1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если параметр λ постоянен, то энергия E сохраняется, траектория на фазовой плоскости являетсязамкнутой и определяется уравнениемH(p, q, λ) = E.(43.2)Пусть p = p(q, E, λ) — решение этого уравнения, тогда площадь, охватываемая на фазовой плоскости этой траекторией, равнаS(E, λ) = p(q, E, λ) dq.(43.3)Если же параметр λ медленно изменяется, то энергия E уже не является сохраняющейся величиной, ее среднее за период значениеE ≡ 1TTE(t)dt(43.4)0медленно изменяется и это изменение существенно определяется изменением параметра λ(t).
Оказывается, из величин E и λ можно образовать такуюкомбинацию — функцию E(t) и λ(t), среднее за период значение которойостается постоянным. Такую комбинацию называют адиабатическим инвариантом. Забегая вперед, укажем, что адиабатическим инвариантом является каноническая переменная действие I. Напомним, что эта величинас точностью до множителя совпадает с площадью, охватываемой фазовойтраекторией, S(E, λ) = 2πI(E, λ) и вычисленной при заданных (зафиксированных в текущий момент времени) значениях E и λ:S(E, λ)1=p(q, E, λ) dq.(43.5)I(E, λ) =2π2π§ 43. Адиабатические инварианты179(и энергии) фазовая траектория замкнута и ограничивает фазовую областьплощадью S.
Заметим, что энергии отдельных точек внутри этой областиотличны от E. Рассмотрим поведение точек внутри и на границе этой области при движении системы для случая произвольного изменения параметра λ(t). Мы можем утверждать на основе теоремы Лиувилля, что площадьэтой области сохранится. Однако точки, соответствующие границе этой области и представляющие собой вначале фазовую траекторию с энергией E,перестанут, вообще говоря, иметь одну и ту же энергию, т.
е. перестанутбыть фазовой траекторией. Если же параметр λ(t) изменяется адиабатически медленно, то все точки первоначальной фазовой траектории могутоставаться точками фазовой траектории для новой энергии E , соответствующей новому значению параметра λ . Тогда можно утверждать, чтоадиабатический инвариант сохраняется.Для иллюстрации введенных понятий приведем два характерных примера.Пример 1.
В качестве первого примера рассмотрим гармонический осциллятор с медленно изменяющейся частотой (42.26). Условие (1) в данномслучае означает, чтоω̇ ω 2 ,ω̈ ω̇ω.(43.7)Фазовая траектория гармонического осциллятора— эллипс, задаваемый√уравнением H(p, x, ω) = E с полуосями 2mE и 2E/(mω 2 ) и площадью S = 2πE/ω. Адиабатический инвариант равен (ср.
(42.3))I= S = Eω.2π(43.8)(43.6)Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется прямопропорционально его частоте.Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим частицу в прямоугольном потенциальном ящике, ширина которого l(t) медленно изменяется (см. рис.
62, на котором упругая стенка в точке x = 0 неподвижна,а упругая стенка в точке x = l(t) медленно удаляется). Период колебанийT = 2l/v, где v = |ẋ| — модуль скорости частицы. Условие (1) в данномслучае означает, чтоl˙ v,l̈l l̇v.(43.9)с точностью до величин порядка λ̇T включительно. Здесь мы приведемкачественные соображения, основанные на теореме Лиувилля. Пусть параметр λ(t) в начальный момент имеет значение λ и ему соответствует начальная энергия E. При фиксированном значении этого параметраФазовая√ траектория этой системы — прямоугольник со сторонами l и 2mv == 2 2mE (рис. 63), поэтому адиабатический инвариант равен√2m √mI = π vl = πE l.(43.10)Мы покажем в § 43.3, чтоI(E, λ) = constГлава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА180Таким образом, энергия частицы в таком ящике E ∝ 1/l2.§ 43. Адиабатические инварианты181постоянной имеет высший порядок малостиd vl ∼ l˙2 .dtРис. 62. Частица между неподвижнойи медленно удаляющейся стенкамиРис. 63. Фазовая траектория системы,изображенной на рис. 62Рассматриваемый пример имеет отношение к адиабатическим процессам в газах (см. [3, задача 13.13]) и адиабатическому приближению в теориимолекул (см. модельную задачу 13.9 из [3]).43.2. Адиабатический инвариант для частицы в ящикеПеред тем как перейти к доказательству результата (6), рассмотримподробнее простой пример 2, в котором удобно продемонстрировать, какфактически зависят рассматриваемые величины от времени.При столкновении частицы с неподвижной стенкой ее скорость не изменяется по величине, а при столкновении с удаляющейся стенкой ее скорость уменьшается по величине на 2l.˙ Выберем такое время Δt, чтоl.l˙Такое Δt существует в силу условия медленности движения стенки (9).
Заэто время произойдет vΔt/(2l) пар столкновений со стенками и скоростьизменится наΔv = −v l˙ Δt .lВеличины Δv и Δt малы, поэтому их отношение можно рассматривать какускорение Δv/Δt = dv/dt. Интегрируя полученное уравнение, находимответ (10): vl = const.Интересно проследить подробнее, как изменяется произведение vl.Это легко сделать, воспользовавшись графиками l(t) и v(t) (рис.
64, а, б).График произведения vl представлен на рис. 64, в. Величина vl колеблется около приблизительно постоянного значения vl, причем амплиту˙да колебаний имеет относительную величину ∼ l/v.Отклонение vl от2l Δt vРис. 64. Изменение величин l, v, lv с течением времени для системы, изображеннойна рис. 62С увеличением параметра l скорость частицы уменьшается и наступиттакой момент, что частица уже не сможет догнать удаляющуюся стенку.После этого момента времени скорость частицы остается постоянной, а величина vl растет. Нарушение условия адиабатичности (9) произойдет ещедо этого.43.3.
Сохранение адиабатического инвариантаДокажем соотношение (6). Каноническая переменная I удовлетворяетуравнению (42.25)∂Λ(I, w, λ)I˙ = −λ̇.(43.11)∂wГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА§ 44. Движение системы со многими степенями свободы. Динамический хаос 183Правая часть этого уравнения содержит малый параметр λ̇, поэтому можно решать это уравнение с помощью метода последовательных приближений. А именно, имея в виду интервал времени порядка периода колебаний,в функцию ∂Λ(I, w, λ)/∂w, стоящую при этом малым множителем, можноподставить ее переменные в нулевом по λ̇ приближении (42.19):по «периоду» движения шарика. Найти частоту малых колебаний поршня.Соударения считать упругими. (Модель «газа», состоящего из одной молекулы.)182I = const,w = ωt + ω0 ,λ = const.В таком приближении∂Λ(I, w, λ)1 dΛ= ω∂wdtРис. 65. К задаче 43.2и потому уравнение (11) можно переписать в видеdI = − λ̇ dΛ .ω dtdt(43.12)Учитывая также, что λ̈T λ̇, можно считать в пределах периода λ̇ == const.
Интегрируя уравнение (11) по периоду движения, имеем43.3. Рассматриваются малые колебания маятника в поле тяжести. Длина маятника медленно увеличивается в 2 раза. Найти, как изменится максимальный угол отклонения маятника.43.4. Найти период колебаний электрона вдоль оси в магнитной ловушке. Магнитное поле ловушки симметрично относительно оси z, причемего компоненты в цилиндрической системе координат равныBϕ = 0,λ̇ [Λ(t + T ) − Λ(t)] = 0,I(t + T ) − I(t) = − ω(43.13)так как в рассматриваемом приближении функция Λ является периодической (см.
сноску 8 на с. 176). В пределах периода адиабатический инвариантI(t) изменяется на величину порядка λ̇T Λ, но через период возвращаетсяк своему исходному значению. Отсюда следует, что адиабатический инвариант осциллирует с малой амплитудой около постоянного значения, неудаляясь от него в течение многих периодов. Такая зависимость I(t) хорошо видна на рис. 64 (напомним, что в этом случае I = mvl/π).Заметим, что в ряде случаев точность сохранения адиабатического инварианта может оказаться гораздо более высокой — см.
[1, § 51].Задачи43.1. Найти связь между объемом и давлением «газа», состоящего изчастиц, которые движутся внутри куба, размер которого медленно изменяется.43.2. Шарик массы m движется между тяжелым поршнем массыM m и дном цилиндра (см. рис. 65). Равновесное расстояние от поршня до дна цилиндра равно h.
Считая, что скорость шарика гораздо больше скорости поршня, определить закон движения поршня, усредненныйиBz = Bz (z),Br = − r Bz (z)22Bz (z) = B0 1 + z 2 .a§ 44. Движение системы со многими степенями свободы.Динамический хаосДвижение системы со многими степенями свободы, в отличие от одномерного случая, не может быть исследовано исчерпывающим образом. Егоестественно рассматривать в 2s-мерном фазовом пространстве с координатами q, p.
Особый интерес представляет описание финитного движениясистемы в течение неограниченного времени.Движение многомерных систем очень разнообразно. Для систем с разделяющимися переменными справедливо утверждение, что все s переменных действия являются интегралами движения:Ii (q1 , . . . , qs , p1 , . .
. , ps ) = const,i = 1, 2, . . . , s,(44.1)поэтому в фазовом пространстве движение такой системы происходит поs-мерной поверхности, определяемой уравнениями (1). Вообще говоря, точка, изображающая движение системы, проходит как угодно близко к любойГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА§ 44. Движение системы со многими степенями свободы. Динамический хаос 185точке данной поверхности. Это становится очевидным, если перейти в фазовом пространстве к переменным действие–угол.
Проекция фазовой траектории на плоскость w1 , w2 изображена на рис. 66. Поскольку qi , pi являются периодическими функциями wi , достаточно рассматривать изменениеугловых переменных в пределах 0 wi 2π. На плоскости w1 , w2 фазоваятраектория размещается в пределах квадрата, причем его противоположныестороны должны быть отождествлены («склеены») друг с другом.Рассмотрим пример, в некотором отношении противоположный случаю условно-периодического движения. Пусть большое число шаров, движущихся без трения по плоскому ограниченному столу, абсолютно упругосталкиваются друг с другом и со стенками. Едва ли можно наблюдать такой«газ» где-нибудь, кроме экрана дисплея. Тем не менее это хорошая модельнастоящего газа.Законы движения шаров очень просты и формально вся фазовая траектория системы большого числа шаров определяется ее начальной точкой,т.
е. начальными координатами и импульсами шаров. Посмотрим, как изменится фазовая траектория, если направление движения одного из шаровв начальный момент времени изменить на очень малый угол ϕ0 ∼ 10−8 .Такое движение будем называть возмущенным. Исследуем, как будет изменяться угол отклонения при столкновениях. При этом ограничимся самыми грубыми оценками. Будем иметь в виду, что средний путь шара междустолкновениями l много больше радиуса шара a, т. е. l a. За время доочередного столкновения шар движется по прямой и центр его сместитсяот невозмущенного положения на расстояние OO ∼ lϕ0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
