1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для изучения такого движения достаточно ограничитьсяв функции Лагранжа одной степенью свободы. Выбрав в качестве координаты отклонение x грузика от положения равновесия, добавим к «обычной»функции ЛагранжаL0 = 1 M ẋ2 − kx22кинетическую энергию пружиныρT =2lv 2 (ξ)dξ.0Здесь ρ = m/l — линейная плотность пружинки, l(t) — ее длина, v(ξ) == ẋξ/l — скорость точки пружинки, находящейся в данный момент на расстоянии ξ от точки подвеса, так что T = mẋ2 /6. Таким образом, в функцииЛагранжа к массе грузика добавляется треть массы пружинки, и частотаколебаний оказывается равной kk 1− m .ω=≈(18.2)M6MM + (m/3)В этих простых примерах мы не доказывали, что движения описываются небольшим числом координат, а принимали это «из физических соображений».
В сущности, так же поступаем мы и в более сложных случаях,принимая, например, что связи являются идеальными. Здесь будет, пожалуй, уместно напомнить, что все рассматриваемые в классической механике объекты (например, материальная точка, твердое тело, идеальные связии т. п.) представляют собой результат идеализации, а результаты расчетовявляются приближенными.Рассмотрим теперь электрическую цепь, состоящуюиз конденсатора емкости C и соленоида индуктивности L (рис. 24).
Пусть q(t) — заряд на верхней пластинеконденсатора, тогда ток в соленоиде есть q̇. Пренебрегаяпотерями на сопротивление и излучение, получаем в качестве уравнений Кирхгофа уравнение колебаний контура (в системе единиц СИ):Рис. 24. Колебательный контурq= 0.Lq̈ +C(18.3)§ 18. Эффективная функция Лагранжа для электромеханических систем73Легко видеть, что это уравнение можно получить как уравнение Лагранжаиз лагранжиана1q2L(q, q̇) = Lq̇ 2 −(18.4)22Cс обобщенной координатой q, равной заряду на пластине конденсатора.Роль кинетической энергии играет энергия магнитного поля в соленоиде,а роль потенциальной — энергия электрического поля в конденсаторе.
Отметим, что из лагранжиана (4) получается правильное значение энергиисистемыq21.(18.5)E = Lq̇ 2 +22CРассматриваемые в этом параграфе электромагнитные поля образуютнепрерывную систему. Они описываются уравнениями Максвелла. Последние также могут быть представлены в форме уравнений Лагранжа (длянепрерывной среды).
Переходя к цепям с сосредоточенными параметрами, мы фактически задаем электрическое поле в конденсаторе всего одной обобщенной координатой — зарядом конденсатора q, а магнитное поле в соленоиде — током q̇. При этом мы отвлекаемся от возможности«возбуждения» других степеней свободы электромагнитного поля (скажем,электромагнитных волн). Переход от лагранжиана электромагнитного поля к лагранжиану вида (4) демонстрируется, например, в [3, задача 4.22].Такое описание непрерывной системы с использованием небольшого числа«существенных» обобщенных координат аналогично описанию движениястолбика жидкости в системе рис. 23.Замечательно, что таким подходом могут бытьохвачены и системы, для движения которых существенны как механические, так и электродинамические степени свободы.В качестве примера рассмотрим системурис. 25, состоящую из колебательного LC-контураи груза — подвешенного на пружинке сердечникасоленоида, причем индуктивность соленоида зависит от смещения груза.
Функция Лагранжа этойэлектромеханической системы с двумя степенямисвободы2L(x)q̇ 2 Cq 2 kx2−−(18.6)L(x, q, ẋ, q̇) = mẋ +2222Рис. 25. Электромеханическая система74Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКАприводит к уравнениям движения, связывающим заряд конденсатора qи смещение сердечника соленоида x (смещение сердечника отсчитываетсяот его положения равновесия в отсутствие тока). Другие примеры электромеханических систем см. в [3, задачи 4.23, 4.24].ГЛАВА IIIКОЛЕБАНИЯ§ 19.
Линейные колебанияПрактически невозможно указать область физики, в которой не приходилось бы сталкиваться с линейными колебаниями. На примере одномерной системы напомним основные определения и введем обозначения.19.1. Одна степень свободыПусть лагранжиан системы с одной степенью свободы естьL(q, q̇) = T (q, q̇) − U (q),T (q, q̇) =1a(q) q̇ 2 0.2(19.1)Если q0 есть точка минимума потенциальной энергии, то разложение U (q)в ряд по малому отклонению x = q − q0 начинается с положительногоквадратичного слагаемого1 2dU d2 U U (q) = U (q0 ) + kx ,(19.2) =k>0 = 0,2dq dq 2 q0q0(случай k = 0 соответствует нелинейным колебаниям).
Разложим функциюa(q) вблизи q0 :(19.3)a(q) = m + O(x), m = a(q0 ).В итоге, ограничиваясь членами второго порядка по x и ẋ = q̇, получаем(отбрасывая константу U (q0 ))L(x, ẋ) =11mẋ2 − kx2 .22(19.4)Уравнение Лагранжаmẍ + kx = 0(19.5)Глава III. КОЛЕБАНИЯ76подстановкой§ 19. Линейные колебания77Разложим функцию aij (q) вблизи qi0 :x = A cos(ωt + ϕ)(19.6)aij (q) = mij + O(xk );приводится к алгебраическому уравнению−mω 2 + k = 0,откуда(19.7)k.(19.8)mВеличина A называется амплитудой, ωt+ ϕ — фазой, ϕ — начальной фазой,а ω — (круговой) частотой колебаний.
Период колебанийω=T = 2πω.(19.9)Из положительности m и k вытекает положительность ω 2 = k/m. Конечно, переход от исходной механической системы (1) к линеаризованной (4)справедлив лишь при достаточно малых x (или A).19.2. Колебания систем со многими степенями свободыT =s1 aij (q)q̇i q̇j 0.2 ij=1ijтакже является положительно определенной. Ограничиваясь членами второго порядка по xi и ẋi = q̇i , получаем1(mij ẋi ẋj − kij xi xj ) .(19.16)L=2 ijВ дальнейшем удобно перейти к векторным обозначениям.
Введем вектор смещения1⎛ ⎞x1⎜x2 ⎟⎟x=⎜⎝ .. ⎠ ,.xs(19.10)Так как произведение q̇i q̇j симметрично относительно замены i ↔ j, томатрицу aij (q) всегда можно выбрать симметричной:aij (q) = aji (q).(19.11)Пусть qi0 (i = 1, 2, . . . , s) — точка минимума потенциальной энергии, тогдаразложение потенциальной энергии в ряд по малым отклонениям xi = qi −− qi0 начинается с квадратичных слагаемых∂ 2 U 1kij xi xj + const, kij =(19.12)U (q) = = kji .2∂qi ∂qj ijматрицы масс и жесткостей⎞⎛m11 m12 .
. . m1sm22 . . . m2s ⎟⎜m,m̂ = ⎝ 21...... ... ... ⎠ms1 ms2 . . . mssПоскольку при xi = 0 потенциальная энергия минимальна, квадратичнаяформа (12) является положительно определенной:kij xi xj 0.(19.13)⎛k11⎜k21k̂ = ⎝...ks1k12k22...ks2............⎞k1sk2s ⎟. . .⎠kssи скалярное произведение векторов(x, y) =sxi yi .i=1В этих обозначениях лагранжиан принимает видL(x, ẋ) =ql0ij(19.14)Из положительности кинетической энергии следует, что квадратичнаяформаmij ẋi ẋj 0(19.15)Рассмотрим теперь случай нескольких степеней свободы:L = T − U (q1 , q2 , . . . , qs ),mij = aij (qk0 ) = mji .11(ẋ, m̂ ẋ) − (x, k̂ x),22(19.17)причем(ẋ, m̂ ẋ) 0,1 Компоненты(x, k̂ x) 0,m̂T = m̂,k̂ T = k̂,этого вектора могут иметь различную размерность.(19.18)Глава III. КОЛЕБАНИЯ78где m̂T обозначает матрицу, транспонированную по отношению к матрице m̂.
Уравнения Лагранжа§ 19. Линейные колебанияили в записи для отдельных компонент вектораd ∂L∂L=dt ∂ ẋl∂xlxi =(19.19)Подстановка(19.20)приводит их к системе алгебраических линейных однородных уравнений−ω 2 m̂ + k̂ A = 0.(19.21)Эта система имеет нетривиальное решение, только если ее определительобращается в нуль:(19.22) −ω 2 m̂ + k̂ = 0.Пусть ω12 , ω22 , . . . , ωs2 — корни этого уравнения (некоторые из этих корнеймогут совпадать друг с другом; этот случай рассмотрен в следующем параграфе). Величины ωα называются собственными частотами. Подставляяодин из этих корней ωα2 в уравнение (21), получаем уравнение для определения компонент соответствующего вектора A(α) :−ωα2 m̂ + k̂ A(α) = 0.(19.23)Конечно, если A(α) есть решение этого уравнения, то и aA(α) , где a —произвольное число, также есть решение этого уравнения. В итоге каждомукорню ωα2 (или каждой частоте ωα ) соответствует колебаниеx(α) (t) = A(α) Qα (t),Qα (t) = aα cos(ωα t + ϕα ),(19.24)при котором все частицы движутся с одной частотой (и в одной фазе илив противофазе).
Такое движение называют нормальным колебанием или модой. Полное решение есть сумма частных решенийx=sα=1(α)AQα (t),(α)Ai Qα (t).(19.26)Это полное решение содержит s произвольных амплитуд aα и фаз ϕα , которые можно определить, задавая начальные координаты x(0) и скоростиẋ(0).∂Ld ∂L=dt ∂ ẋ∂xпринимают форму, аналогичную (5):x = A cos(ωt + ϕ)sα=1в этих обозначенияхm̂ẍ + k̂x = 0.79(19.25)19.3. Плоский двойной маятникРассмотрим малые колебания плоского двойного маятника (см.
рис. 19).Лагранжиан этой системы найден в [1, § 5, задача 1]) и при малых углах|ϕi | 1 и l1 = 2l, l2 = l, m1 = m2 = m имеет видL=11 2ml (8ϕ̇21 + 4ϕ̇1 ϕ̇2 + ϕ̇22 ) − mgl(4ϕ21 + ϕ22 ).22Матрицы масс и жесткостей таковы:2 8 2m̂ = ml,2 14 0k̂ = mgl.0 1Решение уравнений движения8ϕ̈1 + 2ϕ̈2 + 4ω02 ϕ1 = 0,ищем в видеx=ϕ1ϕ22ϕ̈1 + ϕ̈2 + ω02 ϕ2 = 0,ω0 =g/l A1=cos(ωt + χ).A2Для коэффициентов Ai получаем систему уравнений(−8ω 2 + 4ω02 )A1 − 2ω 2 A2 = 0,−2ω 2 A1 + (−ω 2 + ω02 )A2 = 0.Приравняв ее определитель нулюω 4 − 3ω 2 ω02 + ω04 = 0,найдем собственные частотыω1,2 =√3∓ 5ω02Глава III. КОЛЕБАНИЯ80и соответствующие им нормальные колебанияx(1) = A(1) Q1 (t),x(2) = A(2) Q2 (t);На плоскости ϕ1 , ϕ2 векторы1A(1) = √,5−1(2)AQα (t) = aα cos(ωα t + χα ).−1= √5+1задают направление новых осей координат Q1 и Q2 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
