1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 12
Текст из файла (страница 12)
26). Вдоль каждого из этих направлений происходят колебания с одной частотой — с ω1вдоль A(1) и с ω2 вдоль A(2) . В то же время зависимость каждой из координатϕ1 = Q1 − Q2 ,√√ϕ2 = ( 5 − 1)Q1 + ( 5 − 1) Q2от времени представляет собой сумму колебаний с двумя разными частотами.§ 20. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частотНапример,(1)Ak̂A(2),mgl√= (1, 5 − 1)400√ −1=15+1√−4√= (1, 5 − 1)= 0.5+1Ниже мы покажем, что найденные в этом примере соотношения (27) справедливы и в общем случае.§ 20.
Ортогональность нормальных колебаний. Случайвырождения частот20.1. Ортогональность нормальных колебанийПусть ωα и ωβ — различные собственные частоты: ωα = ωβ . Соответствующие им векторы колебаний A(α) и A(β) удовлетворяют уравнениямωα2 m̂ A(α) = k̂ A(α) ,ωβ2 m̂ A(β) = k̂ A(β) .Умножим второе уравнение на A(α) : ωβ2 A(α) , m̂ A(β) = A(α) , k̂ A(β) .Рис. 26.
Векторы нормальных колебаний двойного плоского маятника, изображенного на рис. 1981(20.1)(20.2)Вычтем его из первого уравнения, умноженного на A(β) :ωα2 A(β) , m̂ A(α) − ωβ2 A(α) , m̂ A(β) = = A(β) , k̂ A(α) − A(α) , k̂ A(β) .(20.3)Угол между векторами A(1) и A(2) (т. е. и между осями Q1 и Q2 ) неравен 90◦ ; действительно,A(1) , A(2) = 3 = 0.Учитывая, что для любой вещественной матрицы n̂ справедливо соотношениеA, n̂ B) = (n̂T A, BЛегко, однако, проверить, что эти векторы удовлетворяют соотношениям: A(1) , k̂ A(2) = A(1) , m̂ A(2) = 0.(19.27)и тот факт, что матрицы k̂ и m̂ симметричны (см. (19.18)), получаем из (3) 2(20.4)ωα − ωβ2 A(α) , m̂ A(β) = 0.Глава III.
КОЛЕБАНИЯ82Поскольку ωα2 − ωβ2 = 0, отсюда следует соотношениеA(α) , m̂ A(β) = 0§ 20. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот83есть линейное преобразование(20.5a)x = Û Q,xi =Uiα Qα ,(α)Uiα ≡ Ai ,αи далее, с учетом (2), еще одно соотношениеA(α) , k̂ A(β) = 0.(20.5b)Полученные соотношения означают, что колебания x(α) = A(α) Qα и x(β) == A(β) Qβ , отвечающие различным частотам, взаимно ортогональны, еслиих скалярное произведение определять с помощью метрических тензоровmij или kij (как говорят, x(α) и x(β) ортогональны в «метрике масс» илив «метрике жесткостей»).20.2.
Случай вырождения частот. Нормальные координатыРассмотрим теперь случай, когда среди корней характеристическогоуравнения (19.22) имеются кратные корни — случай с вырожденными частотами. Пусть, например, два разных решения x(1) и x(2) отвечают однойи той же частоте ω1 = ω2 . Линейная суперпозиция c1 x(1) + c2 x(2) , где c1и c2 — произвольные числа, также является решением с той же самой частотой. Иными словами, пространство решений, отвечающих данной частоте,представляют собой плоскость, проходящую через векторы x(1) и x(2) , причем любой вектор этой плоскости ортогонален в метрике масс или жесткостей векторам нормальных колебаний, отвечающих другим частотам.
Средивекторов этой плоскости можно выбрать (и притом многими способами)пару независимых векторов так, чтобы они удовлетворяли соотношениямортогональности (5).Совокупность взаимно ортогональных (в метрике масс или в метрикежесткостей) векторов представляет собой очень удобный базис для координат Qα . Покажем, что эти координаты приводят лагранжиан к виду, соответствующему набору независимых (невзаимодействующих) осцилляторов.Такие координаты называются нормальными координатами.Иными словами, переход вида (19.25) от координатпри котором квадратичные формы кинетической и потенциальной энергийодновременно приводятся к диагональному виду.Действительно, сделав в лагранжиане (19.17) подстановку (19.25) и использовав свойства ортогональности (5), мы найдем, что в новых переменных лагранжиан имеет вид суммы отдельных независимых лагранжиановтипа (19.4):s11L=Lα , Lα = Mα Q̇2α − Kα Q2α ,22α=1(20.6)Mα = A(α) , m̂ A(α) , Kα = A(α) , k̂ A(α) ,а соответствующие уравнения ЛагранжаMα Q̈α + Kα Qα = 0(20.7)имеют вид одномерных уравнений (19.5).
Таким образом, каждая из координат Qα представляет собой колебание с одной определенной частотойωα , в то время как каждая координата xi есть линейная суперпозиция колебаний с разными, вообще говоря, частотами (см. (19.26)).Отметим, что в силу свойств положительности (19.18) собственныекорни уравнения (19.22) являются положительными:(α)(α)A,k̂AKα 0,= (α)(20.8)ωα2 =MαA , m̂ A(α)т. е. собственные частоты ωα вещественны. Отметим также, что определяемые этой формулой собственные частоты не зависят от нормировки векторов A(α) .20.3.
Колебания слабо связанных систем. Биенияx = (x1 , . . . , xi , . . . , xs )к нормальным координатамQ = (Q1 , . . . , Qα , . . . , Qs )Движение линейных систем с вырождением частот обладает рядом интересных особенностей, которые мы обсудим здесь на следующем простомпримере. Пусть механическая система состоит из двух слабо связанныхподсистем, каждая из которых в отсутствие связи может совершать малыеГлава III. КОЛЕБАНИЯ84колебания. На первый взгляд, движение каждой из подсистем в этом случае должно происходить практически независимо и при наличии слабойсвязи. В действительности эти утверждения справедливы, пока собственные частоты двух разных подсистем не совпадают.
Если же эти частотысовпадают или близки, то влияние даже слабой связи на движение системыоказывается весьма значительным.§ 20. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот85Легко получить, что переход к нормальным координатамQ1,2 (t) = a1,2 cos (ω1,2 t + χ1,2 )соответствует повороту на угол ψ в плоскости xy (см. рис. 27, б):x = Q1 cos ψ − Q2 sin ψ,tg 2ψ =y = Q1 sin ψ + Q2 cos ψ,2α ,ωy2 − ωx2а собственные частоты равны*21222222ω1,2 =ωy − ωx + 4α ,ωx + ωy ∓2причем ω1 < ωx , а ω2 > ωy . Отсюда видно, что угол поворота ψ мал не приα ωx2 , а при(20.9)α ωy2 − ωx2 .Рис.
27. Слабо связанные системы: а — связанные маятники; б — нормальные координаты слабо связанных маятников (x = l1 ϕ1 , y = l2 ϕ2 )Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим пример двух математических маятников одинаковой массы m1 = m2 = m, но разной длины l1 и l2 ,связанных пружинкой малой жесткости k (рис. 27, а). Пусть углы отклонения маятников от вертикали ϕ1 и ϕ2 малы: |ϕ1,2 | 1.
В этом случаефункция Лагранжа системы в переменныхx = l1 ϕ1 ,равнаy = l2 ϕ2L(x, y, ẋ, ẏ) = m ẋ2 − ωx2 x2 + ẏ 2 − ωy2 y 2 + 2αxy ,2'(2(gklgkl2k,α= 2.,ωy =+mωx = ) +2l1lml21ml1При α = 0 имеем два независимых маятника с частотами ωx и ωy (мы будемназывать их парциальными частотами). Примем для определенности, чтоl1 l2 , тогда ωx ωy . На первый взгляд, при α ωx2 связь этих двух маятников является слабой и ее влияние на движение системы незначительно.Прямым расчетом проверим, так ли это.Иными словами, связь является слабой при выполнении условия (9).
Тогдаψ ≈ 0 и нормальные колебания локализованы:x ≈ Q1 ,y ≈ Q2 ,а собственные частоты близки к парциальным:ω1 ≈ ωx ,ω2 ≈ ωy .Если же α ωx2 , но парциальные частоты близки, так что α ωy2 −ωx2 ,то ψ ≈ π/4 и нормальные колебания перестают быть локализованы:x≈Q1 − Q2,√2y≈Q1 + Q2.√2(20.10)В этих условиях могут возникнуть биения, соответствующие значительнойперекачке энергии колебаний от одного маятника к другому. Пусть, например, l1 = l2 = l и в начальный момент возбуждены лишь колебания первогомаятника:x(0) = x0 ,y(0) = ẋ(0) = ẏ(0) = 0,(20.11)тогда нормальные колебанияxQ1 (t) = √0 cos ω1 t,2xQ2 (t) = − √0 cos ω2 t,2Глава III. КОЛЕБАНИЯ86g,ω1 =lа движения маятников имеют видϕ1 (t) =x0cos εt cos ωt,lгдеω2 =g 2k+ m,lϕ2 (t) =x0sin εt sin ωt,lε = 1 (ω2 − ω1 ) ≈ k22m1lg ω = 2 (ω2 + ω1 ) ≈(20.12)g.lИз ответа (12) видно, что через время τ = π/(2ε) окажутся возбужденнымилишь колебания второго маятника, затем через время 2τ система вернетсяв исходное состояние и т.
д.Задачи20.1. Найти свободные колебания системы, изображенной на рис. 28,при которых частицы движутся только вдоль прямой AB. Рассмотреть случаи: а) m1 = m2 ; б) m1 m2 ; в) m1 m2 . Для случая а найти нормальные координаты и выразить через них функцию Лагранжа.§ 21.
Вынужденные колебания. Резонансы8720.3. Найти нормальные колебания трех одинаковых частиц, связанных одинаковыми пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 30).Найти свободные колебания этой системы, если в начальный момент смещения частиц вдоль кольца x1 (0) = −x2 (0) = a, x3 (0) = 0, а начальныескорости равны нулю. Найти свободные колебания при тех же начальныхусловиях для системы, полученной из описанной при изменении жесткостипружинки, соединяющей частицы 2 и 3, на малую величину δk.§ 21.
Вынужденные колебания. РезонансыПусть на систему, совершающую одномерное колебание, действует(помимо упругой силы fупр = −kx) внешняя сила f (t). Соответствующаядобавка к потенциальной энергии ΔU (x, t) = −x f (t), поэтому лагранжиантакой системы имеет видL(x, ẋ, t) =1(mẋ2 − kx2 ) + xf (t).2Приведем решение соответствующего уравнения движенияẍ + ω 2 x = f (t)/m, ω = k/m,(21.1)(21.2)для произвольной силы f (t) и начальных условий x(0) = x0 , ẋ(0) = v0 :Рис. 28. Частицы двигаются вдоль прямой ABv0x(t) = x0 cos ωt +sin ωt +ωtf (τ )sin ω(t − τ )dτ.ωm(21.3)0Рис.
29. Частицы на кольцеРис. 30. Симметричная системаЕго можно проверить прямой подстановкой. Здесь последнее слагаемое соответствует вынужденным, а первые два — свободным колебаниям.При наличии малого трения первые два слагаемых с течением времени исчезают, а последнее лишь незначительно изменяется.
В дальнейшем,говоря о вынужденных колебаниях, мы подразумеваем именно такие установившиеся колебания. Примеры процессов установления колебаний можнонайти, например, в [3, задача 5.11].Для частного случая гармонической силыf (t) = f cos(γt + ϕ)20.2. Найти нормальные колебания трех частиц (рис. 29) на первоми втором кольцах2 . Рассмотреть переход M → m.2 Здесь и в дальнейшем предполагается, что кольца гладкие и остаются неподвижными придвижении частиц.вынужденные колебания имеют видx = b cos(γt + ϕ),b=(ω 2f.− γ 2 )m(21.4)Глава III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
