1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Нелинейные колебания. Ангармонические поправкизависит от амплитуды a и называется нелинейным сдвигом частоты.Если подставить решение в виде бесконечного ряда Фурье в уравнение и выразить все степени косинуса в его правой части через более высокие гармоники, то, приравнивая коэффициенты в правой и левой частяхуравнения при одинаковых гармониках, мы получим бесконечную систему нелинейных уравнений, в каждое из которых входило бы бесконечноечисло неизвестных коэффициентов an и неизвестная частота ω.Естественно ожидать, что при малой нелинейности решение мало отличается от гармонических колебаний.
Будем искать приближенное решение этой системы методом последовательных приближений. В этом методе решение нелинейной задачи сводится к последовательному вычислениюпоправок все более высокого порядка по a. Ограничимся вычислением смещения x до третьего порядка по a включительно и сдвига частоты до второго порядка по a. В качестве первого приближения берем гармоническиеколебания:x(1) = a cos ωtС ростом амплитуды колебаний оказываются существенными отклонения потенциальной энергии от квадратичного приближения и колебаниястановятся нелинейными.
Физика нелинейных колебаний представляет собой обширную область механики. Мы рассмотрим в этом курсе тольконесколько характерных явлений в этой быстро развивающейся области.29.1. Одномерные нелинейные колебанияРассмотрим простейшие особенности нелинейных колебаний на примере одномерного движения в потенциальном поле. Учтем поправки в потенциальной энергии третьего и четвертого порядков малости по отклонению от положения равновесия и запишем функцию Лагранжа в виде223mβx4L(x, ẋ) = mẋ − kx − mαx −,2234где α и β — постоянные, которые предполагаются малыми. Коэффициентызаписаны в таком виде только для того, чтобы уравнение движения выглядело просто:(29.1)ẍ + ω02 x = −αx2 − βx3 ,где ω02 = k/m.
Решение этого уравнения является периодической функцией времени с периодом T = 2π/ω, зависящим от энергии. Хотя точноерешение (см. (1.4)) и может быть выражено через эллиптические функции,полезным оказываeтся приближенное решение, справедливое при малыхамплитудах колебаний. Чтобы его получить, воспользуемся тем, что решение, как периодическая функция времени, может быть записано в виде рядаФурье:∞an cos nωt.(29.2)x(t) =n=0Коэффициенты разложения an и частота ω могут быть найдены из уравнений движения при заданной энергии, а начало отсчета времени выбраноа остальные амплитуды и частоту выражать через нее.
Разностьδω = ω − ω0с неизвестной частотой ω, которая мало отличается от ω0 и будет находиться из последующих приближений.Для получения второго приближения подставляем x(1) с неизвестнойчастотой в малую правую часть уравнения (1) и выражаем степени косинуса через косинусы гармоник:11 13+ cos 2ωt,cos3 ωt = cos ωt + cos 3ωt.2 244Уравнение приобретает вид уравнения с заданной вынуждающей силой,содержащей все гармоники до третьей включительно:cos2 ωt =11ẍ + ω02 x = − αa2 (1 + cos 2ωt) − βa3 (3 cos ωt + cos 3ωt) .24Ищем его частное решение в виде суммы гармоник по третью включительно:(2)(2)(2)x(2) (t) = a0 + a cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt.Глава III.
КОЛЕБАНИЯ120Выписывая условия равенства коэффициентов при одинаковых гармоникахв правой и левой частях уравнения, получаем2= − αa ,2(ω 2 − ω02 )a = 3 βa3 ,4(2)(4ω 2 − ω02 )a2 = 1 αa2 ,2(2)(9ω 2 − ω02 )a3 = 1 βa3 .4(2)ω02 a0(29.4)(29.5)(29.6)ω −ω02= 2ω0 (ω − ω0 ),находимδω (2) = ω − ω0 =3βa2.8ω0Амплитуды гармоник находим из уравнений (3), (5) и (6), пренебрегая различием частот ω0 и ω:2a0 = − αa2 ,2ω0(2)2(2)a2 = αa2 ,6ω0(2)a3 =βa3.32ω02(29.7)Таким образом, во втором приближении мы получили амплитуды нулевойи второй гармоник и поправку к частоте во втором порядке по a и амплитуду третьей гармоники в третьем порядке по a.Теперь второе приближение можно подставить в нелинейную частьуравнения, получить третье приближение и, продолжая так, будем находить амплитуды все более высоких гармоник, которые будут иметь все более высокие порядки малости по a. Важно, однако, что в третьем приближении появятся новые поправки третьего порядка по a и их надоучесть.
Действительно, при подстановке второго приближения в квадра(2)тичный член уравнения появятся члены, пропорциональные a0 a cos ωt(2)и a2 a cos 2ωt cos ωt, порядка a3 , учет которых изменит равенства (4), (6)и приведет к еще одной поправке в частоте2 2δω (3) = − 5α a312ω0121и добавке к амплитуде третьей гармоники2 3(3)a3 = α a 4 .48ω0(29.3)В уравнение (4) входит только неизвестная частота ω. Считая нелинейный сдвиг частоты малым, так что2§ 29. Нелинейные колебания. Ангармонические поправкиЛегко убедиться, что еще одна итерация не поменяет поправок второгои третьего порядков по a. Окончательно имеем с учетом всех поправоквторого и третьего порядков по a:232βaααacos 3ωt,(3 − cos 2ωt) ++x(t) = a cos ωt −26ω0216ω02 3ω02δω =23β− 5α 38ω012ω0a2 .(29.8)Уточним теперь условия применимости полученных формул.
Из требования малости амплитуд гармоник по сравнению с a и малости поправкик частоте по сравнению с ω0 получим, что должны выполняться неравенства2αa 1, βa 1.(29.9)ω02ω0229.2. Многомерные нелинейные колебания.Комбинационные частотыИтак, в одномерном случае в первом (линейном) приближении мы получили гармонические колебания на основной частоте, а при учете нелинейности (во втором приближении) — смещение равновесия и колебания на удвоеннойчастоте. При проведении подобной программы для многомерных колебаний в первом приближении мы также получим колебания, отвечающие первым гармоникам с частотами ω1 , . . . , ωα , .
. . , ωβ , . . . , ωs . Однако уже во втором приближении возникнут принципиально новые явления — ко- Рис. 50. Малебания с так называемыми комбинационными частотами ятник на пру|ωα ± ωβ |.жинкеДля иллюстрации того, как возникают нелинейные поправки в многомерном случае и к каким результатам они приводят, рассмотрим простой пример маятника массы m на пружинке жесткости k в поле тяжести g (рис.
50). Мы будем рассматривать лишь колебания этого маятникаГлава III. КОЛЕБАНИЯ122в вертикальной плоскости и примем, что длина ненапряженной пружинкиравна l0 . В положении равновесия длина пружинки равна l = l0 + (mg/k).В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты x и yотклонения маятника от положения равновесия. Функцию Лагранжа маятника2(l − y)2 + x2 − l0 − mgyL = m ẋ2 + ẏ 2 − k22разложим в ряд по малым отклонениям до третьего порядка включительно:L = m (ẋ2 − ωx2 x2 + ẏ 2 − ωy2 y 2 + 2αx2 y),2где введены обозначенияgωx =,lωy =km,α=(29.10)kl0.2ml2Решение уравнений движения= 2αxy,= αx2ищем методом последовательных приближенийy = y (1) + y (2) + .
. . .В качестве первого приближения получаем гармонические колебания с частотами ωx и ωy :x(1) = a cos (ωx t + ϕx ),y (1) = b cos (ωy t + ϕy ).(29.11)Во втором порядке получаем из первого уравненияẍ(2) + ωx2 x(2) = 2α x(1) y (1) = α ab [cos (ω+ t + ϕ+ ) + cos (ω− t + ϕ− )] ,гдеω± = ωy ± ωx ,ϕ± = ϕy ± ϕx .Решение этого уравнения представляет собой гармонические колебанияс комбинационными частотами ω± :x(2) =+123Подобным же образом из второго уравнения получаем2α a2y (2) = α a2 −cos (2ωx t + 2ϕx ),2ωy2(4ωx2 − ωy2 )(29.13)т.
е. у координаты y во втором порядке появился постоянный сдвиг и колебание с удвоенной частотой 2ωx .Полученные решения справедливы, пока частота ωy не близка к 2ωx .При ωy = 2ωx ангармонические поправки перестают быть малыми и могутприводить к значительной перекачке энергии из x в y колебания и обратно.Этот случай, имеющий отношение к связи продольных и изгибных колебаний молекулы CO2 (так называемый резонанс Ферми) и к удвоению частотысвета в нелинейной оптике, рассмотрен, например, в [3, задача 8.10].§ 30. Нелинейные резонансыẍ + ωx2 xÿ + ωy2 yx = x(1) + x(2) + .
. . ,§ 30. Нелинейные резонансыα abcos (ω+ t + ϕ+ ) +2ωy (2ωx + ωy )α abcos (ω− t + ϕ− ).2ωy (2ωx − ωy )(29.12)Задача об отклике гармонического осциллятора на периодическоевнешнее воздействие решается точно и приводит к представлению о резонансе как резком возрастании амплитуды вынужденных колебаний причастоте внешней силы близкой к частоте собственных колебаний осциллятора. Как мы уже знаем, учет нелинейной зависимости возвращающейсилы от отклонения от положения равновесия приводит к двум качественно новым эффектам, проявляющимся уже в собственных колебаниях нелинейного осциллятора: появлению высших гармоник и нелинейному сдвигучастоты.
Учет нелинейности уравнений движения изменяет и явление резонанса. Выясним, в чем состоят эти изменения.Эта задача точно не решается, и мы будем искать приближенное решение методом последовательных приближений, как и в § 29. Добавим в уравнение для нелинейного осциллятора (29.1) внешнюю периодическую силуf (t) = f cos γt и слабое трение fтр = −2mλẋ:fẍ + ω02 x = m cos γt − αx2 − βx3 − 2λẋ.(30.1)Зная, что в линейном осцилляторе установившееся решение имеет частотувнешней силы, но сдвинутую фазу: x = b cos(γt + δ), будем искать решениедля ангармонических вынужденных колебаний в видеx = b0 + b cos(γt + δ) + b2 cos 2(γt + δ) + b3 cos 3(γt + δ) + .
. . .(30.2)Глава III. КОЛЕБАНИЯ124Как и при изучении свободных колебаний нелинейного осциллятора безтрения, следует подставить решение в виде ряда (2) в уравнение (1) и выполнить две итерации последовательных приближений. В задаче о свободных колебаниях нелинейного осциллятора амплитуда a была заданаи мы вычисляли амплитуды гармоник и сдвиг частоты колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
