1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для свободного движения L = T ; в этом случае обобщенный импульсpψ = ∂L = I3 Ω3∂ ψ̇(48.4)равен проекции M3 момента импульса на ось x3 , обобщенный импульсpϕ = ∂L = I1 Ω1 sin θ sin ψ + I2 Ω2 sin θ cos ψ + I3 Ω3 cos θ∂ ϕ̇(48.5)Рис. 75. Углы Эйлераравен проекции MZ момента импульса на ось OZ, а обобщенный импульсВыразим через эти углы и их производные по времени кинетическуюэнергию вращения твердого тела. Для этого нам нужно записать компоненты угловой скоростиΩ = ϕ̇ + θ̇ + ψ̇pθ = ∂L = I1 Ω1 cos ψ − I2 Ω2 sin ψ∂ θ̇в системе K, в которой тензор инерции не зависит от времени.
Это легкосделать, если учесть, что полярный и азимутальный углы в этой системедля вектора ϕ̇ равны θ и (π/2) − ψ, для вектора θ̇ равны π/2 и (−ψ) и чтовектор ψ̇ направлен вдоль оси x3 (см. рис. 74). В итоге получаемΩ1 = ϕ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ,Ω2 = ϕ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ,(48.1)Ω3 = ϕ̇ cos θ + ψ̇.3 Если бы мы выбрали для второго поворота ось x , то θ и ϕ оказались бы сферически2ми координатами направления x3 . Такой выбор предпочитают в теории момента импульса вквантовой механике.(48.6)равен проекции момента импульса на линию узлов. Функция Лагранжа длясвободного движения асимметрического волчка не зависит от угла ϕ, поэтому pϕ = MZ сохраняется.
Для свободного движения симметрическоговолчка дополнительно сохраняется pψ = M3 , так как в этом случае функцияЛагранжа не зависит от угла ψ.ДОПОЛНЕНИЯA. Элементы вариационного исчисленияПростейшим примером вариационных задач является следующая: наплоскости xy найти кратчайшую кривую между двумя заданными точкамиA(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ), т. е. найти такую функцию y(x), чтобы интегралBl=Ax2 dl =1 + (dy/dx)2 dx,(dl)2 = (dx)2 + (dy)2(A.1)x1принял наименьшее значение. При этом функция y(x) должна удовлетворять условиямy(x2 ) = y2 .y(x1 ) = y1 ,В данном примере ответ хорошо известен: такой кривой является прямаяy(x) = y1 +y2 − y1(x − x1 ).x2 − x1(A.2)В более общем виде вариационная задача формулируется так.
Пустьимеется некоторый класс функций ỹ(x) таких, что все они проходят черезточки A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ), т. е. ỹ(x1 ) = y1 , ỹ(x2 ) = y2 . Среди этих функций надо найти такую функцию y(x), при подстановке которой в интегралx2J=f (y, y , x)dx,y =dy(x),dx(A.3)x1он принимает экстремальное значение.Выведем уравнение, которому должна удовлетворять искомая функцияy(x). Рассмотрим в качестве «принимающих участие в конкурсе» кривыхфункции видаỹ(x) = y(x) + εh(x),h(x1 ) = h(x2 ) = 0,(A.4)ДОПОЛНЕНИЯ210где ε — малый параметр, а h(x) достаточно гладкая (непрерывная вместе сосвоей производной) функция (рис.
76). Величину εh(x) называют вариацией функции y(x) и обозначаютA. Элементы вариационного исчисления211Справедливо следующее утверждение (основная лемма вариационногоисчисления): если g(x) непрерывна иx2δy(x) ≡ εh(x).g(x)h(x)dx = 0x1для любой непрерывной функции h(x), имеющей непрерывную производную и такой, что h(x1 ) = h(x2 ) = 0, то g(x) = 0 на интервале x ∈ (x1 , x2 ).(Докажите!)Воспользовавшись этой леммой, получим из (5) необходимое условиетого, что y(x) дает экстремальное значение интеграла (3):d ∂f∂f−= 0.∂ydx ∂y (A.6)Для примера (1) это уравнение принимает видdy= 0,dx 1 + y 2Рис.
76. К выводу уравнения Эйлера для простейшей вариационной задачиПри подстановке в (3) функции ỹ вместо y мы получим величинуx2dh(x)J(ε) = f (y + εh, y + εh , x)dx,,h =dxx1которая является функцией параметра ε. В силу предположения о том, чтоy(x) обеспечивает экстремальное значение J(ε), точка ε = 0 для J(ε) должна быть точкой экстремума, поэтомуx2 dJ(ε) ∂f ∂fh+=hdx = 0.dε ∂y∂y ε=0x1Интегрируя второе слагаемое под интегралом по частям с учетом того, чтоh(x1 ) = h(x2 ) = 0, получаемx2x2 ∂fd ∂f∂f−h(x)h(x)dx+ =∂ydx ∂y ∂y x1x1(A.5)x2 ∂fd ∂f−=h(x) dx = 0.∂ydx ∂y x1откуда следует y = const, т.
е. y(x) — прямая. Учет условий y(x1 ) == y1 , y(x2 ) = y2 приводит к указанному выше решению (2).В вариационном исчислении принята следующая терминология. Уравнение (6) называется уравнением Эйлера, его левая часть называется вариационной производной от J по y(x) и обозначается∂fd ∂fδJ≡−.δy(x)∂ydx ∂y (A.7)Вариацией (точнее, первой вариацией) J называется величина δJ, определенная соотношениемx2δJ ≡δJδy(x) dx.δy(x)(A.8)x1Аналогично ставится и решается задача определения экстремума интегралаx2J = f (y1 , . . .
, ys ; y1 , . . . , ys , x) dx,(A.9)x1ДОПОЛНЕНИЯ212зависящего от многих неизвестных функций yi (x), независимых другот друга и имеющих вариации, удовлетворяющие условиям δyi (x1 ) == δyi (x2 ) = 0, i = 1, . . . , s. Необходимое условие экстремума (6) должновыполняться по отношению к каждой из этих функций:∂fδJd ∂f≡−= 0,δyi (x)∂yi dx ∂yii = 1, 2, . . . , s.(A.10)B. Системы со связямиB.1. Системы с идеальными голономными связямиРассмотрим более подробно движение систем со связями. Напомнимопределения, приведенные в конце § 12. Мы будем представлять себе далее,что тела, движение которых мы исследуем, состоят из N «материальных точек» («частиц»), движение которых может быть ограничено воздействиемкаких-либо стержней, поверхностей и т.
п. Если все эти ограничения выражаются условиямиFα (r1 , . . . , rN , t) = 0,α = 1, . . . , n,(B.1)где Fα является функцией только координат частиц и времени, то говорят, что на систему наложены n голономных связей. Например, для случаямаятника переменной длины, рассмотренного в § 12, условия (1) сводятсяк одному уравнениюF1 (r, t) ≡ r − l(t) = 0.При этом подразумевается, что условия (1) выполняются за счет того, чтона частицы помимо прочих потенциальных силFa = − ∂U∂raдействуют силы реакции связей Ra . Связи называются идеальными, еслипри любых смещениях частиц δra , не нарушающих условий (1), суммарнаяработа всех сил реакции равна нулю:NRa · δra = 0.(B.2)a=1Подчеркнем, что речь идет не о смещениях в процессе реального движениясистемы, а о смещениях, не нарушающих условия (1), взятые при фиксированном значении времени t.B.
Системы со связями213В ньютоновой механике движение частиц определяется уравнениямиma r̈a = − ∂U + Ra ,∂raa = 1, . . . , N,(B.3)которые совместно с условиями (1) позволяют найти как закон движенияra (t), так и силы Ra (t). Заметим, что с учетом условий связи (1) нашасистема имеет s = 3N − n степеней свободы и ровно столько нужно обобщенных координат для полного описания ее движения. Можно найти уравнения движения для этих обобщенных координат, стартуя от уравнений (2),(3) и условий (1), однако такой подход требует достаточно громоздких выкладок. Мы найдем эти уравнения, используя преимущества лагранжеваподхода.Условия (1) для системы из N материальных точек выделяют в 3N мерном пространстве K подпространство s = 3N −n измерений K0 , в котором только и может двигаться точка, изображающая конфигурацию системы.
Силы реакции, если их изобразить в пространстве K, окажутся ортогональными подпространству K0 . Именно это и означает сформулированноевыше условие идеальности связей. Введем n обобщенных координат:q̃α = Fα (r1 , . . . , rN , t),α = 1, . . . , n,остальные обобщенные координаты обозначим qi , i = 1, . . . , s. Подпространство K0 определяется n условиямиq̃α = 0,α = 1, . . . , n,(B.4)так что qi — координаты в K0 . Как и в примере с маятником в § 12, можноввести вспомогательную систему с «выключенными» связями, но добавленной чрезвычайно «жесткой» потенциальной энергиейŨ (q̃1 , .
. . , q̃n ) =Ũα (q̃α ),(B.5)αгде Ũα (q̃α ) — функция того же вида, что и в примере с маятником. Возникающие за счет этого силы (−∂ Ũ /∂ q̃α ), как и силы реакции связей, ортогональны подпространству K0 .По сути дела, мы принимаем, что при движении механической системы возникают силы, как раз обеспечивающие выполнение условий связи.Естественно, эти силы обусловлены деформациями тел, однако очень малыми деформациями, так что связанными с ними смещениями и скоростямиможно пренебречь.ДОПОЛНЕНИЯ214Функция Лагранжа вспомогательной системы имеет вид˙ t) − Ũ (q̃),L̃ = L1 (q, q̃, q̇, q̃,(B.6)где L1 — функция Лагранжа без учета связей. Уравнения Лагранжа длякоординат q̃α содержат величины Rα = −∂ Ũ /∂ q̃α , которые играют рольобобщенных сил реакции связей. Переход к исходной системе со связямизаключается в том, что координаты q̃α объявляются заданными (согласно(4)), а величины Rα — неизвестными.
Записывая же уравнение Лагранжадля координат qi , можно отбросить в (6) слагаемое Ũ и подставить q̃α = 0,q̃˙α = 0, т. е. использовать лагранжианL(q, q̇, t) = L1 (q, 0, q̇, 0, t) = T (q, q̇, t) − U (q, t).(B.7)Иначе говоря, для системы с идеальными голономными связями можно сразу же выбрать обобщенные координаты с учетом связей и только через них выразить функцию Лагранжа. Таким образом, искомые уравнениядвижения имеют видd ∂L(q, q̇, t)∂L(q, q̇, t)=,dt∂ q̇i∂qiB. Системы со связями215Если твердые тела соприкасаются, то связи оказываются идеальнымив двух предельных случаях: если трением можно пренебречь и если невозможно проскальзывание — и в том и в другом случае работа сил тренияравна нулю. Условия, ограничивающие возможные движения тел, могут содержать и скорости. Например, для цилиндра, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости (рис.
77), это условие — равенство нулюскорости его точки, касающейся плоскости:ẋ − aϕ̇ = 0,где x — координата оси, ϕ — угол поворота цилиндра. Это условие можетбыть проинтегрировано:x − aϕ = const,и связь оказывается голономной.i = 1, 2, . . . , s = 3N − n.Предоставляем читателю проверить, что эти же уравнения можно получитьиз уравнений (2), (3) с учетом условий (1). Действовать можно так. Изуравнения (3) выразим силу реакции связейРис. 77. Цилиндр катится, не проскальзывая, по неподвижной плоскостиДля шара или диска, катящегося по плоскости, условие связиRa = ma r̈a + ∂U∂raи подставим это выражение в уравнение (2):N a=1mr̈a + ∂U · δra = 0.∂raДалее следует выразить векторы ra и смещения δra через обобщенные координаты qi и соответствующие смещения δqi и воспользоваться независимостью вариаций δqi .К числу систем с идеальными голономными связями принадлежит абсолютно твердое тело.
Так называют совокупность частиц, расстояния между которыми остаются неизменными. Опыт показывает, что для описаниядвижения многих тел такая модель вполне применима. Положение твердоготела можно задавать всего шестью координатами (см. § 45).V + [Ω, a] = 0(B.8)не может быть проинтегрировано (здесь a — радиус, направленный от центра диска к точке касания). Такая связь называется неголономной. Изложенная выше схема исследования движения системы в этом случае неприменима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
