ωx .(35.6)Учитывая, что {mvi , xj } = δij , находим скобку Пуассона для координатцентра орбиты:1 .(35.7){x0 , y0 } = mω35.2. Тождество Якоби и теорема ПуассонаДля любых трех функций координат и импульсов f (q, p), g(q, p),h(q, p) справедливо соотношение{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0,(35.8)называемое тождеством Якоби.Для доказательства удобно использовать следующий формальный прием.
Положим, что h(q, p) есть «гамильтониан» некоторой воображаемой механической системы. Фактически это предположение означает всего лишь,dg= {h, g},dτd{f, g}= {h, {f, g}} .dτ(35.10)Используя далее свойства скобок Пуассона, находимd{f, g}=dτdf,gdτdg+ f,.dτ(35.11)Подставляя в это соотношение формулы (10), получаем тождество Якоби (8).Тождество Якоби (8) остается справедливым и в том случае, еслифункции f, g, h имеют также явную зависимость от времени (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
