1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Легко проверить, вычисляя фундаментальные скобки Пуассона, что переход к этим переменным от x, y, px , py — каноническое преобразование.Если магнитное поле постоянно, то новая функция Гамильтона сведется к осцилляторной:22 2P2H(PX , PY , X, Y ) = mv = X + mω X .22m2Пример 5. С помощью канонического преобразования, представляющего собой поворот на один и тот же угол в плоскости x, py /(mω) и плоскости y, px /(mω), можно привести гамильтониан трехмерного анизотропного гармонического осциллятора в однородном магнитном поле к суммеквадратов (см. [3, задачи 11.7–11.9]).Задача38.1. Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора, функция Гамильтона которогоH=2 2p2+ mω x + αx32m2и |αx| mω 2 .Выполнить каноническое преобразование, близкое к тождественному,с помощью производящей функцииΦ(x, P, t) = xP + ax3 + bx2 P + cxP 2 + dP 3 .Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА158§ 39. Действие вдоль истинной траектории159Покажите, что можно использовать a = c = 0 и подобрать параметры b и dтак, чтобы новая функция Гамильтона сводилась к функции Гамильтонагармонического осциллятора с точностью до членов третьего порядка поновым переменным Q и P включительно.
Найти x(t).§ 39. Действие вдоль истинной траектории как функцияначальных и конечных координат и времениРассмотрим частицу, имеющую в начальный момент t1 обобщеннуюкоординату q (1) (точка 1 на рис. 57). Различным значениям скорости в начальный момент времени отвечают различные законы движения — кривыеa, b, c . . . . Пусть точке 2 на рис. 57 c координатой q и временем t соответствует некоторая кривая a. Интеграл2S12 =L(q, q̇, t) dt,(39.1a)1взятый вдоль кривой a от точки 1 до точки 2, является (при фиксированномзначении t1 и q (1) ) функцией конечной точки 2, т.
е.S12 = S(q, t).(39.1b)Эту функцию мы и будем рассматривать далее. В отличие от интеграловдействия, рассматриваемых в вариационных принципах, в (1) используетсяистинный закон движения q(t).Оказывается, с использованием этой функции можно развить еще одинспособ решения задач механики, который отличается от подходов Ньютона, Лагранжа, Гамильтона. Этот подход позволяет провести аналогию между задачами механики и оптики (см. далее § 41.3). Более того, функцияS(q, t) полезна и в квантовой механике, где в квазиклассическом приближении величина S(q, t)/h̄ совпадает с фазой волновой функции (здесь h̄ —постоянная Планка).
Разберем подробнее свойства S(q, t).39.1. Свойства S(q, t)Найдем частные производные функции S(q, t). Начнем с ∂S/∂t. Дляэтого вспомним принцип наименьшего действия и рассмотрим два различных пути, ведущих из точки 1 в точку 3 c координатой q и временем t + dt:один путь вдоль кривой истинного движения b (вклад этого пути в действиеРис. 57. К определению действия как функции координат и времени и ее частныхпроизводныхесть S(q, t + dt)), второй путь состоит из участка 1 → 2 вдоль кривой истинного движения a (вклад этого участка в действие равен S(q, t)) и малогоучастка 2 → 3, вклад которого в действие равен Ldt.
Вспоминая соотношениеL = pq̇ − Hи учитывая, что на участке 2 → 3 величина q̇ = 0, получаемLdt= −Hdt.2→3Согласно принципу Гамильтона, δS = 0, т. е. первый и второй пути дают одинаковый с точностью до малых величин ∼ dt включительно вкладв действие. ПоэтомуS(q, t + dt) = S(q, t) − Hdt,откуда получаемS(q, t + dt) − S(q, t) = −Hdt,или∂S= −H.(39.2)∂tЧтобы найти ∂S/∂q, рассмотрим приращение S(q, t) при переходе отточки (q, t) (точка 2 на рис. 57) к точке (q + dq, t) (точка 4 на рис. 57).Приравниваем4S(q + dq, t) = Ldt1Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА§ 39. Действие вдоль истинной траекториивдоль кривой c и вдоль «пробного» пути, состоящего из участка 1 → 2кривой a и малого участка 2 → 4. Строго говоря, путь 1 → 2 → 4 недолжен быть «допущен к конкурсу» в принципе наименьшего действия,так как на участке 2 → 4 величина q̇ обращается в бесконечность. Нодопустима зависимость q(t), сколь угодно близкая и притом достаточногладкая.
Поэтому для участка 2 → 4 можно принять39.3. Доказательство теоремы Нётер160dt → 0,q̇ → ∞,q̇ dt = dq.Вклад в действие этого участкаLdt2→4 = (pq̇ − H)dt = pdq − HdtS(q + dq, t) = S(q, t) + pdq,откуда ∂S/∂q = p. В случае нескольких степеней свободы, действуя так же,получаем∂S= pi .(39.3)∂qiАналогично можно рассматривать действие как функцию координат(1)qi и времени t1 начала движения.
В итоге получаем (1) (1)dS(q, t, q (1) , t1 ) =pi dqi − Hdt −pi dqi + H (1) dt1 .(39.4)F (q (1) , q, t) = −S(q, t + τ, q (1) , t),(39.5)где q рассматривается как старые, а q — как новые координаты. С учетом(4) можно видеть, что при этом преобразовании происходит также переходот старого гамильтониана H (1) к новому H.факт отмечался ранее — см. (36.19).гдеδqi = εfi (q(t), t),Соответствующее действие2 S1 2 =1δt = εh(q(t), t).dg(t ) L g(t ),,tdtdt == S(q (2) + δq (2) , t2 + δt2 , q (1) + δq (1) , t1 + δt1 ).Функция S(q, t, q (1) , t1 ) могла бы быть реально найдена лишь послетого, как найден закон движения qi (t).
Но сам факт существования этойфункции позволяет сделать определенные общие заключения о движениисистемы, задаваемом уравнениями Гамильтона. Например, можно утверждать, что переход от начальных значений координат и импульсов к ихзначениям спустя время τ является каноническим преобразованием5. Соответствующая производящая функция5 ЭтотТак как вид действия не изменяется при переходе к переменным qi , t ,равенства qi = gi (t ) также описывают действительное движение системы.Выраженные в переменных qi , t с точностью до первого порядка по ε, этиравенства имеют видqi + δqi = gi (t + δt),i39.2.
Движение системы как каноническое преобразование(1)Найденные выше свойства S(q, t, q (1) , t1 ) позволяют сравнительнопросто доказать теорему Нётер, формулировка которой дана в § 14.3. Пустьqi = gi (t), i = 1, . . . , s, описывает истинное движение системы. Рассчитанное вдоль этой траектории действие есть функция начальных и конечных координат и времени:2 dg(t)(2)(1), t dt.S12 ≡ S(q , t2 , q , t1 ) = L g(t),dt1сводится к pdq. Итак,i161Малые изменения координат и времени начала и конца движения припереходе от траектории g(t) на участке 12 к траектории g(t ) на участке 1 2приводят к изменению действия (4):(2)(1)S1 2 − S12 =pi (t2 )δqi − E(t2 )δt2 −pi (t1 )δqi + E(t1 )δt1 .
(39.6)iiЗдесь подразумевается, что энергия E(t), координаты qi (t) и импульсы pi (t)рассматриваются как функции времени на истинной траектории движениясистемы.С другой стороны, согласно условию теоремы, S12 = S1 2 , так что мыполучаем интеграл движенияE(t) · h(q(t), t) −si=1pi (t) · fi (q(t), t) = const.(39.7)Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА162§ 40. Теорема Лиувилля40.1.
Инвариантность фазового объема относительно каноническихпреобразованийПусть замкнутая (2s − 1)-мерная поверхность выделяет в 2s-мерномфазовом пространстве с координатами p1 , . . . ps , q1 , . . . qs некоторую область Ω. Назовем фазовым объемом этой области интегралΓ = dp1 . . . dps dq1 . . . dqs .§ 40. Теорема Лиувилля163преобразований сами взаимно обратны, и переходя к обратному якобиануво втором сомножителе, получаем,∂(p) ∂(q) D=.(40.1)∂(P ) ∂(Q) q=constP =constВоспользуемся теперь тем, что итоговое преобразование q, p → Q, P каноническое, и будем считать, что оно задано производящей функцией Φ(q, P ).Выражая через нее матричные элементы якобианов, стоящих в числителеи знаменателе, получаемΩПри произвольном преобразовании от переменных q, p к переменным Q, Pобласть Ω переходит в область Ω в новых переменных и интеграл преобразуется к видуD dP1 .
. . dPs dQ1 . . . dQs ,Γ=ΩгдеD=∂(p, q)∂(P, Q)— якобиан преобразования. Здесь и далее буквой p обозначена совокупность переменных p1 , . . . , ps и аналогично для q, P и Q. С другой стороны,фазовый объем области Ω равенΓ = dP1 . . . dPs dQ1 . . . dQs .ΩДокажем, что если преобразование каноническое, то D = 1 и фазовыйобъем не зависит от выбора координат: Γ = Γ.Выполним преобразование координат в два этапа. Вначале перейдемот переменных p, q к переменным P, q, а только затем к переменным P, Q.Якобиан полного преобразования равен произведению якобианов последовательных этапов:∂(p, q) ∂(P, q)D=.∂(P, q) ∂(P, Q)В каждом из сомножителей переменные, не изменяющиеся при замене,можно опустить, что в нашем случае означает переход к матрицам вдвоеменьшего размера.
Кроме того, учитывая, что якобианы взаимно обратных2∂pi= ∂ Φ ,∂Pk∂qi ∂Pk2∂Qi= ∂ Φ .∂qk∂qk ∂PiМатрицы в числителе и знаменателе равенства (1) взаимно транспонированы, их определители равны и поэтому D = 1, что и требовалось доказать.Пусть каждая точка выделенного фазового объема движется согласноуравнениям движения данной механической системы. Как было показанов § 39.2, такое движение можно рассматривать как каноническое преобразование.
Отсюда следует важная в приложениях теорема Лиувилля: придвижении любой гамильтоновой системы фазовый объем не изменяется.Иными словами, движение точек фазового пространства подобно движению частиц несжимаемой жидкости6 .Примеры, иллюстрирующие движение точек, изображающих состояние системы в фазовом пространстве, рассмотрены в [3, задача 11.24д].40.2. Фокусирующая линзаРассмотрим движение группы частиц, проходящих через электростатическую линзу. В этом случае благодаря теореме Лиувилля можно сделать важные качественные заключения, касающиеся движения частиц, даже не зная деталей движения. Пусть слева на рис. 58 вдоль оси z движетсясгусток заряженных частиц, имеющих одинаковую проекцию импульса наось z и небольшой разброс как по поперечной координате x, так и по поперечному импульсу px .
Для упрощения анализа рассмотрим только частицы,траектории которых лежат в плоскости xz.В узком слое в окрестности точки z = 0 на частицы действуют электрические поля, отклоняющие их только в плоскости xz. Этот слой и назы6 Для декартовых координат теорема Лиувилля справедлива не только в фазовом пространстве, но и в пространстве координат и скоростей.164Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА§ 41.
Уравнение Гамильтона–Якоби165Рис. 58. Движение частиц в области фокусирующей линзы: пунктирные линии соответствуют моментам времени, когда пучок находится перед линзой (линия 1), сразупосле нее (линия 2), в районе фокуса (линия 3), после него (линия 4)вается электростатической линзой. Пусть поля слабые, так что углы отклонения θx = px /pz малы, |θx | 1, и можно принять для каждой частицыpz ≈ const. Можно ли создать такую конфигурацию поля, чтобы одновременно уменьшить разброс частиц как по поперечной координате x, так и попоперечному импульсу px (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
