1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Представим вначале уравнение (3) в эквивалентном видеd2 x + ω 2 x = −hω 2 x cos γt.(31.4)00dt2Теперь будем строить его приближенное решение, пользуясь малостью h.Если в начальный момент имеется отличное от нуля собственное колебание(например, x = a cos ω0 t), то правую часть уравнения (4) запишем в виде,соответствующем вынуждающей внешней силе:1−hω02 x cos γt = − hω02 a [cos (ω0 + )t + cos (3ω0 + )t] .2Первое слагаемое в правой части этого равенства можно понимать как резонансную силу (а второе, содержащее третью гармонику, можно отбросить).Это приведет к медленному (в силу малости h) росту амплитуды колебаний.Будем искать решение в видеx(t) = a(t) cos (γt/2) + b(t) sin (γt/2),где a(t) и b(t) — медленно изменяющиеся функции времени.
Подставляя этовыражение в уравнение (4), сохраним лишь резонансные слагаемые в правой части, а в левой части пренебрежем малыми вторыми производными äи b̈ по сравнению с первыми. В итоге получим систему уравнений4ȧ + (2 + hω0 ) b = 0,4ḃ − (2 − hω0 ) a = 0.Если || < hω0 /2, то решение этой системыa(t) = α1 C1 e−st + C2 est ,b(t) = α2 C1 e−st − C2 est ,гдеs = 1 (hω0 )2 − 42 , α1,2 = hω0 ± 2,(31.5)4содержит слагаемые, которые экспоненциально растут со временем. Решение, отвечающее параметрическому резонансу, имеет видγγx(t) = Cest cost − ϕ + De−st cost+ϕ ,(31.6)22где tg ϕ = α1 /α2 (рис. 54).Рис.
54. Параметрический резонансРис. 55. БиенияТаким образом, колебания, вообще говоря, неограниченно возрастают.Скорость их роста, характеризуемая величиной s, действительно,мала.Если же || > hω0 /2, то величина s = ±(i/4) 42 − (hω0 )2 и амплитуда колебаний не растет, а медленно осциллирует с течением времени(рис. 55).До сих пор мы изучали основной параметрический резонанс на частоте γ ≈ 2ω0 . В рассматриваемом примере раскачивания качелей это соответствует тому, что приседать в верхнем положении качелей и вставать в ихнижнем положении было необходимо дважды за один период колебаниясамих качелей. Именно при таком способе действия в систему добавляетсяэнергия.
Ясно, однако, что раскачать качели можно и в том случае, еслиприседать и вставать только один раз за тот же период или за два периодаколебания качелей и т. д. Иными словами, параметрический резонанс может происходить и на частоте γ ≈ ω0 /n при n 1, правда с меньшейэффективностью, чем на основной частоте γ ≈ 2ω0 (т. е. в более высокихпорядках по h).При учете трения вместо уравнения (3) получаемd2 x + ω 2 (1 + h cos γt)x + 2λ dx = 0.0dtdt2(31.7)Решение этого уравнения, возрастающее со временем, имеет вид (6) сs = 1 (hω0 )2 − 42 − λ.(31.8)4В отличие от случая без трения параметрическая раскачка начинается лишьпри h > 4λ/ω0 .В реальных условиях возрастание амплитуды колебаний прекращается, например, если становится существенной роль ангармонических попра-Глава III.
КОЛЕБАНИЯ132вок (см. [3, задача 8.7]) или обратное влияние колебаний на устройство,периодически изменяющее частоту.Более детальный и математически последовательный разбор этого круга вопросов можно найти в Дополнении C.§ 32. Движение в быстро осциллирующем полеКак известно, у обычного плоского маятника имеется два положения равновесия: нижнее устойчивое и верхнее неустойчивое. В маятникеП. Л. Капицы точка подвеса маятника колеблется в вертикальном направлении.
Если частота таких колебаний точки подвеса достаточно высока, точастота медленных колебаний маятника в нижнем положении изменится,а верхнее положение может даже стать устойчивым. Для объяснения этогоявления детали, связанные с устройством маятника несущественны, а важно только, что уравнение его движения может быть записано в видеmẍ = − dU + f (x) cos ωt,dxd2 U (X)df (X)dU (X)+ f (X) cos ωt −ξ cos ωt. (32.2)ξ+dXdXdX 2Расщепим это уравнение на два: высокочастотное и низкочастотное.Сначала получим высокочастотное уравнение. В правой части уравнения (2) с высокой частотой изменяются второе и четвертое слагаемые.Поскольку ожидается, — и мы это сейчас увидим, — что амплитуда ξ0 мала,последним слагаемым, как имеющим второй порядок малости по амплитуде, пренебрегаем и получаем уравнениеmξ¨ = f (X) cos ωt.(32.3)Его общее решение содержит медленно меняющееся решение однородного уравнения, которым пренебрегаем, и оставляем быстро осциллирующее133частное решение неоднородного уравнения, которое находим, считая медленную координату X(t) постояннойξ0 = −f (X).mω 2(32.4)Уравнение для медленной переменной получаем, усредняя уравнение (2) запериод высокочастотных колебаний.
Средние от линейных по ξ, f слагаемых в левой и правой частях равны нулю. Среднее от последнего слагаемого нулю не равно и дает эффективную добавку к силе:df (X)mẌ = − dU − 1 2f (X).dX2mω dX(32.5)Записывая правую часть этого уравнения в виде −dUэф /dX, где(32.1)где частота внешней силы ω много больше характерных частот движенияв поле U при отсутствии внешней силы. При таком разделении частот естественно пытаться искать решение в виде x(t) = X(t) + ξ(t), где считается,что X(t) — медленное среднее движение, на которое наложено высокочастотное дрожание с малой амплитудой ξ(t) = ξ0 cos ωt. Малость амплитудыξ0 позволяет разложить по ней силу в ряд Тейлора и преобразовать уравнение к видуmẌ + mξ¨ = −§ 32.
Движение в быстро осциллирующем полеUэф = U +f2,4mω 2(32.6)видим, что усредненное движение происходит так, будто кроме исходного поля U действует дополнительное поле, пропoрциональное квадратуамплитуды высокочастотной силы. Это дополнительное поле выталкиваетчастицу в ту область, где амплитуда силы меньше.Аналогичный результат имеет место и для случая трехмерного движения.Рассмотренный в этом примере способ решения задач, связанныйс разделением быстрых и медленных движений, широко применяется в различных задачах механики.Задача32.1. Вычислить эффективное поле для маятника, точка подвеса которого колеблется вертикально с амплитудой a, и найти, при каком условииверхнее положение становится устойчивым.§ 33.
Уравнения Гамильтона135перепишем, используя (2), (3), в видеГЛАВА IVdL(q, q̇, t) =s(ṗi dqi + pi dq̇i ) +i=1ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКАdH(p, q, t) =i = 1, 2, . . . , s,(33.1)причем это дифференциальные уравнения второго порядка, содержащиеq̈i , q̇i и qi . Обобщенные импульсы определяются соотношениями∂L,∂ q̇i(33.2)и в силу (1) для них справедливо уравнение∂L.∂qi(33.3)Соотношения (2) и (3) показывают возможность перейти от уравненийвторого порядка (1) к уравнениям первого порядка для новых переменных qi и pi .
Действительно, так как лагранжиан есть функция обобщенныхкоординат, скоростей и времени L = L(q, q̇, t), то соотношения (2) и (3)можно разрешить относительно q̇i и ṗi :q̇i = fi (q, p, t),ṗi = gi (q, p, t),i = 1, 2, . . . , s,(33.4)т. е. представить в виде системы 2s уравнений первого порядка относительно переменных qi , pi .33.1. Функция Гамильтона. Уравнения ГамильтонаСпособ получения явного вида функций fi и gi заключается в следующем.
Полный дифференциал функции Лагранжаs ∂L∂L∂LdL(q, q̇, t) =dqi +dq̇i +dt∂qi∂ q̇i∂ti=1pi q̇i − L(33.6)полный дифференциал равенДля системы с s степенями свободы имеется s уравнений Лагранжаṗi =si=1§ 33. Уравнения Гамильтонаpi =(33.5)Отсюда легко получить, что для функцииH(p, q, t) =d ∂L∂L=,dt ∂ q̇i∂qi∂Ldt.∂ts(q̇i dpi − ṗi dqi ) −i=1∂Ldt.∂t(33.7)Выражение (6), рассматриваемое как функция обобщенных координат, импульсов и времени, называется функцией Гамильтона или гамильтонианом.Напомним, что та же величина, рассматриваемая как функция времени придвижении системы, является энергией E(t) (см. § 13).Выражая дифференциал H через частные производные, немедленнополучаем искомые уравнения — уравнения Гамильтона или каноническиеуравнения:q̇i =∂H(p, q, t),∂piṗi = −∂H(p, q, t),∂qii = 1, 2, .
. . , s,(33.8)и равенство∂L(q, q̇, t)∂H(p, q, t)=−.∂t∂tОтметим, что здесь частная производная по времени от функции Гамильтона берется при постоянных координатах и импульсах, а от функции Лагранжа — при постоянных координатах и скоростях.В отличие от уравнений Лагранжа (1) уравнения Гамильтона (8) являются уравнениями первого порядка, их 2s штук и они содержат 2s неизвестных q1 , . . .
, qs , p1 , . . . , ps и их первые производные по времени. Для аналитического решения в случае простых систем лагранжев подход часто оказывается более удобным, чем гамильтонов. Однако во многих случаях, когданеобходим общий подход, например в статистической физике, предпочтительным оказывается гамильтонов формализм. Особую ценность гамильтоновой механике придает наличие в ней более широкого (чем в лагранжевой механике) класса преобразований, относительно которого уравнения Гамильтона ковариантны (см. § 36).
Упомянем, наконец, что переходГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА136от классической механики к квантовой наиболее естественно происходитименно в рамках гамильтонова формализма.Приведем примеры гамильтонианов для разных систем.Пример 1. Пусть функция ЛагранжаL(q, q̇) =1a(q)q̇ 2 + b(q)q̇ + c(q)2137Пример 3.
Для нерелятивистской частицы в электромагнитном полелагранжиан и энергия даны в (10.4) и (13.8); с учетом (10.5) имеем2e1 p − A(r, t) + eϕ(r, t).H(p, r, t) =(33.11)2mcПример 4. В релятивистском случае (см. (11.1) и (11.3))2ep − A(r, t) c2 + m2 c4 + eϕ(r, t).H(p, r, t) =c(ср. (13.6)), тогда величина (6) равна1pq̇ − L = a(q)q̇ 2 − c(q).2Но эта величина станет функцией Гамильтона только после того, как обобщенная скорость q̇ в ней будет выражена через обобщенный импульс, равный∂Lp== a(q)q̇ + b(q),∂ q̇и обобщенную координатуq̇ =§ 33. Уравнения Гамильтонаp − b(q).a(q)Пример 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
