1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 25
Текст из файла (страница 25)
. , ws , I1 , . . . , Is , называемые угловыми переменными и переменными действия. Они позволяют дать единое и очень простое описание всех таких систем. Кроме того,они полезны при исследовании механических систем, которые получаютсяв результате более или менее значительной модификации исходных и недопускают разделения переменных. Нередко современные исследования понелинейной механике стартуют сразу с формулировки задачи в переменныхдействие–угол. Мы начнем со случая, когда функция Гамильтона системыне зависит от времени явно: ∂H/∂t = 0.42.1. Системы с одной степенью свободыРассмотрим сначала систему с одной степенью свободы с гамильтонианом H(p, q), совершающую периодическое движение. Покажем, что длятакой системы можно ввести новые канонические переменные (координату w и импульс I), в которых движение рассматриваемой системы выглядитГлава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА172предельно просто, даже если в исходных переменных q и p это движениебыло достаточно сложным. Именно, импульс I сохраняется, а координата wлинейно растет со временем, что соответствует свободному движению точки в этих переменных.
При этом вся индивидуальность исходной системыбудет «спрятана» в формулах связи старых и новых переменных, так чтоновое описание будет совершенно одинаковым для самых разных систем.Прежде чем переходить к общему случаю, рассмотрим поучительный пример.Пример. Гармонический осциллятор с гамильтонианомH(p, x) =p2+ 1 mω 2 x2 .2m 2(42.1)Новые переменные введем соотношениями (их можно получить, используяпроизводящую функцию (11), приводимую ниже)√2I sin w,p = 2mωI cos w.(42.2)x = mωЛегко проверить, чтоне зависит от координаты w, поэтому новый импульс сохраняется I = constи равенI= E(42.3)ω,так как в данной задаче гамильтониан H = E = const.Уравнение Гамильтона для новой координатыw(t) = ω t + w0 .Рис.
60. Фазовые траектории гармонического осциллятора в исходных переменныхp, x и в переменных действие–угол I, wПерейдем теперь к общему случаю одномерного движения. В этом случае вопрос о разделении переменных тривиален. Из равенстваH(p, q) = E(42.6)выразим p = p(q, E) и найдем укороченное действиеqp(q, E) dq.(42.7)p(q, E) dq,(42.8)q0т. е. что преобразование (2) является каноническим. Новая функция ГамильтонаH (I, w) = H(p(w, I), x(w, I)) = ωI∂H =ω∂Iприводит к тривиальному закону движения:173S0 (q, E) ={p, x}I,w = 1,ẇ =§ 42.
Переменные действие–угол(42.4)(42.5)На рис. 60 показаны фазовые траектории в исходных переменных p x,имеющие вид эллипсов, и прямолинейные фазовые траектории в переменных действие–угол.Определим величину I какI(E) =12π-где интеграл берется по периоду движения (имея в виду, например, маятник, можно представлять себе, что в зависимости от энергии период движения есть либо период колебания, либо период полного обращения маятника). Наглядный смысл величины S0 (q, E) — площадь на фазовой плоскости,отмеченная на рис.
61, а величина 2πI соответствует площади, ограниченной фазовой траекторией за период движения. Отметим, что укороченноедействие является неоднозначной функцией координаты, вырастая за период на величину 2πI, так что после n периодов движения приращениеΔS0 = 2πn I.(42.9)Выразив из (8) E(I) и подставив в (7), получим функциюΦ(q, I) = S0 (q, E(I)).(42.10)Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА174Рис. 61.
Геометрический смысл укороченного действия — выделенная площадь нафазовой плоскостиЕе и примем за производящую функцию канонического преобразования,в котором I — новый импульс7 . Связь новых канонических переменных состарыми определяется соотношениями вида (36.16)p=∂Φ(q, I),∂qw=∂Φ(q, I).∂I(42.12)Новый гамильтониан фактически уже известен, он не зависит от координаты w:H (I, w) = E(I).(42.13)Уравнения Гамильтона∂E∂E∂H =−= 0, ẇ =I˙ = −∂w∂w∂Iприводят к закону движения для новых переменных(42.14)∂Et + w0 .∂IВеличину ∂E/∂I находим с помощью (8):1∂p(q, E)∂I=dq.∂E2π∂EI = const,w=7В=рассмотренном примере гармонического2mE − (mωx)2 , укороченное действиеосциллятора(42.15)импульсp(x, E)=p(x, E) dx =x0= 1 x 2mE − (mωx)2 + Eω arcsin2Отсюда производящая функцияΦ(x, I) = 1 x22mωI − (mωx)2 + I arcsinm ωx2Em ωx2ωI175Чтобы найти производную ∂p(q, E)/∂E, подставим p = p(q, E) в уравнение (6) и, продифференцировав полученное тождество H (p(q, E), q) = Eпо E, получим∂H ∂p= 1,∂p ∂Eоткуда∂p11== ,(42.17)∂E∂H/∂pq̇так что∂I1T1dq=== ,(42.18)∂E2πq̇2πωгде T = 2π/ω — период движения, а ω — частота.
В общем случае частотаω зависит от энергии, т. е. от I. Итак,I = const,w = ω(I) t + w0 .42.2. Системы со многими степенями свободыДля системы со многими степенями свободы и функцией Гамильтона,не зависящей явно от времени (∂H/∂t = 0), можно ввести переменные действия и угловые переменные в случае, если переменные разделяются. Действуем вполне аналогично, но заменяем в (7) функцию S0 на Si из (41.7).При этом каждая из переменных Ii оказывается функцией s произвольныхпостоянных αj , в том числе и энергии E. Новая функция Гамильтона есть(42.19)а пары канонически сопряженных координат и импульсов qi , pi — функции «своих» wi и всех переменных Ij .
Параметры αi также могут бытьвыражены через Ij :(42.20)αi = αi (I1 , . . . , Is ).Переменные Ii играют особую роль при переходе к квантовой механике. В так называемом квазиклассическом приближении они могутпринимать лишь дискретный ряд значений (правила квантования Бора–Зоммерфельда):Ii = ni h̄+ 2πn Eω + const.+ 2πn I + const.(42.19)Угловая переменная w так же, как и укороченное действие, является неоднозначной функцией координаты q. За период движения переменная w увеличивается на 2π (ср.
(9)). Переменные q и p — периодические функции w.H = E(I1 , . . . , Is ),(42.16)xS0 (x, E) =§ 42. Переменные действие–угол(42.11)(здесь ni — целые числа, а h̄ — постоянная Планка или квант действия).176Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКАПусть теперь функция Гамильтона механической системы с одной степенью свободы зависит от параметра λ = λ(t), изменяющегося со временем. При этом функция Гамильтона H = H(p, q, λ) приобретает явнуюзависимость от времени через этот параметр, а энергия системы E не сохраняется.
Переход к каноническим переменным w, I в этом случае проводится по тем же формулам (8)–(10), (12), в которых, однако, теперь появитсяпараметр λ. В частности, импульс p = p(q, E, λ) находится из уравнения(42.21)при фиксированном значении λ. После этого определяется укороченноедействие S0 (q, E, λ) и производящая функция Φ(q, I, λ).Новая функция Гамильтона согласно (36.16) равна∂Φ(q, I, λ)=∂t∂Φ(q, I, λ)= E(I, λ) + λ̇.∂λH (I, w, λ) = E(I, λ) +(42.22)В этом выражении переменная q в функции ∂Φ(q, I, λ)/∂λ должна быть заменена на q = q(w, I), найденное из равенств (12). Обозначим полученнуютаким образом функцию через∂Φ(q, I, λ) Λ(I, w, λ) =.∂λq=q(w,I)177и уравнения Гамильтона для новых переменных (ср. (14), (18))42.3. Функция Гамильтона, зависящая явно от времениH(p, q, λ) = E§ 43. Адиабатические инварианты(42.23)Отметим сразу же, что функция Λ(I, w, λ) является (в отличие отΦ(q, I, λ)) однозначной функцией8 переменной w.
Действительно, дифференцирование функции Φ(q, I, λ) по λ совершается при фиксированномзначении I, поэтому добавка 2πI, возникающая после каждого периода колебаний (см. формулы (9), (10)), исчезает.Окончательно получаем новую функцию ГамильтонаI˙ = −λ̇ ∂Λ ,∂wẇ = ω + λ̇ ∂Λ .∂I(42.25)Эти уравнения удобны для построения теории возмущений в случае, когдавеличина λ̇ оказывается малой (см.
§ 43.3).Пример. Гармонический осциллятор с частотой, зависящей от времени:p2H(p, x, ω) =+ 1 mω 2 (t)x2 .(42.26)2m 2В этом случае параметром λ является частота ω = ω(t). Производящаяфункция Φ(q, I, λ) и связь старых и новых переменных определяютсяпрежними формулами (11) и (2), в которых, однако, величина ω зависитот времени. Новая функция Гамильтона согласно (22)–(24) равнаH (I, w, ω) = ωI + ω̇∂Φ(q, I, ω)=∂ω= ωI + ω̇2mωI − (mωx)2 = ωI + ω̇ I sin 2w,2ω2ωа уравнения движения таковыω̇(t)I˙ = −I cos 2w,ω(t)ẇ = ω(t) +ω̇(t)sin 2w.2ω(t)(42.27)(42.28)Если частота изменяется медленно и плавно, то правая часть уравнения для действия дополнительно мала из-за того, что при малом параметреω̇(t) стоит осциллирующий множитель cos 2w.
Поэтому при усреднении запериод движения правая часть исчезает, т. е. действие в среднем сохраняется (подробнее см. [3, задача 13.10]).§ 43. Адиабатические инварианты43.1. Постановка задачи и результатH (I, w, λ) = E(I, λ) + λ̇ Λ(I, w, λ)8 Если(42.24)параметр λ не изменяется с течением времени, то движение системы является периодическим и однозначная функция Λ(I, w, λ) является периодической функцией переменной w.Пусть механическая система с одной степенью свободы совершает колебания в условиях, когда ее параметр λ адиабатически медленно изменяется.
Слова «адиабатически медленно» означают, что изменение этого параметра происходит медленно и плавно. Иными словами, изменение этогоГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА178параметра ∼ λ̇ T за период колебания T мало по сравнению с самим параметром λ, а также скорость этого изменения λ̈ мала по сравнению с λ̇/T :λ̇ T λ,λ̈ T λ̇.(43.1)Пусть H(p, q, λ) — гамильтониан такой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
