1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. по углам θx )?Теорема Лиувилля запрещает такую фокусировку. Действительно,пусть H(px , pz , x, z, t) — гамильтониан системы. Считая pz = const и подставляя z = pz t/m, получаем гамильтониан одномерного поперечного движения. Начальному разбросу частиц по x, px соответствует некоторая область на фазовой плоскости. Одновременной фокусировке по координате и импульсу после прохождения линзы соответствовало бы уменьшениеэтой площади, что невозможно в силу теоремы Лиувилля.Рассмотрим преобразование области на фазовой плоскости при прохождении через конфигурацию поля, работающую как фокусирующая линза, т. е.
сжимающую широкий по оси x пучок в узкий пучок. На рис. 59 показана фазовая плоскость x, px для поперечного движения. Пусть эллипс 1представляет собой область, где сосредоточены изображения частиц падающего пучка перед линзой. После прохождения линзы резко возрастает разброс по углам при неизменном размере пучка (см. эллипс 2). Затем наблюдается свободное движение в поперечном направлении, ведущее к сжатиюпучка (эллипс 3), а затем — вновь к расширению пучка (эллипс 4). Послепрохождения линзы разброс по углам остается неизменным.
Зависимостьконцентрации частиц в пучке от z можно описывать, пользуясь формуламииз [3, задача 11.24е].Рис. 59. Области фазового пространства, занятые пучком частиц в разные моментывремени: 1–2–3–4в интервале x0 < x < x0 + Δx0 , а импульсы — в интервале p0 < p < p0 ++ Δp0 .б) Тот же вопрос для частиц, движущихся вдоль оси x между двумястенками. Соударения со стенками абсолютно упругие. Друг с другом частицы не взаимодействуют.в) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов.г) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов с трением.§ 41. Уравнение Гамильтона–Якоби41.1.
Уравнение Гамильтона–Якоби. Метод разделения переменныхДействие S(q, t, q (1) , t1 ) удовлетворяет уравнению, которое легко получить, если в соотношение (39.2)∂S= −H(p1 , p2 , . . . , ps , q1 , q2 , . . . , qs , t)∂tвместо pi подставить его выражение pi = ∂S/∂qi из формулы (39.3). В итоге получим уравнение Гамильтона–Якоби∂S∂S∂S+H,...,, q1 , . . . , qs , t = 0,(41.1)∂t∂q1∂qsЗадача40.1. а) Как изменяются со временем объем, объем в импульсном пространстве и фазовый объем, занимаемые группой свободно движущихсявдоль оси x частиц? В начальный момент координаты частиц заключеныаналогичное уравнению эйконала для световых лучей.
Оказывается, чтос его помощью также можно решить задачу о движении механической системы. Для этого нужно найти полный интеграл уравнения (1) — функцию, удовлетворяющую ему и зависящую от s произвольных парамет-Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА166ров α1 , . . . , αs (не считая несущественной аддитивной (s + 1)-й постоянной αs+1 ):(41.2)S = f (q1 , . . . , qs , α1 , . . . , αs , t) + αs+1 .Тогда нахождение qi (t) и pi (t) сведется к решению только алгебраическихуравнений.Чтобы показать это, примем f (q, α, t) за производящую функцию канонического преобразования, а αi — за новые импульсы. Тогда каноническоепреобразование(41.3)qi = qi (α, β, t), pi = pi (α, β, t)определяется соотношениями∂f= pi ,∂qi∂f= βi ,∂αi(41.4)где через βi обозначены новые координаты.
Новый гамильтонианH (α, β, t) = H +∂f∂tсогласно (1), (2) оказывается тождественно равным нулю: H (α, β, t) = 0.Новые канонические переменные в силу уравнений∂H = 0,α̇i = −∂βi∂H β̇i ==0∂αiоказываются интегралами движения, а уравнения (3) определяют закон движения, причем параметров α, β как раз достаточно, чтобы удовлетворитьначальным условиям. Таким образом, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби, то дальнейшее нахождение qi (t) и pi (t) являетсяуже чисто алгебраической задачей.Как же находить полный интеграл уравнения Гамильтониана–Якобии всегда ли это возможно? Это возможно во всех случаях, когда задача интегрирования уравнений движения сводится к квадратурам. Однако такиеслучаи можно считать, скорее, исключениями.
Представляющие наибольший физический интерес примеры перечислены в [1, § 48]. В частности,это задачи о движении частицы в поле пары неподвижных кулоновскихцентров, в кулоновском поле с добавлением однородного поля. При этомуспех достигается удачным выбором криволинейных координат. Полныйинтеграл уравнения Гамильтона–Якоби находится методом разделения переменных. Если гамильтониан не зависит от времени явно, то можно искать S в видеS(q1 , . . .
, qs , t) = −Et + S0 (q1 , . . . , qs ),(41.5)§ 41. Уравнение Гамильтона–Якоби167где S0 (q1 , . . . , qs ) называется укороченным действием. Для него получаемуравнение∂S0∂S0H,...,, q1 , . . . , qs = E.(41.6)∂q1∂qsДалее представляем функцию многих переменных S0 (q1 , . . . , qs ) в видесуммы функций одной переменнойS0 (q1 , . . . , qs ) =sSi (qi ).(41.7a)i=1Подставив это выражение в (6), получим вместо уравнения в частных производных уравнениеdS1 (q1 )dSs (qs ),...,, q1 , . . .
, qs = E,Hd q1d qsсодержащее лишь полные производные функций dSi (qi )/d qi . Решение этого уравнения имеет вид(41.7b)Si (qi ) = pi (qi ) dqi ,где pi (qi ) — известная функция соответствующей координаты. Ясно, чтоуравнение (6) имеет решение такого вида отнюдь не всегда, о чем и шларечь выше.41.2.
Движение релятивистской частицы в поле U (r) = − αrРасмотрим подробнее применение метода разделения переменных напримере движения релятивистской частицы в кулоновском поле.В этом случае гамильтониан имеет вид (33.12):H(p, r, t) = p2 c2 + m2 c4 − αr,где релятивистский импульс.p = mv1 − (v/c)2При движении в центральном поле сохраняются релятивистские энергия Eи момент импульса M:E=p2 c2 + m2 c4 − αr,m [r, v]M = [r, p] = .1 − (v/c)2Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА168Отсюда видно, что движение частицы происходит в плоскости, перпендикулярной постоянному вектору M. Введем в этой плоскости полярные координаты r и ϕ, функция Лагранжа в этих координатах равнаṙ2 + r2 ϕ̇2L = −mc2 1 −+αr.c2Соответствующие обобщенные импульсыpϕ ≡ M = ∂L = ∂ ϕ̇1 − (v/c)2связаны соотношением (оно имеет тот же вид, что и в нерелятивистскомслучае — см. (8.9))2p2 = p2r + M2 ,rпоэтому2M 2 − m 2 c2 .pr (r) = ± 12 E + α−rcr2Решение уравнения Гамильтона–Якоби для укороченного действияищем в виде (7):S0 (r, ϕ) = pϕ (ϕ) dϕ + pr (r) dr.а уравнение ∂S/∂M = const илиM drr2 pr (r)Видно, что уравнение (9) совпадает с уравнением (3.21) при заменахE,c2E→E 2 − m 2 c4,2E2β → −α .2E(41.10)Другими словами, уравнение (9) соответствует движению нерелятивистской частицы в кулоновском поле U (r) = −α/r с возмущением в видедополнительного центрального поля притяженияδU (r) = −α2.2E r2(41.11)При M > α/c это позволяет сразу записать ответ для рассматриваемого случая в виде, аналогичном (3.23):r=p̃,1 + ẽ cos(γϕ)где введены обозначенияγ=1−α2 ,c2 M 2p̃ =(41.12)c2 M 2 − α2,Eα(E 2 − m2 c4 )(c2 M 2 − α2 ).(41.13)E 2 α2Для случая E < mc2 (при этом ẽ < 1) траектория соответствует финитномудвижению частицы и, вообще говоря, незамкнута (см.
рис. 7, б). За однорадиальное колебание частицы ее полярный угол изменится наẽ =где величины E и M играют роль параметров α1,2 .Уравнение ∂S/∂α1 = β1 или ∂S/∂E = const определяет зависимость r(t): 1drE+α(41.8)t= 2r pr (r) ,cβU (r) = − αr + r2 .В итоге получаем полный интеграл уравнения Гамильтона–ЯкобиS(r, ϕ, E, M, t) = −E t + M ϕ + pr (r) dr,ϕ=169определяет траекторию частицы. Сравним уравнение (9) с уравнением (3.21) для траектории движения нерелятивистской частицы в полеm→mr2 ϕ̇,pr = ∂L = mṙ∂ ṙ1 − (v/c)2§ 41. Уравнение Гамильтона–Якоби(41.9)1+Δϕ = 2πγ .(41.14)Если применить эти формулы для движения планет в Солнечной системе, то такое изменение соответствует смещению перигелия планеты наугол(41.15a)δϕ = 2πγ − 2π.Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА170Для движения планет можно использовать нерелятивистский предел этоговыражения (считая v c или mc2 − E ≈ α/(2a) mc2 )δϕ ≈ πα/ a,− e2 )(41.15b)где a и e — большая полуось и эксцентриситет планеты.
Для планеты Меркурий численное значение смещения перигелия оказывается равнымв столетие.(41.16)Наблюдаемая прецессия перигелия Меркурия (после исключения влияниядругих планет) равнаδϕ наблюд = (43,11 ± 0,45) в столетие.(41.17)Это значение δϕнаблюд находится в очевидном противоречии с предсказанием (16) специальной теории относительности, но прекрасно согласуетсяс предсказанием общей теории относительности (см. [10, § 101]):δϕOTO = 6δϕ ≈ 43 в столетие.171легко преобразуется к виду(∇S)2 =mc2 (1δϕ ≈ 7,2 § 42.
Переменные действие–уголn2 (r)c2∂S∂t2.Это уравнение совпадает с уравнением эйконала, если принять, что функция S(r, t) пропорциональна фазе Ψ(r, t). Иными словами, в механике фотона роль волновых поверхностей играют поверхности S(r, t) = const, гдеS(r, t) — действие как функция координат и времени.Задача41.1. Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемыхв полеθU (r, θ, ϕ) = a cosr2и падающих в центр этого поля. Траекторию выразить через квадратуры,а при Eρ2 a — и аналитически. Скорость частиц до рассеяния параллельна оси z.(41.18)§ 42. Переменные действие–угол41.3. Оптико-механическая аналогияИзвестно, что распространение световой волны в прозрачной средес показателем преломления n(r) можно описывать как движение волновыхповерхностей — поверхностей одинаковых фаз Ψ(r, t) = const. В приближении геометрической оптики фаза Ψ(r, t) подчиняется уравнению эйконала2n2 ∂Ψ2(∇Ψ) = 2,c∂tгде c — скорость света в вакууме (см.
[9, § 85]).Напомним, что для фотона функция Гамильтона согласно (33.12a) имеет видH(p, r) = c |p|.n(r)Соответствующее уравнение Гамильтона–Якоби∂S= c |∇S|∂tn(r)Если механическая система, допускающая разделение переменныхв уравнении Гамильтона–Якоби, совершает финитное движение, то для нееможно ввести особые канонические переменные w1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
