1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ось x3 (ее ортe3 ) выберем вдоль оси симметрии волчка, тогда I1 = I2 = I3 , аM1 = I1 Ω1 ,M2 = I1 Ω2 ,M3 = I3 Ω3 .(47.8)В векторной форме эти уравнения можно представить в видеΩ=1M3(M1 e1 + M2 e2 ) +e3I1I3илиΩ=Если начало отсчета подвижной системы координат x1 x2 x3 покоится, то(см.
(46.7))3dΩkdMi=,i = 1, 2, 3.(47.5)Iikdtdti = 1, 2, 3.j,k=1a— полный действующий на тело момент сил (а так как внутренние моменты сил взаимно скомпенсированы, то фактически K есть полный моментвнешних сил, действующих на твердое тело). Проецируя уравнения (3) наоси подвижной системы координат x1 x2 x3 и используя (45.6), находим199M+I1M3M3−I3I1e3 .(47.9)Эта формула очень удобна для анализа движения волчка. Из нее следует,что три вектора M, Ω и e3 всегда лежат в одной плоскости.
В рассматриваемой инерциальной системе координат XY Z вектор M неподвижен,200Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры201а движение орта e3 определяется уравнением (45.4), которое с учетом (9)гласитde3M= [Ω, e3 ] =, e3 .(47.10)dtI1равнаИными словами, ось симметрии волчка вращается с постоянной угловойскоростью M/I1 вокруг направления момента импульса.
Конечно, при таком вращении проекция момента импульса на ось симметрии M3 остаетсянеизменной, а вектор угловой скорости Ω вращается с той же угловой скоростью, что и ось симметрии.Угловые скорости этих двух вращений, прецессии Ωпр и собственного вращения Ωсоб. вр. в сумме составляют полную угловую скорость вращенияволчка:Ω = Ωпр + Ωсоб. вр.
.(47.13)Ωсоб. вр. =M3M3−I3I1I3e3 = 1 −Ω3 e 3 .I1(47.12)Наглядное истолкование собственного вращения можно получить, если отрассматриваемой инерциальной системы координат перейти к системе координат, вращающейся с угловой скоростью Ωпр . В этой системе волчоквращается с угловой скоростью, равной разнице Ω − Ωпр , которая как рази равняется угловой скорости собственного вращения Ωсоб. вр.
.В качестве иллюстрации полученных результатов рассмотрим свободное движение матрешки в инерциальной системе координат, описаннойвыше. Обычно матрешка представляет собой тело вращения. Ось симметрии x3 проходит через неподвижный центр инерции матрешки и вращается с угловой скоростью Ωпр вокруг направления момента импульса. Дляопределенности пусть в начальный момент времени угол между моментомимпульса M и осью симметрии равен αM = 60o .
Тогда угол αΩ междуугловой скоростью Ω и осью симметрии может быть найден из уравненияРис. 71. Свободное движение симметрического волчкаtg αΩ =Это означает, что три вектора M, Ω и e3 не только всегда лежат в однойплоскости, но и сохраняют в этой плоскости неизменным взаимное расположение и свои длины. Отсюда следует, что в рассматриваемой инерциальной системе координат (в которой момент импульса неподвижен) векторыΩ и e3 лежат в одной плоскости и вращаются по коническим поверхностямвокруг направления момента импульса (рис. 71) с одной и той же угловойскоростью.
Такое движение волчка называется регулярной прецессией, а егоугловая скорость — скорость прецессии Ωпр — равнаΩпр =M.I1(47.11)Помимо регулярной прецессии, происходит, конечно, и вращение волчка вокруг вращающейся оси симметрии, называемое собственным вращением волчка. Соответствующая угловая скорость собственного вращенияΩ⊥M⊥ /I1I3==tg αM ,Ω3M3 /I3I1(47.14)M⊥ ≡ M1 e1 + M2 e2 = I1 Ω⊥ .При дальнейшем движении матрешки оба эти угла сохраняют свои значения. Если матрешка — одноцветное тело вращения, то мы не сможем наблюдать ее собственное вращение. Например, через время Tпр = 2π/Ωпрось симметрии матрешки вернется в начальное положение, но мы не сможем отличить новое положение матрешки от начального.
Если же матрешкараскрашена, например, на ней нарисовано лицо и в начальный момент времени это лицо было в положении анфас, то через время Tпр мы обнаружимэто лицо повернутым на уголΩсоб. вр.I1ψ = Ωсоб. вр. · Tпр = 2π= 2π− 1 cos αM .(47.15)ΩпрI3Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА202§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры203Рассмотрим два варианта: «худая» матрешка,I1 = 2I3 ,и «полная» матрешка,I1 = 3 I3 .4В первом случае угол αΩ ≈ 40◦ , расположение векторов M, Ω и e3 примерно такое же, как и на рис.
70, и через время Tпр угол ψ = π (т. е. «худая»матрешка окажется повернутой к нам затылком). Попробуйте сами определить взаимное расположение векторов M, Ω и e3 для «полной» матрешкии ее угол поворота ψ через время Tпр .В заключение этого раздела рассмотрим движение симметрическоговолчка, который в инерциальной системе координат имеет закрепленнуюнеподвижную точку O, расположенную на оси симметрии волчка.
Пустьl — вектор, проведенный из точки O в центр инерции волчка вдоль осисимметрии. Если на волчок действуют только силы, приложенные в неподвижной точке O, то в инерциальной системе координат XY Z с началом отсчета в точке O момент этих сил равняется нулю и потому момент импульсаволчка сохраняется. Легко видеть, что в этом случае уравнения движениясвободного волчка (8)–(13) сохраняют свой вид при заменеI1 →I12= I1 + ml .вокруг постоянного вектора момента импульса M.47.3.
Быстрый волчок в поле тяжестиТеперь рассмотрим движение описанного выше волчка в условиях,когда на него помимо силы, приложенной в неподвижной точке O, действует еще и сила тяжести mg, причем для определенности будем считать,что неподвижная точка расположена ниже центра инерции волчка (рис. 72).Общее решение этой задачи дано в [1, § 35, задача 1]. Мы рассмотрим здесьтолько случай «быстрого волчка», когда его кинетическая энергия велика:M2 mgl.I3В этих условиях в первом приближении можно пренебречь влиянием силытяжести, и тогда мы приходим к уже рассмотренной выше задаче с постоянным моментом импульса и прецессирующей вокруг него с угловойскоростью (17) осью симметрии. В данной задаче эта величина называетсяугловой скоростью нутацииΩнут =(47.16)В частности, ось симметрии волчка и вектор l вращаются с угловой скоростьюMΩпр = (47.17)I1T ∼Рис.
72. Быстрый волчок в поле тяжести(47.18)M.I1(47.19)В следующем приближении учтем влияние силы тяжести, при этомуравнение для момента импульса волчка (3) примет видdM= [l, m g].dt(47.20)Приближенное решение этого уравнения можно провести, разделяя быстрые и медленные движения векторов M и l, подобно тому, как это делалось в § 32 про маятник Капицы.
Именно, представим эти векторы в видеM = M + δM и l = l + δl, где символ . . . означает усреднение побыстрому вращению с угловой скоростью (19), в частностиl =Ml cos αM ,M(47.21)где αM — угол между вектором M и осью симметрии волчка. Для медленноизменяющихся усредненных величин из уравнения (20) находимdM= [ l , mg] = [Ωпр , M],dtΩпр = −ml cos αMg.M(47.22)204Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА§ 48. Углы Эйлера205Отсюда видно, что вектор момента импульса прецессирует (вращается с угловой скоростью Ωпр ) вокруг вертикального направления.
В силу неравенства (18) отношение скоростей Ωпр и Ωнут (19), как мы и предполагали,оказывается малым:Ωпрmglmgl 1.∼ 2 ∼ΩнутM /I1T(47.23)Таким образом, ось симметрии быстрого волчка вращается с большой угловой скоростью (19) вокруг направления момента импульса, а сам моментимпульса в среднем медленно вращается вокруг вертикального направления с угловой скоростью Ωпр .Приведем еще пример. Земля может рассматриваться как слегкасплюснутый эллипсоид, т. е. как быстрый симметрический (не шаровой!)волчок, притяжение Солнца и Луны приводит к прецессии земной оси с периодом около 26 тысяч лет (так называемое предварение равноденствий,см. [3, задача 9.15]).Рис.
73. Волчок с неподвижной точкой Oваться в горизонтальной плоскости (рис. 74). Исследовать движение гирокомпаса на широте α. Угловая скорость вращения Земли ω.Задачи47.1. Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковымипо величине угловыми скоростями ω, медленно сблизившись, жестко состыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегося тела. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло.До состыковки угловые скорости шаров были направлены:а) перпендикулярно линии центров и параллельно друг другу;б) одна — вдоль линии центров, другая — перпендикулярно.47.2. Волчок с неподвижной точкой опоры O, вращавшийся с угловойскоростью Ω вокруг своей оси (скорость прецессии считаем малой), касается горизонтальной плоскости краем диска (рис.
73). Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится. В момент касаниянутаций не было.47.3. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются(за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земливокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять для простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскостиорбит Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю однороднымшаром с радиусом a = 6,4 тыс.
км и массой M , в 81 раз большей массыЛуны m; расстояние от Земли до Луны R = 380 тыс. км.47.4. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся c постоянной угловой скоростью Ω диск, ось которого может свободно поворачи-Рис. 74. Гирокомпас§ 48. Углы ЭйлераОриентацию подвижной системы координат x1 x2 x3 (будем далее обозначать ее K), связанной с твердым телом, относительно неподвижной системы XY Z (далее — K0 ) принято задавать с помощью трех углов2 , называемых углами Эйлера. Плоскости XY и x1 x2 пересекаются по прямой,которая называется линией узлов N (рис. 75). Пусть для начала подвижная система координат совпадает с системой K0 .
Переход к системе Kможно произвести с помощью трех последовательных поворотов. Сначала2 Если, к примеру, речь идет о велосипедном колесе, то это могли бы быть угол, определяющий направление движения, угол наклона плоскости колеса и угол, фиксируемый счетчикомоборотов.206Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАпроведем поворот на угол ϕ вокруг оси Z, при этом ось x1 совместитьсяс линией узлов. Далее проведем поворот на угол θ вокруг линии узлов3 .Третий поворот проведем вокруг оси x3 полученной системы координат наугол ψ.
Углы Эйлера ϕ, θ, ψ называются соответственно углами прецессии,нутации и собственного вращения. Соответствующие векторы угловых скоростей ϕ̇, θ̇ и ψ̇ направлены вдоль оси Z, вдоль линии узлов N и вдольоси x3 (рис. 75).§ 48. Углы Эйлера207Пусть оси системы K направлены по главным осям инерции. Тогдакинетическая энергия (46.11), связанная с вращением твердого тела,T = 1 I1 Ω21 + I2 Ω22 + I3 Ω23 ,2(48.2)с учетом (1) также выражается через эйлеровы углы. В частности, кинетическая энергия симметрического волчка (выбираем оси x1 x2 x3 так, чтобыI1 = I2 )T = 1 I1 (θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ) + I3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇)2 .(48.3)2Выражения (2), (3) можно теперь использовать для записи функции Лагранжа L.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
