1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 22
Текст из файла (страница 22)
[1, § 45]). Новая функцияГамильтона∂H(P, q, t)∂Φ= H(p, q, t) + δτ≈∂t∂tdH(p, q, t)≈ H(p, q, t) + δτ= H(p, q, t + δτ )dtH (P, Q, t) = H(p, q, t) +Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА152также соответствует сдвигу по времени на δτ . Отсюда следует, что, совершая последовательные малые сдвиги по времени, можно получить конечный сдвиг по времени и показать, что преобразованиеQ(t) = q(t + τ ),P (t) = p(t + τ )(36.19)также является каноническим.
Производящая функция для этого преобразования будет указана в § 39.2.В заключение этого раздела упомянем, что канонические преобразования особенно просто выглядят в формализме внешних дифференциальных форм. Этот вопрос рассматривается в Дополнении E. В частности,в этом формализме легко доказываются следующие важные свойства канонических преобразований: скобки Пуассона инвариантны относительноканонических преобразований; якобиан канонического преобразования (1)равен единице (это означает, что при канонических преобразованиях фазовый объем сохраняется).В стандартном подходе доказательство этих свойств выглядит заметноболее громоздким (см. ниже § 37, 40).Задачи36.1. Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых производящими функциями:а) Φ(r, P) = rP + δaP;б) Φ(r, P) = rP + δϕ[r, P].Здесь r — декартовы координаты, а δa и δϕ — бесконечно малые параметры.36.2. Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей функциейΦ(x, y, Px , Py ) = xPx + yPy + ε(xy + Px Py ),где ε → 0, представляет собой поворот в фазовом пространстве.§ 37.
Канонические преобразования и скобки ПуассонаСуществует тесная связь между каноническими преобразованиямии скобками Пуассона. В этом разделе мы обсудим два важных свойстваскобок Пуассона. Во-первых, покажем, что скобки Пуассона инвариантны относительно канонических преобразований, а во-вторых, представимпростой и конструктивный способ проверки с помощью так называемыхфундаментальных скобок Пуассона того, является ли данное преобразование каноническим.§ 37.
Канонические преобразования и скобки Пуассона15337.1. Инвариантность скобок Пуассона относительно каноническихпреобразованийДокажем, что скобки Пуассона инвариантны относительно канонических преобразований. При этом удобно использовать тот же формальныйприем, что и при доказательстве тождества Якоби в § 35.2. Пусть f и h —некоторые функции q, p и t. Напомним, что в канонических преобразованиях время есть параметр, и будем далее считать t = const. Положим,что h(q, p, t) есть «гамильтониан» некоторой воображаемой механическойсистемы. Как и в § 35.2, это предположение означает, что развитие qi и piв зависимости от воображаемого «времени» τ (никак не связанного с реальным временем t) определяется «каноническими уравнениями» (35.9), изкоторых можно найти qi и pi как функции τ , а значит, и f (q(τ ), p(τ ), t) какфункцию τ . При этом в согласии с (35.3) ∂h ∂f∂h ∂fdf= {h, f }p,q ≡−.(37.1)dτ∂pi ∂qi∂qi ∂piiДля канонического преобразования q, p → Q, P вида (36.1), в которое «время» τ явным образом не входит, новый «гамильтониан» естьh (Q, P, t) = h(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t),(37.2)и поэтому производная по τ от f (q(Q, P, t), p(Q, P, t), t) задается формулой ∂h ∂fdf∂h ∂f= {h , f }P,Q ≡−.(37.3)dτ∂Pi ∂Qi ∂Qi ∂PiiЛевые части формул (1) и (3) совпадают, поэтому совпадают и правые частиэтих соотношений, что с учетом (2) приводит к искомому равенству:{h, f }p,q = {h, f }P,Q .(37.4)37.2.
Необходимый и достаточный признак того, что преобразованиеявляется каноническимМы уже отмечали, что определение канонических преобразований,данное в § 36.1, не очень наглядно. Кроме того, оно еще дополнительнои не очень эффективно в том смысле, что с его помощью часто не оченьпросто проверить, что данное преобразование является каноническим. Поэтому особую важность имеет установление простого и конструктивногоГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА154признака того, что преобразование каноническое.
Оказывается, чтобы преобразование q, p → Q, P вида (36.1) было каноническим, необходимо и достаточно выполнение следующих равенств для так называемых фундаментальных скобок Пуассона:{Qi , Qj }p,q = 0,{Pi , Pj }p,q = 0,{Pi , Qj }p,q = δij .(37.5)Если данное преобразование каноническое, то соотношения (5) необходимо следуют из равенств (4). Например: ∂Qi ∂Qj∂Qi ∂Qj{Qi , Qj }p,q = {Qi , Qj }P,Q =−= 0, (37.6)∂Pk ∂Qk∂Qk ∂Pkkтак как ∂Ql /∂Pk = 0 из-за независимости канонических координат и импульсов.Сложнее доказывается достаточность. Пусть q, p — канонические переменные, а преобразование к новым переменным Q, P вида (36.1) таково,что для них выполняются соотношения (5). Покажем, что(pi dqi − Pi d Qi )iесть полный дифференциал (при фиксированном значении времени t == const) некоторой функции F .
Перейдем к переменным Q, P : ∂qi∂qi(pi dqi − Pi d Qi ) =pidQk +dPk −Pi d Qi . (37.7)∂Qk∂PkiiikЧтобы это выражение было полным дифференциалом dF , достаточно, какизвестно, выполнение следующих равенств:∂2F∂2F=,∂Qj ∂Ql∂Ql ∂Qj∂2F∂2F=,∂Pj ∂Pl∂Pl ∂Pj∂2F∂2F=.∂Pj ∂Ql∂Pl ∂Qjили[Pj , Ql ]p,q ∂pi ∂qi∂pi ∂qi≡−= δjl .∂Pj ∂Ql∂Ql ∂Pjii155(37.9a)Введенная здесь величина [f, g]p,q называется скобкой Лагранжа. Изостальных равенств (8) аналогично получаем[Qj , Ql ]p,q = 0,[Pj , Pl ]p,q = 0.(37.9b)Таким образом, если для скобок Лагранжа от новых переменных Q, P справедливы соотношения (9), то данное преобразование является каноническим.Следующий шаг состоит в переходе от скобок Лагранжа к скобкам Пуассона, которые являются как бы «обратными величинами» скобокЛагранжа.
Обозначим u1 = Q, u2 = Q2 , . . . , us = Qs , us+1 = P1 , . . . , u2s == Ps и введем две квадратные 2s × 2s матрицы L̂ и P̂ , элементы которыхсутьLij = [ui , uj ], Pij = {ui , uj }; i, j = 1, 2, . . . , 2s.Нетрудно показать (см. [2, § 8.4]), что эти матрицы взаимно обратны, т. е.L̂ P̂ = Ê или L̂−1 = P̂ , где Ê — единичная матрица. После этого почтиочевидно, что из равенств (5) следуют соотношения (9).§ 38.
Примеры канонических преобразованийПример 1. Используя условия (37.5), легко показать, что линейное преобразованиеQ = α x + β p, P = γ x + δ p,(38.1)где α, β, γ, δ — комплексные числа или функции времени, является каноническим, если{P, Q}p,x = αδ − βγ = 1.Пример 2. Частным случаем преобразования (1) является поворот наугол ϕ в плоскости x, p/(mω) (рис. 56). Для гармонического осциллятораx = A cos(ωt + ϕ0 ),Рассмотрим последнее равенство.
Из него следует, что ∂qi ∂qi∂∂pi− Pl =pi∂Pj∂Ql∂Ql∂Pji(37.8)§ 38. Примеры канонических преобразованийp = −mωA sin(ωt + ϕ0 )(38.2)такой поворот (по часовой стрелке!) с ϕ = ωt приводит к новым каноническим переменнымQ = A cos ϕ0 ,P = −mωA sin ϕ0 ,Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА156§ 38. Примеры канонических преобразований157Легко сообразить, что каноническими переменными являются такжевеличиныaeiωt и ia∗ e−iωt .Для гармонического осциллятора (2) такие величины не зависят от времени, а новый гамильтониан H = 0. Об использовании таких переменныхв ряде задач о нелинейных колебаниях см.
[3, задачи 11.25, 11.27].Пример 4. Для частицы в однородном магнитном поле, направленномпо оси z, введем переменныеРис. 56. Поворот на угол ϕ по часовой стрелке на плоскости x, p/(mω) — каноническое преобразованиеPX = px = mvx ,PY = py = mωx0 ,не зависящим от времени, и к новому гамильтониануH = 0.Такие простые канонические переменные и тривиальный вид нового гамильтониана интересны не сами по себе, а как первый шаг для построениятеории возмущений в случае, если исходный гамильтониан отличается отгамильтониана гармонического осциллятора малыми добавками (см., например, [3, задача 11.28]).Пример 3.
В квантовой теории гармонического осциллятора важнуюроль играют следующие комбинации координат и импульсов:a=mωx + ip√,2mωa∗ =mωx − ip√2mω(38.3)(им соответствуют операторы уничтожения и рождения квантов). Можноубедиться, чтоQ = a, P = ia∗(38.4)являются каноническими переменными. Для гармонического осциллятора(2) новые канонические переменные зависят от времени следующим образом:mωmωQ=a=A e−i(ωt+ϕ0 ) ,A e+i(ωt+ϕ0 ) , (38.5a)P = ia∗ = i22а новый гамильтониан имеет простой видH = ωa∗ a = −iωQP.(38.5b)vypyX = x − mω = − ω ,pxY = y − mω = y0(см. пример 1 в § 33.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
