1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть xi (t) — построенные комплекснозначные решения (3). Тогдакаждый сдвиг времени на T приводит к умножению решения на μi : решеt/Tние в среднем изменяется экспоненциально. Очевидно, что xi (t)/μi —периодическая функция. Таким образом, существуют два линейно независимых комплексных решения уравнения Хилла, которые могут быть записаны в видеt/Tt/Tx1 (t) = μ1 Π1 (t), x2 (t) = μ2 Π2 (t),(C.6)где Π1 (t) и Π2 (t) — чисто периодические функции, а μ1 и μ2 связаны условием (4).6. Не сложнее, но физически более естественно сразу искать решениеболее общего уравнения, учитывающего слабое линейное трение:Подставляяẍ + 2λẋ + ω 2 (t) x = 0.(C.7)x = e−λt x̃(t),(C.8)получаем для функции x̃(t) уравнение Хилла (1).C.2.
Уравнение МатьёВыясним условия возникновения параметрического резонанса в случае, когдаω 2 (t) = ω02 (1 + h cos γt),(C.9)где γ = 2π/T , а постоянная h 1. Уравнениеẍ + ω02 (1 + h cos γt) x = 0(при произвольной величине h и γ) называется уравнением Матьё.(C.10)ДОПОЛНЕНИЯ222При учете трения уравнение (10) преобразуется к уравнению вида (7):ẍ + 2λẋ +ω02 (1+ h cos γt) x = 0,C. Параметрический резонанс223Отыскивая Π(t) в виде ряда Фурье+∞(C.10a)которое с помощью подстановки (8) сводится к уравнению Матьё.Для уравнения Матьё μ1 есть функция параметров γ и h и граница,разделяющая области устойчивости и неустойчивости, задается уравнениями μ1 (γ, h) = −1 и μ1 (γ, h) = 1, дающими кривые на плоскости (γ, h), которые будем называть нейтральными.
Построим нейтральные кривые прималых h, начиная с вырожденного случая h = 0. При h = 0 частота ω = ω0не меняется вообще и решение известно:Π(t) =An einγtn=−∞с неизвестными коэффициентами An , получаем, что решение уравнения(10) следует искать в видеx(t) = est+∞An ei (2n−1)(ω0 +/2)t .(C.11)n=−∞x1 (t) = a eiω0 t .С другой стороны, ничто не мешает нам считать, что частота ω меняетсяс произвольным периодом T = 2π/γ, хотя и нулевой амплитудой, и представить это решение в видеx1 (t) = a eiω0 t = a ei(ω0 −γ)t eiγt = ei(ω0 −γ)t Π1 (t),откуда2πμ1 = exp i(ω0 − γ) γ .Считая ω0 и γ положительными, видим, что μ1 = ±1 при условииω0nγ = 2,где n 1 — целое число, причем μ1 = −1, если n нечетно, и μ1 = 1, если nчетно.
При h 1 естественно предположить, что на нейтральной кривойчастота γ лежит близко к найденным дискретным значениям.Подставляя ряд (11) в уравнение (10) и представляя cos γt как полусуммуэкспонент, приравняем нулю коэффициенты при всех гармониках. В итоге получим бесконечную систему однородных линейных алгебраическихуравнений для коэффициентов An :012ω02 + [s + i(2n − 1)(ω0 + /2)] An == − h ω02 (An−1 + An+1 ).(C.12)2Инкремент s определяется из условия равенства нулю определителя этойбесконечной системы: (−∞ < n < +∞).Будем искать решение, используя малость параметра h.
В нулевом приближении (при h → 0) ряд (11) сводится к обычным свободным колебаниямс постоянной частотой ω0 :x(t) → a cos (ω0 t + ϕ) = A+ eiω0 t + A− e−iω0 t ,(C.13)μ1 = −esT = esT −iπ ,A± = 1 a e±iϕ .2Сравнивая (11) и (13), найдем, что в нулевом приближении s = = 0 и всеамплитуды, кроме A0 и A1 , равны нулю. Подставляя нулевое приближениев правую часть уравнения (12), найдем далее, что в первом по h приближении отличны от нуля лишь коэффициенты A−1 = (h/16) A0 и A2 == (h/16) A1 .В итоге, оставляя лишь члены первого порядка в уравнении (12), получаем систему из двух уравнений:где s — неизвестный вещественный параметр, равный нулю на нейтральнойкривой и малый положительный в области неустойчивости.2 ( + 2is) A0 − hω0 A1 = 0,2 ( − 2is) A1 − hω0 A0 = 0.C.3.
Параметрический резонанс на основной гармонике γ = 2ω0Рассмотрим основной параметрический резонанс при n = 1 и, соответственно, приγ = 2ω0 + ,где отстройка предполагается малой. Удобно представить μ1 , котороев этом случае близко к (−1), в виде(C.14)ДОПОЛНЕНИЯ224Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем для инкрементаследующее выражение1 :*2s = 1 (hω0 ) − 42 .4Отсюда, вспоминая определение , находим нейтральную кривую (s = 0):γ = 2ω0 ± h ω0 .2Область неустойчивости начинается от h = 0 и находится между расходящимися пунктирными прямыми на рис.
79; ширина этой области по частотерастет линейно с ростом h.C. Параметрический резонанс225C.4. Параметрический резонанс при γ = ω0Найдем условия возникновения резонанса при n = 2 и γ = ω0 + .Представляем μ1 , близкое к единице, в виде μ1 = esT . Ищем решениеуравнения (10) в видеx(t) = est+∞Решение уравнения с трением (10a) отличается от найденного дополнительным множителем exp(−λt) (см. уравнение (8)), поэтому для инкремента в этом случае имеем*2s = −λ + 1 (hω0 ) − 42 .4Возбуждение колебаний возможно только приh > hp1 = 4λω0и область параметрической неустойчивости находится выше сплошной кривой на рис.
79.1 Второе решение соответствует другому знаку s; движение рассматриваемого осциллятора,удовлетворяющее произвольным начальным условиям, имеет поэтому вид (31.6).(C.15)n=−∞и получаем систему уравнений для коэффициентов An012ω02 + [s + in(ω0 + )] An = − h ω02 (An−1 + An+1 ),2(C.16)которая отличается от системы (12) лишь заменами (2n− 1) → n и /2 → .Далее повторяем путь, пройденный в предыдущем разделе. Именно, сравнивая (15) и (13), находим, что в нулевом по h приближении s = = 0и все амплитуды, кроме A−1 и A1 , равны нулю. Подставляя нулевое приближение в правую часть уравнения (16), находим, что в первом по h приближении отличны от нуля лишь коэффициентыA±2 = h A±1 ,16Рис. 79. Область параметрической неустойчивости около 2ω0An ei n(ω0 +)tA0 = h (A−1 + A1 ).2(C.17)После этого, оставляя лишь члены первого порядка в уравнении (16), получаем систему из двух тривиальных уравнений:( + is) A−1 = 0,( − is) A1 = 0,из которых следует, что s = = 0 и с учетом членов первого порядка по hвключительно.Таким образом, необходимо учесть второй порядок по h, что приводитк системе уравнений4( + is)A−1 = hω0 (A−2 + A0 ),4( − is)A1 = hω0 (A2 + A0 ).(C.18)Выражаем A−2 , A0 , A2 через A−1 и A1 с помощью уравнений (17) и преобразуем уравнения (18) так, чтобы они содержали только A−1 и A1 .
Приравнивая нулю определитель полученной системы двух уравнений, получаемвыражение для инкремента:222h124ωh ω0 − 8 +.s=83 0ДОПОЛНЕНИЯ226Нейтральная кривая оказывается несимметричной и ее левая и правая ветвизадаются формулами2γл = ω0 − 5h ω0 ,242γп = ω0 + h ω0 .24Область неустойчивости начинается от h = 0 и расположена между этимиветвями, изображенными пунктирными линиями на рис.
80; ширина этойобласти по частоте растет пропорционально h2 .D. Обобщение канонических преобразований227D. Обобщение канонических преобразованийD.1. Время и энергия как канонические переменныеНапомним, что уравнения Лагранжа допускают преобразования как координат, так и времени. Можно обобщить канонические преобразованиятак, чтобы они также допускали преобразование времени.Далее канонические переменные pi , qi , i = 1, .
. . , s, сокращенно обозначаем p, q, гамильтониан H(p, q, t) может явно зависеть от времени. Введем наряду с каноническими переменными еще пару переменных q0 , p0 ,а также новый гамильтонианK(p, q, p0 , q0 ) = H(p, q, q0 ) + p0(от времени явно не зависящий). Рассмотрим уравнения Гамильтона, полученные с использованием «гамильтониана» K. Прежде всего,q̇0 = ∂K = 1,∂p0Рис.
80. Область параметрической неустойчивости около ω0Если есть трение, то инкремент оказывается равен2212h24ωs = −λ +h ω0 − 8 +,83 0а минимум на нейтральной кривой h = h(γ) смещен в точку2γmin = ω0 − h ω012и пороговое значение h в нем равноhp2 = 8λω0 .Таким образом, возбуждение колебаний возможно только при h > hp2 и область параметрической неустойчивости находится выше сплошной кривойна рис. 80.Поскольку трение предполагалось малым (λ ω0 ), видим, чтоhp2 /hp1 1 и получение даже второго резонанса затруднено. Пороги длявысших резонансов оказываются еще большими, а ширины еще меньшими.откуда следует, что q0 = t + const, и далее переменную q0 можем отождествить с временем (положив без потери общности константу равной нулю).Уравнениеṗ0 = − ∂K = − ∂H = − dE∂q0∂tdtпозволяет подобным же образом отождествить p0 с −E. Остальные уравнения Гамильтонаṗi = − ∂K = − ∂H ,∂qi∂qiq̇i = ∂K = ∂H ,∂pi∂pii = 1, .
. . , s,фактически не изменяются.Легко проверить, что для произвольной функции f (p, q, t)df= {K, f },dt(D.1)где обобщенная скобка Пуассона (для которой мы сохраняем прежнее обозначение) включает слагаемые, полученные дифференцированием функций K и f (p, q, q0 ) по p0 и q0 .Даже если исходный гамильтониан H зависит от времени, для гамильтониана K справедлив закон сохранения K = 0 (и сводится к равенствуH(p, q, t) = E(t)).ДОПОЛНЕНИЯ228D.2. Канонические преобразования, затрагивающие время и энергиюТеперь обобщение канонических преобразований легко достигается:spi dqi −i=0sPi dQi = dF(D.2)i=0(мы включили в суммы слагаемые с i = 0).
Поскольку в гамильтониан Kвремя явно не входит, при переходе к новым переменным нужно простосделать в K соответствующую подстановку.Приведенное ниже в разделе E.4 доказательство инвариантности скобок Пуассона относительно канонических преобразований переноситсяи на этот случай, а с учетом (D.1) сохраняют свой вид и уравнения Гамильтона, записанные с использованием гамильтониана K(p(P, Q), q(P, Q)).Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
