1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В задаче о вынужденных колебаниях заданы частота γ и амплитуда f внешнейсилы, а требуется определить амплитуду b основной гармоники (амплитудыостальных гармоник могут быть найдены способом, повторяющим использованный ранее, и даются теми же формулами, что и ранее с заменой ω0на γ). Амплитуда основной гармоники b и сдвиг фазы δ находятся из уравнения, которое получается при приравнивании вкладов, соответствующихколебаниям на основной частоте 2f−γ + ω 2 b cos(γt + δ) − 2λγb sin(γt + δ) = m cos γt,κ=23β− 5α 3 .8ω012ω0(30.4)Подставивcos γt = cos(γt + δ − δ) = cos (γt + δ) cos δ + sin (γt + δ) sin δв правую часть уравнения (3) и приравняв коэффициенты при cos(γt + δ)и sin(γt + δ) в правой и левой частях полученного уравнения, находимf(ω 2 − γ 2 ) b = m cos δ,f−2λγb = m sin δ.(30.5)и представляет собой уравнение третьей степени по b2 :b22f2ω02 + 2κω0 b2 − γ 2 + 4λ2 γ 2 = 2 .mРис.
51. Зависимость амплитуды линейных (тонкие кривые) и нелинейных (жирныекривые) колебаний b от частоты вынуждающей силы γ для различных значенийкоэффициента затухания λПоложение максимума кривой b(γ) и его величина формально определяются соотношениями (22.5) и (22.6) с заменой (5). Поэтому при положительном κ можно ожидать, что по сравнению с линейным случаемположение максимума нелинейного резонанса сместится направо, а его величина уменьшится (при отрицательном κ положение максимума нелинейного резонанса сместится налево, а его величина увеличится). Зависимостьb(γ) для разных значений λ при фиксированном положительном значенииκ изображена на рис.
51 жирными линиями. Для сравнения тонкие линииизображают кривые для тех же значений λ при κ = 0. Видно, что с уменьшением λ не только происходит смещение максимума кривых, но появляются перегибы и возникает область значений γ, в которой данной частотевнешней силы отвечает три разных значения амплитуды b(γ). Рассмотримподробнее окрестность резонанса в случае слабого трения λ ω0 .
Обозначая расстройку частоты = γ − ω0и используя приближенные соотношения (22.8), получаемОтсюда можно найти b и δ. Уравнение для определения b отличается отсоответствующего уравнения (22.4) в линейном случае лишь заменойω02 → ω 2 = (ω0 + κb2 )2 ≈ ω02 + 2κω0 b2125(30.3)где ω = ω0 + δω и δω — нелинейный сдвиг частоты собственных колебаний(29.8), пропорциональный квадрату амплитуды.
Далее будем писатьω = ω0 + κb2 ,§ 30. Нелинейные резонансы(30.6)b2 [( − κb2 )2 + λ2 ] =f2.4m2 ω02(30.7)Это уравнение является кубическим относительно b2 , а относительно —квадратным. При каждом b < bmax ≈ f /(2mω0λ) имеется два значения :2f2− λ2 .(30.8) = κb ±2mω0 b126Глава III. КОЛЕБАНИЯВ отсутствие нелинейности (κ = 0) резонансная кривая совпадает с полученной в линейном случае (рис. 52, а). Легко представить, как она деформируется с ростом κ при постоянной амплитуде силы f .
Будем считатьκ > 0. Максимальная амплитуда колебаний осталась приблизительно такой§ 30. Нелинейные резонансы127исходит переход к этой качественно новой зависимости. Приравнивая нулюпервую и вторую производные функции (b2 ) из уравнения (8) по b2 , найдем, что касательнаябудет вертикальной в точке перегиба с координатой√b2 = 2λ/( 3κ) при условииm2 ω02 λ3.κ = κк ≡ 32√f23 3(30.9)(Заметим, что при отрицательном κ максимум резонанса сдвигается влевои «опрокидывание» резонансной кривой происходит при κ < −κк .) Если рассматривать изменение резонансной кривой b() с ростом амплитудывнешней силы f при постоянном значении κ, то «опрокидывание» резонансной кривой произойдет при'((m2 ω02 λ3.(30.10)f > f к = ) 32√|κ|3 3Рис.
52. Зависимость амплитуды нелинейных колебаний b от расстройки частотывынуждающей силы = γ −ω0 для различных значений параметра нелинейности κже, как и в линейном случае. По сравнению с линейным случаем каждая пара точек, соответствующая заданной амплитуде b, смещена вправо по оси на κb2 (рис.
52, б), при этом наибольшее смещение испытывает точка,соответствующая bmax . Поэтому с ростом κ на правой ветви резонанснойкривой b() касательная станет вертикальной в некоторой точке. Одновременно это будет точка перегиба. Качественно новым резонанс становитсяпри еще больших κ. Теперь имеется интервал значений 1 < < 2 , внутри которого заданному значению соответствует три значения амплитудыколебаний (рис. 52, в). Найдем критическое значение κк , при котором про-Проследим теперь за изменением амплитуды колебаний при медленном (адиабатическом) изменении для резонансной кривой ABCDEF ,изображенной на рис. 52, в. При возрастании из области отрицательныхзначений амплитуда колебаний меняется по ветви ABC, а в точке C скачком уменьшается до значения, соответствующего точке E на нижней ветвиDEF («срыв» колебаний).
При уменьшении из области положительныхзначений амплитуда колебаний меняется по линии F ED и скачком возрастает до значения, соответствующего точке B на резонансной кривой(«жесткое возбуждение» колебаний). Таким образом, амплитуда колебанийв интервале 1 < < 2 может иметь два разных значения в зависимостиот предыстории системы.
Можно показать, что третье значение амплитуды,соответствующее ветви CD, — неустойчиво, а колебания, соответствующиеветвям ABC и F ED, устойчивы.На рис. 53 приведенные выше результаты приближенных аналитических вычислений сопоставляются с численными расчетами движения согласно уравнению (1). Для расчетов выбрана потенциальная энергия математического маятника длины l при малых углах отклонения ϕ = x/l:1124ϕ − ϕ = m ω02 x2 + m βx4 .U = mgl(1 − cos ϕ) ≈ mgl22424Были приняты значенияα = 0,β=−ω026l3,λ = 0.095 ω0,f = 0.26 mω02l.128Глава III. КОЛЕБАНИЯ§ 31. Параметрический резонанс129использование резонансной внешней силы.
Второй способ состоит в том,чтобы в определенные моменты приседать и выпрямляться. Хорошо известно, что для раскачивания нужно вставать, когда качели находятся в самом нижнем положении, и приседать, когда они максимально отклонены,так что частота приседаний оказывается вдвое больше частоты колебаний.В терминах механики это есть использование резонансного изменения параметра системы — эффективной длины качелей, а само явление называетсяпараметрическим резонансом.Качели с периодически приседающим человеком — это маятник массы m с периодически меняющейся длиной l(t). Используя в качестве координаты угол отклонения от вертикали, который обозначим x, получаемфункцию Лагранжа для малых колебаний (ср.
(12.8))Рис. 53. Результаты численных расчетов уравнения (1). Значками «+» отмеченывеличины амплитуды установившихся колебаний при возрастании частоты внешнейсилы γ, значками «o» — при ее уменьшении. В окрестности скачков шаг изменениячастоты уменьшенКривая, полученная путем аналитических расчетов по формуле (7), показана сплошной линией. Отрицательному значению β отвечает уменьшениечастоты свободных колебаний маятника с ростом амплитуды, поэтому максимум кривой лежит при отрицательном значении . Крестиками показаныамплитуды установившихся колебаний, полученные в результате численного решения уравнений (1) при увеличении частоты внешней силы очень малыми шагами. Ноликами — амплитуды, полученные таким же образом приуменьшении частоты. При изменении частоты вынуждающей силы весьмасущественно было, чтобы фаза этой силы изменялась без скачков.
Именноэто обеспечило «прохождение» вдоль резонансной кривой как в сторонуувеличения частоты, так и в сторону уменьшения, поскольку установившиеся значения амплитуды и фазы колебаний x(t) с изменением частотыизменяются мало.В результате наблюдались скачки, описанные выше. Видно также отличие результатов численного расчета от «предсказаний» аналитическихвычислений (7). Объяснение этого расхождения в том, что при аналитических вычислениях не были учтены вклады высших гармоник, пренебрегатькоторыми при x ∼ l не совсем корректно.§ 31. Параметрический резонансВспомним, как можно раскачивать качели.
Самый простой способ —подталкивать их в такт раскачиваниям. В терминах механики это естьL=ml2 (t) 2 mgl(t) 2ẋ −x22и уравнение движенияd l2 (t) dx + gl(t)x = 0.dtdtПереходя к новому «времени» t по правилу dt = dt/l2 (t), вводя обозначение ω 2 (t ) = gl3 (t) и опуская далее знак штриха, получаем уравнениев видеd2 x + ω 2 (t) x = 0,(31.1)dt2где частота ω(t) меняется периодически по времени.В качестве математической модели раскачивающихся качелей возьмемуравнение (1) с параметром ω 2 (t), зависящим от времени по гармоническому закону:ω 2 (t) = ω02 (1 + h cos γt).(31.2)Соответствующее уравнениеd2 x + ω 2 (1 + h cos γt) x = 00dt2(31.3)называется уравнением Матьё.
Наиболее эффективно качели раскачиваются, если вставать при каждом прохождении минимума и приседать прикаждом максимальном отклонении, что соответствует примерному выполнению равенств γ ≈ 2ω0 .Глава III. КОЛЕБАНИЯ130§ 31. Параметрический резонанс131Выясним условия, при которых существует нарастающее решениеуравнений (3), предполагая, что постоянная h 1. Рассмотрим подробнеепараметрический резонанс при γ = 2ω0 + , где отстройка предполагаетсямалой || ω0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
