1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (829488), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. если f == f (q, p, t), g = g(q, p, t), h = h(q, p, t)). В этом случае время t являетсяпараметром, не имеющим отношения к вычислению частных производныхпо переменным p и q.Более прямой (но и более громоздкий) способ доказательства тождества Якоби приведен, например, в [1, § 41].Теорема Пуассона. Пусть механическая система имеет два интеграладвижения f (q, p, t) и g(q, p, t).
Тогда скобка Пуассона h = {f, g} такжеявляется интегралом движения этой системы.Действительно, из условий∂fdf=+ {H, f } = 0,dt∂t∂gdg=+ {H, g} = 0,dt∂tтождества Якоби (8) и свойств скобок Пуассона сразу же следует равенствоdh = ∂h + {H, h} = 0.dt∂tГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА146В качестве примера рассмотрим интегралы движения для частицыв поле изотропного трехмерного осциллятора U (r) = kr2 /2. Как известно (см.
§ 4), в таком поле сохраняется момент импульсаM = (0, 0, M ),M = xpy − ypx ,и энергии колебаний по осям x и y:2p2yp2xky 2+ kx ,Ey =+.2m22m2Согласно теореме Пуассона, интегралом движения является величинаpx pyN = {Ex , M } = m + kxy,Ex =что уже было отмечено ранее (см. (4.7)), а также величина {Ey , M } = −N .Повторное применение теоремы Пуассона не приводит к новым интеграламдвижения, такk M.{Ex , N } = −{Ey , N } = − mЗадачи35.1. Вычислить скобки Пуассона:а) {Mi , xj }, {Mi , pj }, {Mi , Mj };б) {ap, br}, {aM, br}, {aM, bM};в) {M, rp}, {p, rn }, {p, (ar)2 }.Здесь xi , pi , Mi — декартовы компоненты векторов, a и b — постоянные векторы.35.2.
Показать, что:а) {Mz , ϕ} = 0, где ϕ — любая скалярная функция координат и импульсов частицы ϕ = ϕ(r2 , p2 , (rp));б) {Mz , f } = [n, f ], где n — единичный вектор в направлении оси z,а f — векторная функция координат и импульсов частицы, т. е. f = r ϕ1 ++ p ϕ2 + [r, p] ϕ3 и ϕi = ϕi (r2 , p2 , (rp)).§ 36. Канонические преобразованияОдна из привлекательных черт лагранжева формализма — ковариантность уравнений Лагранжа относительно преобразований обобщенных координат, т. е. перехода от одних обобщенных координат qi к любым другим Qi :qi = qi (Q, t),i = 1, .
. . , s§ 36. Канонические преобразования147(конечно, при этом требуется, чтобы преобразование было невырожденным:∂(q1 , . . . , qs )= 0).∂(Q1 , . . . , Qs )В гамильтоновом подходе аналогичное свойство отсутствует: при произвольном переходе от «старых» координат и импульсов qi , pi к «новым»Qi , Pi , т. е. при заменеqi = qi (Q, P, t),pi = pi (Q, P, t),i = 1, . . . , s,(36.1)уравнения Гамильтона, вообще говоря, не сохраняют свой вид. Но средивсех преобразований вида (1) имеется специальный класс так называемыхканонических преобразований, которые не только сохраняют вид уравненийдвижения, но и обладают целым рядом других привлекательных свойств.36.1. Определение канонического преобразования.
ПроизводящаяфункцияПрежде чем дать определение канонического преобразования, сделаем два предварительных замечания. Первое замечание: преобразование вида (1) касается только координат и импульсов, время t является параметромэтого преобразования3. Второе замечание: к сожалению, определение канонического преобразования не очень наглядно. Зато данное определениепозволяет очень быстро получить целый ряд полезных свойств.Итак, дадим определение: каноническим называется преобразованиевида (1) такое, чтоspi dqi =i=1sPi dQi + dF (q, Q, t̆),(36.2)i=1где dF (q, Q, t̆) есть полный дифференциал функции F (q, Q, t) при фиксированном времени, т. е.∂FdF (q, Q, t̆) = dF (q, Q, t) −dt.(36.3)∂tt=t̆Функция F (q, Q, t) называется производящей функцией данного канонического преобразования.
Из определения (2) немедленно получаемpi =∂F,∂qiPi = −∂F.∂Qi(36.4)3 Можно обобщить канонические преобразования так, чтобы они также допускали преобразование времени — см. Дополнение D.Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА148Разрешая эти алгебраические соотношения, можно по известной производящей функции F (q, Q, t) получить явные уравнения связи старых и новыхпеременных.Докажем ковариантность уравнений Гамильтона относительно канонических преобразований. Напомним, что из вариационного принципа(см. § 34) t2 ∂H∂HδΣ =q̇i −δpi − ṗi +δqi dt +∂pi∂qiit1+t2pi δqi = 0с учетом граничных условий (34.2) и независимости вариаций δqi и δpiследуют уравнения Гамильтонаq̇i =∂H,∂piṗi = −∂H.∂qiВ силу (2), (3) функционал Σ равенΣ=t2 t1Pi Q̇i − H (P, Q, t)it2dt +получаем уравнения движения для новых переменных, также имеющие видуравнений Гамильтона,Q̇i =∂H ,∂PiṖi = −∂H ,∂Qi(36.7)с новой функцией Гамильтона H (P, Q, t), определяемой формулой (6).Таким образом, производящая функция F (q, Q, t) задает каноническоепреобразование с помощью формул (4); эти формулы и соотношение (6)могут быть представлены в следующем компактном виде:(pi dqi − Pi dQi ) + (H − H)dt.(36.8)dF (q, Q, t) =t1∂F (q, Q, t),∂tПример.
Рассмотрим одномерную систему с гамильтонианом H(p, q, t).Простейшим нетривиальным примером канонических преобразований может служить линейное преобразование координат и импульсов, получаемоеиз производящей функции F (q, Q, t), имеющей вид квадратичной формыканонических переменных:(36.9)F (q, Q, t) = 1 a q 2 + 2b qQ + c Q22(здесь величины a, b и c являются либо константами, либо функциямивремени). Используя уравнения (4), находим соотношенияp=dF (q, Q, t),гдеH (P, Q, t) = H(p, q, t) +149i(36.5)t1i§ 36. Канонические преобразования(36.6)и поэтому вариационный принцип (5) можно переписать в виде ∂H ∂H Q̇i −δΣ =δPi − Ṗi +δQi dt +∂Pi∂Qiit1t2∂F∂F+δqi +δQi = 0.Pi δQi +∂q∂Qt1iiit2В силу соотношений (4) и граничных условий (34.2) внеинтегральные слагаемые исчезают, поэтому с учетом независимости вариаций δQi и δPi мы∂F= a q + b Q,∂qP =−∂F= −b q − c Q.∂QРазрешая их, получаем линейные уравнения связи старых и новых переменных:Q = α q + β p,P = γ q + δ p,(36.10)в которых коэффициенты равныα = −a,bβ = 1,bγ=ac − b2,bδ = −c.b(36.11)Обратим внимание на то, что эти коэффициенты не являются произвольными, а именно, якобиан преобразования (10) равен единице4∂(Q, P )= αδ − βγ = 1.∂(q, p)(36.12)4 Таким образом, условие (12) является необходимым для того, чтобы линейное преобразование (10) было каноническим.
Далее мы покажем, что (12) является также и достаточнымусловием (см. пример 1 в § 38).Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА150Новый гамильтониан, определяемый уравнением (6), имеет видH (P, Q, t) = H(p, q, t) + 1 ȧ q 2 + 2ḃ qQ + ċ Q2 ,2§ 36. Канонические преобразованияПроизводящая функция(36.13)причем в правой стороне этого равенства необходимо заменить старые переменные q и p на новые переменные Q и P согласно соотношениям (10).Φ(q, P, t) =Pi dQi = d(Pi Qi ) − Qi d Piзадает тождественное преобразование:Φ(q, P, t) = F +sQi Pi ,(36.14)i=1получим(pi dqi + Qi d Pi ) + (H − H) dt.(36.15)i=1Отсюда для производящей функции Φ(q, P, t) немедленно следуют аналогичные (4), (6) формулы∂Φ,∂qiQi =Производящую функцию преобразования, близкого+ к тождественному,нередко можно представить в виде Φ(q, P, t) =i qi Pi + εW (q, P ), гдепараметр ε определяет малость поправки.Пример. В качестве примера рассмотрим производящую функциюΦ(q, P, t) = qP + δτ H(P, q, t),и вводя производящую функциюpi =qi PiQi = qi , Pi = pi .Помимо производящей функции F (q, Q, t) можно ввести другие производящие функции от переменных q, P , или Q, p, или p, P .
Например, подставив в (8) соотношениеssi=136.2. Другие производящие функцииdΦ(q, P, t) =151∂Φ,∂PiH = H +∂Φ.∂t(36.16)Приведем простые примеры. Производящая функцияF (q, Q, t) =s(36.17)где ε ≡ δτ бесконечно малый параметр, а H(p, q, t) — функция Гамильтонасистемы. В этом случае уравнения связи старых и новых переменных (16)имеют вид∂H(P, q, t)∂Φ= P + δτ,p=∂q∂q∂H(P, q, t)∂Φ= q + δτ.Q=∂P∂PИспользуя малость параметра δτ , можем переписать эти уравнения в виде∂H(p, q, t)= p(t) + ṗδτ = p(t + δτ ),∂q∂H(p, q, t)Q(t) = q + δτ= q(t) + q̇δτ = q(t + δτ ).∂pP (t) = p − δτТаким образом, рассматриваемое преобразованиеqi Qii=1с точностью до знака обменивает координаты и импульсы:Qi = pi , Pi = −qi .По этой причине в гамильтоновом методе термины «координаты» и «импульсы» становятся условными и переменные p, q часто называют простоканонически сопряженными величинами.Q(t) = q(t + δτ ),P (t) = p(t + δτ )(36.18)представляет собой сдвиг по времени на δτ (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
