1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 13
Текст из файла (страница 13)
КОЛЕБАНИЯ88Зависимость амплитуды b от частоты внешней силы γ показана на рис. 31.При γ < ω колебания совершаются в фазе с действующей силой (b/f > 0),а при γ > ω — в противофазе (b/f < 0), причем при γ ω амплитудаколебаний мала (b/f 1/k):b≈−f,mγ 2§ 21. Вынужденные колебания. Резонансы89Перейдем в этом лагранжиане от переменных x к нормальным координатам Q с помощью замены (19.25), при этомxF(t) =A(α) F(t) · Qααγ ω.(21.4a)При γ → ω амплитуда b → ∞, наступает резонанс. Обобщение на случаймногих степеней свободы достаточно простое, поскольку переход к нормальным координатам в данном случае сводит исходную систему к наборуодномерных осцилляторов, совершающих вынужденные колебания.и исходный лагранжиан перейдет в сумму лагранжианов типа (1):L=sLα ,Lα =α=11(Mα Q̇2α − Kα Q2α ) + Qα fα (t),2(21.5)где Mα и Kα определены в (20.6), а силаfα (t) = A(α) F(t).(21.6)После этого уравнения движения для Qα совпадают с одномерным уравнением (2):(t)fKααQ̈α + ωα2 Qα =, ωα =.(21.2b)MαMαРассмотрим случай гармонической силы F(t) = F cos(γt + ϕ); тогдаРис.
31. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний b от частоты вынуждающей силы γFα (t) = fα cos(γt + ϕ),Qα = bα cos(γt + ϕ),⎛⎞F1 (t)⎜F2 (t)⎟⎟F(t) = ⎜⎝ .. ⎠ ,.Fs (t)x=(ωα2fα.− γ 2 )Mα(21.3a)sA(α) bα cos(γt + ϕ) =α=1=sα=1L(x, ẋ, t) =bα =Перейдя от нормальных координат к исходным, имеемiтогда(21.7)и вынужденные колебания нормальных координат имеют видПусть добавка к лагранжиану свободных колебаний (19.17) имеет видΔL =xi Fi (t).Введем вектор силыfα = A(α) F,11(ẋ, m̂ ẋ) − (x, k̂ x) + x F(t) ;22(21.1a)m̂ ẍ + k̂ x = F(t).(21.2a)A(α)(ωα2(A(α) , F) cos(γt + ϕ).−A(α) , m̂ A(α)γ2)(21.8)Отметим, что этот ответ не зависит от нормировки векторов A(α) .Сила fα = A(α) F, действующая на α-е нормальное колебание, определяется проекцией вектора силы F на направление данного нормальногоГлава III.
КОЛЕБАНИЯ90колебания. Поэтому если F и A(α) взаимно ортогональны, F A(α) = 0, тосоответствующее слагаемое A(α) bα cos(γt + ϕ) вообще отсутствует в сумме (8).В частности, в этом случае не возникает резонанса при γ → ωα . Еслиже F A(α) = 0, то при γ → ωα возникает резонанс, причем вблизи резонанса всеми слагаемыми в сумме (8), кроме одного, можно пренебречьи x ≈ A(α) bα cos(γt + ϕ).Вопрос. Пусть вектор F параллелен какому-либо нормальному колебанию, например,F = const · A(1) .Ясно, что при γ → ω1 возникает резонанс. Может ли такая сила возбудитьдругие нормальные колебания (т.
е. будет ли резонанс при γ → ω2 , γ →→ ω3 , . . . , γ → ωs )?Для вынужденных колебаний переход к нормальным координатам удобен тем, что сводит многомерную задачу к набору одномерных. В частномслучае гармонической силы можно обойтись и без такого перехода. Ищемрешение уравнений (2а) в виде§ 22. Колебания при наличии силы тренияна внешнюю гармоническую силу. Характер сил трения различается прискольжении соприкасающихся твердых тел и при движении твердого телав жидкости или газе. В данном разделе мы рассмотрим только этот последний случай.Рассмотрим влияние трения на собственные колебания одномерногогармонического осциллятора, описываемого координатой x. Учтем силутрения прямо во втором законе Ньютона.
Из опыта известно, что эта силанаправлена противоположно скорости, и при малом абсолютном значениискорости пропорциональна ей. Это позволяет записать силу трения в видеfтр = −αẋ, где α — положительная константа, характеризующая интенсивность трения. Соответствующее уравнение движенияmẍ = −αẋ − kxразделим на m и введем обозначенияk,ω02 = mДля определения амплитуды B получаем уравнение(−γ 2 m̂ + k̂)B = F,Полагаяx = (−γ 2 m̂ + k̂)−1 F cos(γt + ϕ).λ= α .2mЗдесь ω0 — частота свободных колебаний в отсутствие трения, а величинаλ называется коэффициентом затухания.
Уравнение свободных колебанийзапишется в видеẍ + 2λẋ + ω02 x = 0.(22.1a)x = B cos(γt + ϕ).откуда91(21.9)Задача21.1. Найти установившиеся колебания системы, описанной в задаче 20.1а, если точка A движется по закону a(t) = a cos γt. При какой частоте γ амплитуда вынужденных колебаний первой частицы обратится в нуль?Тот же вопрос для цепочки из трех одинаковых частиц, которая получается, если ко второй частице прикрепить с помощью такой же пружинки ещеодну.§ 22. Колебания при наличии силы тренияВ макроскопических системах всегда есть трение.
Оно качественноизменяет как собственные колебания систем, так и резонансный отклик x = Re ert ,получаем для r характеристическое уравнение. Это квадратное уравнение,решения которого*r1,2 = −λ ± λ2 − ω02 .Общее решение есть линейная суперпозиция двух решений:x = Re C1 er1 t + C2 er2 t .(22.2)При сильном трении (λ > ω0 ) оба характеристических показателя отрицательны и общее решение x, убывая без колебаний, стремится к нулю.Такое движение называется апериодическим затуханием.При λ = ω0 движение также оказывается апериодическим:x = (C1 + C2 t) e−λt .Глава III. КОЛЕБАНИЯ92При более слабом трении (λ < ω0 ) характеристические показателикомплексно сопряжены*r1,2 = −λ ± iω,ω = ω02 − λ2 ,и решение имеет видx = ae−λt cos(ωt + ϕ),(22.3)где a и ϕ — вещественные постоянные.
Такое движение представляет собойзатухающие колебания.В важном предельном случае λ ω0 амплитуда колебаний за время T = 2π/ω почти не меняется. Средние за это время квадраты координаты и скорости можно вычислять, считая множитель e−λt постоянным.Эти средние квадраты пропорциональны e−2λt и средняя энергия колебаний убывает по этому же закону:E(t) = E0 e−2λt .Рассмотрим влияние трения на движение осциллятора под действиемвнешней гармонической силы f cos (γt + ϕ). Уравнение движения запишется в видеf(22.1b)ẍ + 2λẋ + ω02 x = m cos (γt + ϕ).Решение этого неоднородного линейного уравнения представляют собойсумму двух слагаемых — описанного выше свободного движения и вынужденного (установившегося) колебания.
Последнее решение удобно искатьв комплексной форме. Для этого запишемcos (γt + ϕ) = Re ei(γt+ϕ) .Отыскивая решение в виде§ 22. Колебания при наличии силы трения93Для вещественной амплитуды b и аргумента δ имеемb=f,2m (ω0 − γ 2 )2 + 4λ2 γ 2ctg δ =γ 2 − ω02.2λγ(22.4)Легко найти, что при заданной амплитуде силы f амплитуда вынужденныхколебаний b максимальна на частоте*γm = ω02 − 2λ2(22.5)и равнаbmax = b(γm ) =f.2mλ ω02 − λ2(22.6)Графики функций b и δ в зависимости от частоты вынуждающей силы γи при различных значениях λ представлены на рис.
32. При малых λ картина колебаний близка к той, что имела место при отсутствии трения (см.рис. 31). А именно, фаза δ близка к нулю (т. е. вынужденные колебания совершаются почти в фазе с действующей силой) при γ < ω0 и фаза δ близкак (−π) (т. е. вынужденные колебания совершаются почти в противофазес действующей силой) при γ > ω0 , а переход от одного режима к другомупроисходит в узком интервале частот γ вблизи ω0 .x = Re Bei(γt+ϕ) ,найдем комплексную амплитудуB = beiδ =f.m(ω02 − γ 2 + 2iλγ)Мнимая часть B всегда отрицательна, а действительная (при возрастании γот нуля до бесконечности) меняет знак с положительного на отрицательныйпри γ = ω0 , значит аргумент δ меняется в интервале 0 > δ > −π.Рис. 32. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний b и фазы δ от частотывынуждающей силы γ для различных значений коэффициента затухания λСвободные колебания осциллятора с трением затухают, со временемостаются только вынужденные колебания видаx = b cos(γt + ϕ + δ).Глава III.
КОЛЕБАНИЯ94Так как фаза δ отрицательна, аргумент косинуса этого решения имеет значение, которое аргумент косинуса вынуждающей силы имел в более ранниймомент времени; говорят, что вынужденное колебание отстает по фазе отвынуждающей силы.Рассмотрим окрестность резонанса в практически интересном случаеслабого трения λ ω0 .
Обозначив расстройку частоты = γ − ω0(22.7)и заменив в (4) приближенноγ 2 − ω02 = (γ + ω0 )(γ − ω0 ) ≈ 2ω0 ,2λγ ≈ 2λω0 ,(22.8)получаемb=f,√2mω0 2 + λ2ctg δ = .λ(22.9)Максимальная амплитуда вынужденных колебаний обратно пропорциональна λ:f.(22.10)bmax =2mω0 λКвадрат амплитуды колебаний при = ±λ в два раза меньше по сравнению с максимальным значением. Изменение фазы δ также происходит,в основном, в этом же интервале частот. Таким образом, характерная ширина области резонанса равна λ.Полученное решение именно в этом интервале частот существенно отличается от решения для резонанса без трения, даваемого формулой (21.4).
Если расстройка частоты больше коэффициента затухания (т. е.если || λ), то влияние трения становится несущественным и решениядля резонанса с трением и без трения практически совпадают.§ 23. Колебания при наличии гироскопических силВ § 19 и 20 мы рассматривали свободные колебания систем, движущихся под действием потенциальных сил. Линейные колебания, соответствующие малым отклонениям от положения равновесия, в этом случаепроисходят вблизи минимума потенциальной энергии U , а отдельное нормальное колебание (19.24) происходит вдоль линии: x = A cos (ωt + ϕ).Рассмотрим теперь линейные колебания систем, в которых помимо потенциальных сил действуют непотенциальные гироскопические силы Fg , линейные по скорости частицы и ортогональные этой скорости.§ 23. Колебания при наличии гироскопических сил9523.1.
Гироскопические силыМы стартуем от функции Лагранжа для частицыL(r, v) = L0 + Lg ,L0 = m v2 − U (r),2Lg = v · C(r),(23.1)где C(r) — известная функция координат r. Слагаемое L0 соответствуетдвижению частицы в потенциальном поле U (r), а добавка Lg приводитк появлению гироскопической силы Fg .
Действительно, уравнения Лагранжаd ∂L ∂L−=0dt ∂v∂rимеют видmr̈ = −∇U (r) + Fg ,Fg = [v, [∇, C(r)]].(23.2)Так как Fg v = 0, работа гироскопической силы равна нулю, а энергияE = m v2 + U (r)2сохраняется.Приведем примеры гироскопических сил.При движении частицы с зарядом e в постоянном магнитном поле B(r)(см. § 10) функцияC(r) = ec A(r),где A(r) — векторный потенциал, а гироскопическая сила совпадает с силойЛоренца:eFg = [v, B(r)].cПри движении частицы в системе отсчета, вращающейся с постояннойугловой скоростью Ω (см.
§ 17.2), функцияC(r) = m [Ω, r],а гироскопическая сила совпадает с кориолисовой силой:Fg = 2m[v, Ω].Линейные колебания при наличии гироскопических сил имеют интересные особенности. В частности, малые колебания могут происходить нетолько вблизи минимума потенциальной энергии U , но также и вблизи максимума U , а траектория таких колебаний с определенной частотой не обязательно имеет вид прямой (19.24). Рассмотрим три поучительных примера.Глава III. КОЛЕБАНИЯ96§ 23.
Колебания при наличии гироскопических сили достаточно большом магнитном поле23.2. Заряженная частица в потенциальном и магнитном поляхПусть потенциальная энергияU (x, y) =kB > −kx − ky + 211kx x2 + ky y 2 ,22B = (0, 0, Bz ).Мы будем рассматривать движение частицы лишь в плоскости xy. Потенциальная энергия U (x, y) имеет экстремум в точке x = y = 0. Обозначим2ωB = eBz /(mc) и kB = mωB> 0. Уравнения движения частицы имеютвидmẍ + kx x − mωB ẏ = 0,mÿ + ky y + mωB ẋ = 0.Будем искать решения этих уравнений в виде колебанийy = Re(Beiωt ),где комплексная амплитуда A = aeiϕ .
Чтобы система однородных уравнений(kx − mω 2 )A − imωB ωB = 0,imωB ωA + (ky − mω 2 )B = 0имела нетривиальное решение, должно выполняться уравнениеm2 ω 4 − mω 2 (kB + kx + ky ) + kx ky = 0.Легко проверить, что корни этого уравнения*2ω1,2= 1 kB + kx + ky ± (kB + kx + ky )2 − 4kx ky2mположительны при выполнении одного из двух условий:1) либо приkx > 0, ky > 0kx ky(23.4b)(при этом потенциальная энергия имеет максимум в точке x = y = 0).В обоих этих случаях решения представляют собой колебания вблизи начала координат:x = aα cos(ωα t + ϕα ),y = bα sin(ωα t + ϕα ),а постоянное однородное магнитное поле направлено по оси z, т. е.x = Re(Aeiωt ),97гдеbα =mωB ωαaα ,ky − mωα2α = 1, 2.Рассмотрим для определенности вариант kx > ky > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
